\documentclass[a4paper,10pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir Surveillé 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les suites}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S3}	
\newcommand{\Annee}{2017-2018}	
\newcommand{\Profs}{ D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}

\begin{exoi}\hfill \textbf{2 points}

\begin{footnotesize}
Déterminer la limite de la suite $w_n$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ w_n=\dfrac{n^2}{n^2+1}+1$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}
$w_n=\dfrac{n^2}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}+1=\dfrac{1}{1+1/n^2}+1$

Du fait que $\lim\limits_{n\to+\infty} \frac{1}{n^2}=0$ on déduit immédiatement :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty}w_n=1+1=2$$
\end{sol}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}

\begin{footnotesize}
Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à {10000} le nombre de ses abeilles.

Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20\,\% des abeilles de l'année précédente.

Il achète 10000 nouvelles abeilles chaque année. 

On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a

\end{footnotesize}
\[u_0 = 1\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+ 1} = 0,8u_n + 1.\]

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize  Résoudre l'équation $x=0,8x+1$.}

\begin{sol}

$$ x=0.8x+1 \Longleftrightarrow 0.2x=1 \Longleftrightarrow x=5$$


 \end{sol}
\item {\footnotesize Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a :$$ 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 5$$}

\begin{sol}

Notons $ \mathscr P(n) : 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 5$ 

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.

Il s'agit de vérifier que $0\leq u_0\leq u_1\leq 5$

Or, $u_0=1$ et $u_1=0,8+1=1,8$ et on a bien vérifié $\mathscr P$ pour $n=0$.

Ainsi $\mathscr P$ est initialisée.

\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 5$ alors $0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 5$

De $0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 5$ on tire que $0\leq 0,8u_n\leq 0,8u_{n+1}\leq 4$ puis que :
$$ 1\leq 0,8u_n+1\leq 0,8u_{n+1}+1\leq 5 \Longrightarrow 0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 5$$

donc $\mathscr P$ est héréditaire.

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc on a établit la véracité de $\mathscr P$ pour tout entier naturel $n$.

\end{itemize}
\end{sol}
\item {\footnotesize En déduire que la suite converge.}

\begin{sol}
Puisque $u_n<u_{n+1}$ la suite $(u_n)$ est croissante et puisque $u_n<5$, la suite est majorée par $5$ donc d'après le théorème de convergence monotone elle converge vers un nombre réel inférieur ou égal à $5$.
\end{sol}


\item {\footnotesize Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter votre résultat.}

\begin{sol}
Puisque $(u_n)$ converge, notons $\ell$ sa limite, on a du coup $\lim\limits_{n\to+\infty} u_{n+1}=\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell$ et donc $\lim\limits_{n\to+\infty} 0,8u_n+1=0,8\ell+1$ et puisque $u_{n+1}=0,8u_n+1$, $\ell$ est solution de l'équation :
$$ \ell=0,8\ell +1$$

Ainsi d'après la question $1)$ $\ell=5$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}

\begin{footnotesize}
On considère la suite\index{suite} numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$$\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0} &=& 1\\ 	 
v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}}
\end{array}\right.$$
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;3]$ par $f(x)=\dfrac{9}{6-x}$. Etudier ses variations sur l'intervalle $[0;3]$.}

\begin{sol}

Pour $x\in [0;3]$ on peut calculer $f'(x)$ :
$$ f'(x)=\dfrac{(9)'(6-x)-9(6-x)'}{(6-x)^2}=\dfrac{9}{(6-x)^2}$$
Pour tout $x\in [0;3]$, on a $(6-x)^2>0$ et du coup $\dfrac{9}{(6-x)^2}>0$, nous en déduisons que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;3]$.
\end{sol}
\item {\footnotesize  Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a :$0< v_n<v_{n+1} < 3$. }

\begin{sol}

Notons $ \mathscr P(n) : 0\leq v_n< v_{n+1}< 3$ 

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.

Il s'agit de vérifier que $0<v_0< v_1<5$

Or, $v_0=1$ et $v_1=\dfrac{9}{6-1}=\dfrac{9}{5}=1,8$ et on a bien vérifié $\mathscr P$ pour $n=0$.

Ainsi $\mathscr P$ est initialisée.

\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $0\leq v_n< v_{n+1}< 3$ alors $0<v_{n+1}<v_{n+2}< 3$

De $0< v_n< v_{n+1}< 3$ et parce que $f$ est une strictement croissante sur l'intervalle $[0;3]$ on obtient :
$$ f(0)<f(v_n)<f(v_{n+1})<f(3)$$
Or, $f(0)=\dfrac{9}{6-0}=1,5$ et $f(3)=\dfrac{9}{6-3}=3$ d'où :
$$ 0<1,5<v_{n+1}<v_{n+2}<3$$
donc $\mathscr P$ est héréditaire.

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc on a établit la véracité de $\mathscr P$ pour tout entier naturel $n$.

\end{itemize}
\end{sol}
\item {\footnotesize Que peut-on en déduire ?}

\begin{sol}
D'après la question précédente $(v_n)$ est une suite croissante et majorée par $3$ donc par le théorème de convergence monotone on en déduit que la suite est convergente vers un réel $\ell$ inférieur ou égal à $3$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.}

\begin{sol}
Pour les mêmes raisons que celle de l'exercice précédent, la limite $\ell$ de la suite $(v_n)$ vérifie :
$$ \ell=\dfrac{9}{6-\ell} \Longleftrightarrow \ell(6-\ell)=9 \Longleftrightarrow 6\ell - \ell^2-9=0 \Longleftrightarrow \ell^2-6\ell +9 =0 \Longleftrightarrow \left(\ell-3\right)^2=0 \Longleftrightarrow \ell-3=0 \Longleftrightarrow \ell=3$$
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{(10 points)}

\partieBac{}

\medskip

\begin{footnotesize}
On considère l'algorithme suivant :

Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Entrée}

Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\

\textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\

Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Fin pour\\

\textbf{Sortie}\\
Afficher $U$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip

\end{footnotesize}
{\footnotesize Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?}

Remplissons un tableau donnant l'évolution des variables :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline 
$N$ & $3$ &  &  & \tabularnewline
\hline 
\hline 
$u$ & $0$ & $3\times0-2\times0+3=3$ & $3\times3-2\times1+3=10$ & $3\times10-2\times2+3=29$\tabularnewline
\hline 
$k$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip

\partieBac{}

\medskip

{\footnotesize On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Calculer $u_1$ et $u_2$.
\end{footnotesize}

$$ u_1=3u_0-2\times 0+3=3\times 0-0+3=3$$

$$ u_2=3u_1-2\times 1+3=3\times 3-2+3=10$$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.}
		
		Notons $\mathscr P(n): u_n\geqslant n$.
		
		\textbf{\textit{Initialisation}} : pour $n=0$ :
		
		$u_0=0$ et on a bien $u_0\geq 0$
		
		$\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
		
		\textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n \geqslant n$ alors $u_{n+1}\geqslant n+1$.
		
		$$ u_n\geq n \Longleftrightarrow 3u_n\geq 3n \Longleftrightarrow 3u_n-2n\geq 3n-2n \Longleftrightarrow 3u_n-2n+3\geq n+3$$
		
		De plus puisque $n+3>n+1$ on obtient :
		$$ 3u_n-2n+3\geq n+1 \Longleftrightarrow u_{n+1}\geq n+1$$
		
		Nous venons de démontrer que $\mathscr P$ est héréditaire.
		
		\textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est héréditaire et vraie à partir de $n=0$ il suit que pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ u_n\geq n$$
		
		
		\item {\footnotesize En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.}
		
		$\lim\limits_{n\to +\infty} n=+\infty$, alors puisque $u_n\geq n$ il suit par comparaison que :
		$$ \lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$$
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=2(u_n-n)+3$$
\end{footnotesize}

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=3u_n-2n+3-u_n=2u_n-2n+3=2(u_n-n)+3$$
\item {\footnotesize En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.}

D'après une question précédente $u_n\geq n$ donc $u_n-n\geq 0$ donc $2(u_n-n)\geq 0$ et donc $2(u_n-n)+3\geq 0$, par conséquent $u_{n+1}-u_n\geq 0\Longleftrightarrow u_{n+1}\geq u_n$ donc la suite $(u_n)$ est croissante.
\end{enumerate}

\item {\footnotesize Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.}
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.}
		
		Pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ v_{n_+1}=u_{n+1}-(n+1)+1=u_{n+1}-n-1+1=u_{n+1}-n=3u_n-2n+3-n=3u_n-3n+3=3(u_n-n+1)=3v_n$$
		
		Puisque $v_{n+1}=3v_n$, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $3$ et de premier terme $v_0=u_0-0+1=1$.

		\item {\footnotesize En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.}
		
		Puisque $v_n = u_n - n +1$ il suit que $v_n+n-1=u_n$.
		
		Puisque $(v_n)$ est géométrique de raison $3$ il suit que pour tout entier naturel $n$ : $v_n=v_0\times q^n=3^n$ et donc :
		$$ 3^n+n-1=u_n$$
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $p$ un entier naturel non nul.}
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Pourquoi est-on sûr qu'il existe un entier $n_0$ tel que :
		$$\forall n\geqslant n_0 \quad \text{on ait} \qquad u_n\geqslant 10^p \quad \text{?}$$ 
		\end{footnotesize}
		
		Puisque d'après une question de début d'exercice $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$ alors quelque soit le réel $A$ (en particulier pour $A=10^p$ il existe un rang $n_0$ tel que pour tout entier naturel $n\geq n_0$ on ait $u_n\geq A=10^p$.
		\item {\footnotesize Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ on ait $u_n\geqslant 10^3$.}
		
		$u_6=3^6+6-1=3^6+5=9\times 9\times 9+5=81\times 9+5=810-81+5=810-100+19+5=710+24=734<1000$.
		
		puis $u_7=3^7+7-1=729\times 3+6=2190-3+6=2193>1000$
		
		De plus puisque $(u_n)$ est croissante alors pour tout entier naturel $n\geq 7$ on a $u_n\geq u_7\geq 1000$. Et puisque $u_6<1000$, il suit que $n_0=7$ est le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$ on ait $u_n\geq 1000$.
		%\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
		\item {\footnotesize Compléter l'algorithme, donnée en annexe, qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, on ait $u_n\geqslant 10^p$.}
%		\item On note $n_0$ le plus petit entier naturel $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0$ on ait $u_n\geqslant 10$. 
%		
%		Vérifier que $u_{3p}\geqslant 10^p$ puis justifier que $n_0\leqslant 3p$.
		
		
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Variables}

$U$ est un réel.
\\
$n$ et $p$ sont des entiers naturels.

\textbf{Entrée}

Saisir le nombre entier naturel $p$.\\

\textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0 \\
Affecter à $n$ la valeur $0$\\
Tant que $U<10^p$\\

Affecter à $U$ la valeur $3^n+n-1$\\
Affecter à $n$ la valeur $n+1$\\

Fin tantque\\

\textbf{Sortie}\\
Afficher $n $
\end{minipage}}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}