\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir Maison 7}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


%\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}

\begin{footnotesize}
On considère le nombre complexe $ z=-1+\sqrt{3}i$ ; on note $M_n$ le point du plan d'affixe $z^n$.

\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $M_{2017}$ est-il sur l'axe des réels ?}

\begin{sol}

$M_{2017}$ est un sur l'axe des réels si et seulement si $z^{2017}$ est un nombre réel si et seulement si $arg(z^{2017}=k\pi$ où $k\in\Z$.

Or $arg(z^{2017}=2017arg(z)$ et $z=2\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

Donc $arg(z^{2017}=2017\times \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4034\pi}{3}=\dfrac{3\times 1347\pi+2\pi}{3}=1347\pi+\dfrac{2\pi}{3}=673\times 2\pi	+\pi+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}+673\times 2\pi$

Bref un argument de $z^{2017}$ est $\dfrac{4\pi}{3}$ ce qui assure le fait que $M_{2017}$ n'est pas sur l'axe des réels.
\end{sol}
\item {\footnotesize $M_{2017}$ est-il sur l'axe des imaginaires ?}

\begin{sol}
Il faudrait, pour cela, qu'un argument de $z^{2017}$ soit égal à $\dfrac{\pi}{2}$ du moins à $\pi$ près ce qui n'est pas le cas compte tenu de la question précédente.
\end{sol}
\item {\footnotesize Quelles sont l'ensemble des valeurs de $n$ pour lesquelles $M_n$ est un point de l'axe des réels ?}

\begin{sol}
$M_n$ est sur l'axe des réels si et seulement si $arg(z^n)=k\pi$ avec $k\in \Z$ ce qui équivaut à $n arg(z)=k\pi\Longleftrightarrow n \times \dfrac{2\pi}{3}=k\pi\Longleftrightarrow \dfrac{2}{3} n=k \Longleftrightarrow n=\dfrac{3}{2}k=1,5k$

Or, $n$ et $k$ sont des nombres entiers et $1,5k$ n'est  entier que lorsque $k$ est un multiple de $2$ donc $n$ est de la forme $n=3k'$ (où $k=2k'$) donc $M_0$, $M_3$, $M_6$, $M_9$, $M_{12}$, etc..sont sur l'axe des réels.
\end{sol}
\item {\footnotesize On note $r_n=OM_n$.}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimer $r_n$ en fonction de $n$.}

 \begin{sol}

$$ r_n=OM_n=|z^n|=|z|^n=2^n$$

\end{sol}
\item {\footnotesize Déterminer la limite de $(r_n)$ en fonction de $n$.}

\begin{sol}
Puisque $2>1$ on a :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} 2^n=+\infty \Longleftrightarrow  \lim\limits_{n\to+\infty} r_n=+\infty$$
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\pagebreak
\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
 On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe. 

Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe 

\[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]

 \end{footnotesize} 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$. }
\begin{sol}

$$ f(-1+i\sqrt{3})=(-1+i\sqrt{3})^2+2(-1+i\sqrt{3})+9=1-2i\sqrt{3}-3-2+2i\sqrt{3}+9=5$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Résoudre dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$.}

\begin{sol}

$$ f(z)=5 \Longleftrightarrow z^2+2z+9=5 \Longleftrightarrow z^2+2z+4=0 $$

$$ \Delta=b^2-4ac=-12$$

donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées qui sont :

$$ \dfrac{-2\pm i\sqrt{12}}{2}=-1\pm i\sqrt{3}$$

\end{sol}
 
\begin{footnotesize}
Écrire sous forme trigonométrique les solutions de cette équation.

\end{footnotesize}

\begin{sol}
On a :
$$ -1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\qquad \text{et}\qquad -1-i\sqrt{3}=2\left(\cos \dfrac{-2\pi}{3}+i\sin \dfrac{-\pi}{3}\right)$$
\end{sol}
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). 

On laissera les traits de construction apparents. 
\item \begin{footnotesize}
Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
 
Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. 
\end{footnotesize}

\begin{sol}

$$ f(z)=\lambda \Longleftrightarrow z^2+2z+9-\lambda=0$$

 L'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées si et seulement si son discriminant est strictement négatif c'est-à-dire :
 $$ \Delta=4-4(9-\lambda)<0 \Longleftrightarrow 4<36-4\lambda \Longleftrightarrow 4\lambda <32 \Longleftrightarrow \lambda<8$$
 
   L'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées si et seulement si  $\lambda<8$.

\end{sol}
\item \begin{footnotesize}
Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie 

\[|f(z) - 8| = 3.\]
\end{footnotesize}
 
{\footnotesize Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. }

\begin{sol}

Nous souhaitons donc démontrer que $M$ vérifie une relation du type $\Omega M=\sqrt{3}$.

\[|f(z) - 8| = 3 \Longleftrightarrow |z^2+2z+9-8|=3 \Longleftrightarrow |z^2+2z+1|=3 \Longleftrightarrow |(z+1)^2|=3 \Longleftrightarrow |z+1|^2=3 \Longleftrightarrow |z+1|=\sqrt{3} \Longleftrightarrow |z-(1)|=\sqrt{3}\]

En notant $z_\Omega=-1$ on obtient $|z-(-1)|=\sqrt{3}\Longleftrightarrow \Omega M=\sqrt{3}$
\end{sol}

Tracer (F) sur le graphique. 
%\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est 
%
%\[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
% 
%		\item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
%		 
%Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
% 
%Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.
%	\end{enumerate} 
%\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). 
\end{enumerate}

\end{exoi}



\end{document}