\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction devoir Maison 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


%\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

Soit A, B et C les points d'affixes respectives: 

\[a = 3 - \text{i},\quad  b = 1- 3\text{i}~~ \text{et}~~ c = -1- \text{i}.\] 
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. }
		\item {\footnotesize Quelle est la nature du triangle ABC ? }
		
		\begin{sol}
		$AB=|b-a|=|1- 3\text{i}-(3-i)|=|1-3i-3+i|=|-2-2i|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2})=\sqrt{8}$
		
		$BC=|c-b|=|-1-i-1+3i|=|-2+2i|=\sqrt{8}$
		
		$AC=|c-a|=|-1-i-3+i|=|-4|=4$
		
		De sorte que le triangle ABC est isocèle en $B$.
		
		De plus puisque $AB^2+BC^2=AC^2$ le triangle ABC est aussi rectangle en $B$.
		
				\end{sol}
		\item {\footnotesize Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on calculera le rayon.}
		
		$OA=|a|=\sqrt{10}$ et $OB=|b|=\sqrt{10}$ donc $A$ et $B$ appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre $O$ et de rayon $\sqrt{10}$
	\end{enumerate}	
\item {\footnotesize Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et $N$ le point d'affixe notée $n$, définit par $ n=1+3i+(1-i)m.$} 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Calculer les distances $AM$, $AN$ et $MN$.}
		
		\begin{sol}
		
		En notant $m=x+iy$ où $x$ et $y$ sont des nombres \textbf{réels } on a : 
		$$AM=|m-a|=|x+iy-3+i|=|x-3+i(y+1)|=\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}$$
		
		$$AN=|n-a|=|1+3i+(1-i)(x+iy)-3+i|=|1+3i+x+iy-ix+y-3+i|=|-2+x+y+i(y-x+4)|$$
		
		donc $$ AN=\sqrt{(-2+x+y)^2+(y-x+4)^2}=\sqrt{(x-3+y+1)^2+(y+1-(x-3))^2}= \sqrt{2(x-3)^2+2(y+1)^2+2(x-3)(y+1)-2(x-3)(y+1)}$$
		
		puis :
		$$ AN=\sqrt{2(x-3)^2+2(y+1)^2}$$
		
		$$MN=|m-n|=|m-1-3i-m+im|=|-1-3i+i(x+iy)|=|-1-3i+ix-y|=|-1-y+i(x-3)|$$
		
		donc $$MN=\sqrt{(-1-y)^2+(x-3)^2}=\sqrt{(1+y)^2+(x-3)^2}=AM$$
		\end{sol}
		\item {\footnotesize En déduire la nature du triangle $AMN$. }
		
		$AM=MN$ donc le triangle $AMN$ est isocèle en $M$.
		
		De plus $AN^2=AM^2+MN^2$ donc le triangle $AMN$ est rectangle en $M$.
	\end{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On appelle $Q$ le milieu du segment [A$N$] et $q$ son affixe.  

Montrer que : $q = \dfrac{(1 - \text{i})m}{2}	+ 2 + \text{i}$.  
\end{footnotesize}


\begin{sol}

Puisque $Q$ est le milieu de $[AN]$ on a $q=\dfrac{a+n}{2}=\dfrac{3-i+1+3i+(1-i)m}{2}=\dfrac{4+2i+(1-i)m}{2}=2+i+\dfrac{(1-i)m}{2}$
\end{sol}
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe 

\[z’ = - z^2 + 2z.\]

Le point $M’$ est appelé image du point $M$.
\end{footnotesize}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

\[- z^2 + 2z - 2 = 0.\] 

En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2. 
\end{footnotesize}

\begin{sol}
$\Delta=4-4\times 2=-4$ donc le trinôme $-z^2+2z-2$ admet deux racines complexes conjugués qui sont $z=\dfrac{-2+i\sqrt{4}}{-2}=1-i$ et donc $\overline{z}=1+i$.

Les affixes $z$ des points dont l'image $z'=2$ satisfont l'équation $-z^2+2z=2\Longleftrightarrow -z^2+2z-2=0$, par conséquent il existe deux tels points dont les affixes sont $1-i$ et $1+i$.
\end{sol}
\item\begin{footnotesize}
 Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. 

On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$. 
\end{footnotesize}

\begin{footnotesize}
Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$. 

\end{footnotesize}

\begin{sol}
Le milieu du segment $[NM']$ a pour affixe $\dfrac{z^2+z'}{2}=\dfrac{z^2-z^2+2z}{2}=z$
, ce qui prouve bien que $M$ est le milieu du segment $[NM']$.
\end{sol}
\item {\footnotesize Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. On note $\theta$ un argument de $z$.} 
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu'un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$. }
		
		\begin{sol}
		$|z|=OM=1$ puisque $M\in \mathcal C$, de plus $|z_N|=|z^2|=|z|^2=1^2=1$.
		
		Enfin $arg(z_n)=arg(z^2)+2k\pi=2arg(z)+2k\pi=2\theta+2k\pi$ où $k$ désigne un entier relatif.
		\end{sol}
		\item {\footnotesize Sur une figure construire les points $N$ et $M'$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents). }
		
		\begin{sol}
		En partant d'un point $M$ placé n'importe où sur le cercle trigonométrique, on trouve le point $N$ en duplicant l'argument de $M$ et le point $M'$ en exploitant le fait que $M$ soit le milieu du segment $[NM']$.
		
		\begin{center}
		\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.23,-1.55)(1.89,2.79)
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\pscircle(-0.73,0.68){1.86}
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\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,0)
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.06,-1)
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.52,2.37)
\rput[bl](-1.5,2.4){\darkgray{$M'$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
		\end{center}
		\end{sol}
		\item {\footnotesize Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle A$MM’$ ? }

\begin{sol}

$M$ est le milieu du segment $[NM']$ donc les points $N$ et $M'$ appartiennent tout deux au cercle de centre $M$ et de rayon $MN$, de plus $[NM']$ est un diamètre de ce cercle.

Puisque, d'une part $M$, $A$ et $N$ sont trois points du cercle trigonométrique et d'autre part $\widehat{AOM}=\widehat{MON}$, on en déduit que $MN=A
M$, de sorte que $A$ est aussi un point du cercle de centre $M$ et de rayon $MN$, donc le triangle $AMM'$ est isocèle en $M$.
%En notant $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels on a :
%$AN=|z^2-1|=|(x+iy)^2-1|=|x^2-y^2+2xyi|=\sqrt{(x^2-y^2)^2+4y^2x^2}$
%
%$z'=-z^2+2z=-(x+iy)^2+2(x+iy)=-(x^2+2xiy-y^2)+2x+2iy=-x^2+y^2+2x+i(2y-2xy)$
%$AM'=|z'-1|=|-x^2+y^2+2x-1+i(2y-2xy)|=\sqrt{(y^2-x^2+2x-1))^2+(2y-2xy)^2}$
%
%c'est-à-dire :
%$$ AM'=\sqrt{(y^2-x^2+2x-1))^2+4y^2(x-1)^2}$$
%
%et $MM'=|z'-z|=|-x^2+y^2+2x+i(2y-2xy)-x-iy|=|-x^2+y^2+x+i(y-2xy)|=\sqrt{(y^2-x^2+x)^2+(y-2xy)^2}$
\end{sol}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}