\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du devoir maison 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}

\begin{footnotesize}
On suppose que, sur une période donnée, la population d'une pays est constante et égale à $60$ millions d'habitants, dont $40$ millions vivent en zone rurale et $20$ millions vivent en ville.

On constate que les mouvements de population sont décrits par la règle suivante : chaque année, $20\%$ des ruraux émigrent à la ville et $10\%$ des citadins émigrent en zone rurale.

On note respectivement $V_n$ et $R_n$ les effectifs (en millions) des citadins et des ruraux au bout de $n$ années ($V_0=20$ et $R_0=40$).
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Montrer que, pour tout $n\geq 0$, on a :
$$ \left\{\begin{array}{cc}V_{n+1}&=0,9V_n+0,2R_n\\
R_{n+1}&=0,1V_n+0,8R_n\\\end{array}\right.
$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}
$V_{n+1}$ désigne les effectifs (en millions) de citadins au bout de $n+1$ années qui s'obtiennent en ajoutant $90\%$ des citadins de l'année $n$ au $20 \%$ de ruraux nouvellement arrivé d'où $V_{n+1}=0,9V_n+0,2R_n$. De même on a :
$$ R_{n+1}=0,1V_n+0,8R_n$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Que vaut $V_n+R_n$ ?}

\begin{sol}
 La population d'un pays est constante et égale à $60$ millions d'habitants, par conséquent pour tout entier naturel $n$ on a :
 $$ V_n+R_n=60$$
\end{sol}

\item \begin{footnotesize}
En déduire que les suites $(V_n)$ et $(R_n)$ satisfont à :
$$ V_{n+1}=0,7V_n+12\qquad \text{et}\qquad R_{n+1}=0,7R_n+6$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}
On sait que $V_{n+1}=0,9V_n+0,2R_n$ et que $V_n+R_n=60\Longleftrightarrow R_n=60-V_n$ par conséquent :
$$ V_{n+1}=0,90V_n+0,2(60-V_n)=0.90V_n+12-0,2V_n=0,70V_n+12$$

De même puisque $ R_{n+1}=0,1V_n+0,8R_n$ et $V_n=60-R_n$ on a :
$$ R_{n+1}=0,1(60-R_n)+0,8R_n=0,7R_n+6$$
\end{sol}

\item {\footnotesize Démontrer que $(V_n)$ est suite croissante et majorée par $60$ puis que $(R_n)$ est une suite décroissante et minorée par $0$.}

\begin{sol}
Démontrons par récurrence la propriété $\mathscr P(n) : V_{n}\leq V_{n+1}\leq 60$

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$

On sait que $V_0=20$ puis $V_1=0,7\times 20 +12 =26$, et on a bien $V_0<v_1<60$ donc $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $V_{n}\leq V_{n+1}\leq 60$ alors $V_{n+1}\leq V_{n+2}\leq 60$

On a $V_{n}\leq V_{n+1}\leq 60$ et puisque  $ V_{n+1}=0,70V_n+12$, on a :
$$ 0,7V_n\leq 0,7V_{n+1}\leq 42\Longrightarrow  0,7V_n+12\leq 0,7V_{n+1}+12\leq 54(<60)\Longrightarrow V_{n+1}\leq V_{n+2}\leq 60$$

\item \textbf{\textit{Conclusion}} : Puisque $ \mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire on en déduit que la suite $(V_n)$ est croissante et majorée par $60$.
\end{itemize}


Puisque $R_n=60-V_n$ et que $(V_n)$ est croissante, il suit que $(60-V_n)$ est une suite décroissante. De plus comme $V_n\leq 60 \Longrightarrow -V_n\geq -60 \Longrightarrow 60 -V_n\geq 0$ et donc la suite $(R_n)$ est minorée par $0$.
\end{sol}
 \item {\footnotesize En déduire que les suites $(V_n)$ et $(R_n)$ convergent.}
 
 $(V_n)$ est une suite croissante et majorée par $60$ donc elle converge vers un nombre réel inférieur ou égal à $60$, de même $(R_n)$ est une suite décroissante et minorée par $0$ donc elle converge vers un nombre réel supérieur ou égal à $0$.
 \item {\footnotesize Déterminer les limites des suites $(V_n)$ et $(R_n)$. Que peut-on en déduire dans le contexte de l'exercice ?}
 
 \begin{sol}
 Comme $V_{n+1}=00,70V_n+12$, et comme $(V_n)$ converge disons vers $\ell$, il suit (par passage à la limite ) que :
 
 $$ \ell=0,7\ell+12 \Longleftrightarrow 0,3\ell=12 \Longleftrightarrow \ell=40$$
 
 Puisque $R_n=V_n-60$ et puisque $\lim\limits_{n\to+\infty} V_n=40$ il suit que $\lim\limits_{n \to +\infty} R_n=60-40=20$
 \end{sol}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}

\begin{footnotesize}
Montrer par récurrence que :
$$ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}
Démontrons par récurrence la propriété $\mathscr P(n) :  1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour $n=1$

$1^3=1$ et $\dfrac{1^2\times 2^2}{4}=1$ donc effectivement $\mathscr P$ est vraie pour $n=1$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ alors $ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3+(n+1)^3=\dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$

On sait que $ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ donc :
$$ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3+(n+1)^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 $$
et donc :
$$  1^3+2^3+3^3+\dots+n^3+(n+1)^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+\dfrac{4(n+1)^3}{4}=\dfrac{(n+1)^2\left(n^2+4(n+1)\right)}{4}=\dfrac{(n+1)^2\left(n^2+4n+4\right)}{4}=\dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$$
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : Puisque $ \mathscr P$ est initialisée à partir de $n=1$ et est héréditaire on en déduit que pour tout entier naturel $n\geq 1$ o on a :
$$ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$$

\end{itemize}


\end{sol}
\end{exoi}


\end{document}