\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction devoir Maison 6}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


%\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Soit $j$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$, démontrer que $j$ est solution de l'équation :
$$ 1+j+j^2=0$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}

$$ j=1\left(\cos \dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

De plus cherchons les racines du trinôme $z^2+z+1$ de discriminant $\Delta=1-4=-3<0$, le trinôme dont il est question admet deux racines complexes et conjuguées qui sont :
$$ z_1=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{ \sqrt{3}}{2}=j\qquad \text{et}\qquad \overline{z_1}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Nous avons bien démontré que $j$ est solution de l'équation $1+j+j^2=0$.
\end{sol}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : 

\[z_{0} = 1\quad  \text{et}\quad  z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\]

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.
\end{footnotesize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  Donner la forme trigonométrique du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. }

\begin{sol}

$$ \left|\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right|=\sqrt{9/16+3/16}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}$$

Un argument, disons $\theta$ de ce nombre complexe, vérifie $\cos \theta=\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{2\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{4} }{ \frac{2\sqrt{3}}{4}}=\dfrac{1}{2}$ donc :

$$ \theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$$

De sorte que la forme trigonométrique du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$ est :
$$ \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$$
\end{sol}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \begin{footnotesize}
		Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		\end{footnotesize}
		
		\begin{sol}
		Pour tout entier naturel $n$ on a :
		$$ r_{n+1}=|z_{n+1}|=\left|\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}\right|=\left|\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)\right|\times |z_n|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times r_n$$
		
		Nous venons de démontrer que $(r_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
		\end{sol}
		\item {\footnotesize En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$. }
		
		\begin{sol}
		
		Puisque la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ on a :
$$ r_n=r_0\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=|z_0|\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=|1|\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$$
		\end{sol}
		\item {\footnotesize Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?}
		
		\begin{sol}
		
		$OA_n=|z_n|=r_n=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$, or $-1<\dfrac{\sqrt{3}}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to+ _infty} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n=0$ ainsi la longueur $OA_n$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
		\end{sol}
	\end{enumerate} 
\item \begin{footnotesize}
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|X|}\hline 
Variables& $n$ entier naturel\\  
&$R$ réel\\ 
&$P$ réel strictement positif\\ \hline 
Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline  
Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ 
&$n$ prend la valeur 0\\ 
&Tant que $R > P$\\ 
&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ 
&Fin tant que\\ \hline 
Sortie &Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{footnotesize}

	\begin{enumerate}
		\item{\footnotesize  Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? }
		
		\begin{sol}

Complétons un tableau résumant l'évolution des variables :

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline 
		n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 
		\hline 
		R & 1 & 0.87  & 0.75 & 0.65 & 0.56 & 0.49  \\ 
		\hline 
		Condition & Vraie & Vraie & Vraie & Vraie & Vraie & Faux \\ 
		\hline 
		\end{tabular} 		
		L'algorithme affiche la valeur $5$.
		\end{sol}
		
		\item {\footnotesize Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?}
		
		\begin{sol}
		Cet algorithme affiche la valeur du plus petit entier naturel vérifiant $r_n\leq P$.
		\end{sol}
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item{\footnotesize  Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. }
		
		\begin{sol}
		
		$OA_n=|z_n|=r_n=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n$
		
		$OA_{n+1}=|z_{n+1}|=r_{n+1}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n+1}$

		$A_nA_{n+1}=|z_{n+1}-z_n|=\left|\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}-z_n\right|=\left|\left(-\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_n\right|=\left|-\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right| r_n=\sqrt{1/16+3/16} r_n=\dfrac{1}{2}r_n=\dfrac{\sqrt{3}^n}{2^{n+1}}$
		
		$$OA_n^2=\dfrac{\sqrt{3}^{2n}}{2^{2n}}$$
		
		$$OA_{n+1}^2+A_nA_{n+1}^2=\dfrac{\sqrt{3}^{2n+2}}{2^{2n+2}}+\dfrac{\sqrt{3}^{2n}}{2^{2n+2}}=\dfrac{\sqrt{3}^{2n}\left(3+1\right)}{4\times 2^n}=\dfrac{ \sqrt{3}^{2n}}{2^{2n}}=OA_n^2$$
		ainsi nous venons de démontrer, en utilisant Pythagore que $OA_nA_{n+1}$ est un triangle rectangle en $A_{n+1}$.
		\end{sol}
		\item \begin{footnotesize}
		On admet que $z_{n} = r_{n}\left(\cos \dfrac{n\pi}{6}+i\sin\dfrac{n\pi}{6}\right)$.
		 
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées. 
		\end{footnotesize}

\begin{sol}		
		$A_n$ est un point de l'axe des ordonnées si et seulement si l'argument de son affixe vaut $\dfrac{pi}{2}$ à $\pi$ près autrement dit  si et seulement si :
		
		$$ n\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \Longleftrightarrow n=3+6k$$
		où $k$ désigne un entier relatif.
\end{sol} 		
		\item \begin{footnotesize}
		Compléter la figure ci-dessous, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
		 
Les traits de construction seront apparents.
		\end{footnotesize}
		
		\begin{sol}
		On laisse au soin du lecteur cette construction.
		\end{sol}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}

\psset{unit=8cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.3)(1.1,0.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-0.6,-0.3)(1.1,0.8)
\psdots(1;0)(0.866;30)(0.75;60)(0.6495;90)(0.5625;120)(0.487139;150)
\psline(1;0)(0.866;30)(0;0)(0.75;60)(0.866;30)
\psline(0.75;60)(0.6495;90)(0;0)(0.5625;120)(0.6495;90)
\psline(0.5625;120)(0.487139;150)(0;0)
\uput[ur](1;0){$A_{0}$} \uput[ur](0.866;30){$A_{1}$} \uput[ur](0.75;60){$A_{2}$} 
\uput[ur](0.6495;90){$A_{3}$} \uput[ul](0.5625;120){$A_{4}$} \uput[ul](0.487139;150){$A_{5}$} \uput[dl](0,0){O}
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(1,0) 
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}