\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction devoir Maison 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


%\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}

\begin{footnotesize}

On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_0		& =& 0\\
z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5
\end{array}\right.\]

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d'affixe $z_{\text{A}}$.

\medskip
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n - z_{\text{A}}$}
.
	\begin{enumerate}
		\item {\footnotesize Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n$.}
		
		\begin{sol}
		On a, pour tout entier naturel $n$ :
		\begin{align*}
		u_{n+1}&=z_{n+1}-z_A\\
		\Longrightarrow u_{n+1}&=\dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5 -z_A
		\Longrightarrow u_{n+1}&=\dfrac{1}{2}\text{i}\times (u_n+z_A)+5-(4+2i)\quad \text{car $ u_n = z_n - z_{\text{A}}\Longleftrightarrow z_n=u_n+z_A$}\\
		\Longrightarrow u_{n+1}&=\dfrac{1}{2}iu_n+\dfrac{1}{2}i(4+2i)+5-4-2i\\
		\Longrightarrow u_{n+1}&=\dfrac{1}{2}iu_n+2i-1+1-2i\\
		\Longrightarrow u_{n+1}&=\dfrac{1}{2}iu_n
		\end{align*}
		\end{sol}
		\item \begin{footnotesize}
		Démontrer (par récurrence) que, pour tout entier naturel $n$ :
		
\[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\]
		\end{footnotesize}
		
		\begin{sol}
		
		Notons $\mathscr P(n) : u_n=\left(\dfrac{1}{2}i\right)^n(-4-2i)$
		
		\begin{itemize}
		\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$ :
		
		D'une part $\left(\dfrac{1}{2}i\right)^0(4-2i)=-4-2i$ et d'autre $u_0=z_0-z_A=0-z_A=-(4+2i)=-4-2i$
		
		On vient de vérifier la validité de $\mathscr P$ au rang $0$.
		\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n=\left(\dfrac{1}{2}i\right)^n(-4-2i)$ alors $u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}i\right)^{n+1}(-4-2i)$
		
		On sait que $ u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n$ et on suppose que $u_n=\left(\dfrac{1}{2}i\right)^n(-4-2i)$, par conséquent :
		$$ u_{n+1}=\dfrac{1}{2} \text{i} \times \left(\dfrac{1}{2}i\right)^n(-4-2i)= \left(\dfrac{1}{2}i\right)^{n+1}(-4-2i)$$
		
		donc $\mathscr P$ est une proposition héréditaire
	.
	
	\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire ce qui prouve par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
	\[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\]

		\end{itemize}
		\end{sol}
		
	\end{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.}

\begin{sol}
A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM_n}$ et $AM_{n+4}$ sont colinéaires.

Demontrons pour cela qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM_{n+4}}=k\overrightarrow{AM_{n}}$, c'est à dire que $z_{\overrightarrow{AM_{n+4}}}=kz_{\overrightarrow{AM_{n}}}$


On a $z_{\overrightarrow{AM_{n+4}} }=z_{M_{n+4}}-z_A=z_{n+4}-z_A=u_{n+4}=\left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^{n+4} (- 4 - 2\text{i})=\left(\dfrac{1}{2}i\right)^4\times\left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i})=\dfrac{1}{16}u_n=\dfrac{1}{16}(z_n-z_A)=\dfrac{1}{16}z_{\overrightarrow{AM_n}}$
\end{sol}

\textit{Indication} : \textit{On pourra vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AM_n}$ et $\overrightarrow{AM_{n+4}}$  sont colinéraires (en utilisant leurs coordonnées)}
\end{enumerate}

\end{exoi}


\begin{exoi}

\begin{footnotesize}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$.

On considère le point $A$ d’affixe $4$, le point $B$ d’affixe $4i$ et les points $C$ et $D$ tels que $ABCD$ est un carré
de centre $O$.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d’affixe $z_n = (1+i)^n$.
\end{footnotesize}

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize  Démontrer que $OM_n=\sqrt{2}^n$ pour tout entier naturel $n$.}

\begin{sol}
$ OM_n=|z^n|=|z|^n=|1+i|^n=\sqrt{1^2+1^2}^n=\sqrt{2}^n$

\end{sol}
\item {\footnotesize Montrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que le point $M_n$ se situe en dehors du carré $ABCD$ pour tout entier naturel $n\geq n_0$.}

On vérifie que $OM_1=\sqrt{2}$, $OM_2=2$ et $OM_3=2\sqrt{2}$

\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{qqqqzz}{0 0 0.6}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.66,-4.54)(7.02,4.44)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.66,-4.54)(7.02,4.44)
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\pscircle[linecolor=ccqqqq](0,0){2.83}
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\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4,0)
\rput[bl](4.08,0.12){\xdxdff{$A$}}
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\rput[bl](1.56,-1.42){\blue{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

Tout point contenu dans le cercle de centre $O$ et de rayon $OE$ est aussi contenu dans le carré $ABCD$, or $E$ est le point d'intersection entre la droite d'équation $y=x$ et la droite $AB$ qui a pour équation $y=4-x$ de sorte que l'abscisse $x$ de $E$ vérifie $x=4-x \Longleftrightarrow x=2$, donc $E(2,2)$.

La distance $OE=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, ainsi $M_1$, $M_2$ et $M_3$ sont dans le carré $ABCD$.

De plus $OM_4=\sqrt{2}^4=4$, puisque la suite $(\sqrt{2}^n)$ est croissante (en effet $\sqrt{2}^{n+1}-\sqrt{2}^n= \sqrt{2}^n(\sqrt{2}-1)>0$, il suit que pour tout entier naturel $n>4$ on a $OM_n>4$. Tout point qui se situe en dehors du cercle de centre $O$ et de rayon $4$ est aussi situé à l'extérieur du carré ABCD, ainsi dès que $n\geq 5$ on est sûr que $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD.

En ce qui concerne $M_4$, calculons son affixe :
$$ (1+i)^4=(1+i)^2(1+i)^2=(1+2i-1)^2=(2i)^2=-4$$
Ainsi $M_4$ est le point $D$ et il est sur le carré ABCD.

Le plus entier $n_0$ qui convient est donc $n_0=5$.
\end{enumerate}

\end{exoi}


\end{document}