\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}


Soit la suite\index{suite} numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\textbf{N}$ par : 

\[u_{0} = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } \:n, \:u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près. 
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n} \leqslant n + 3.\]
 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 
 
\[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right).\]
 
		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.
	\end{enumerate} 	
\item On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite\index{suite} définie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
		
		\[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]
		 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 	
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: 
 
\[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et}  
\quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{sol}

\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{enumerate}
			\item On calcule les premiers termes, par exemple en utilisant le mode récurrence de la calculatrice, et on obtient :

\begin{tabular}{@{}*{2}{p{5cm}}}
$u_1 = 2+\dfrac13 \approx2,33$&$u_2 = 2+\dfrac89 \approx 2,89$\\
$u_3 = 3+\dfrac{16}{27} \approx 3,59$&$u_4 = 4+\dfrac{32}{81} \approx 4,40$
\end{tabular}			
						
			\item On peut donc émettre la conjecture que la suite est croissante. On pourra en tout cas affirmer qu'elle n'est pas décroissante.			
		\end{enumerate}			
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Nous allons procéder par récurrence : 
				
\emph{Identification de la propriété} : Pour tout entier naturel $n$, posons la propriété $\mathcal{P}_n$ suivante : $u_n \leqslant n+3$.
				
\emph{Initialisation} : Puisque l'on a $u_0 = 2$ et $0 + 3 = 3$, on vérifie bien :
				
$u_0 \leqslant 0 + 3$ : \emph{la propriété }$\mathcal{P}_0$\emph{ est bien vraie.}
				
\emph{Hérédité :} Pour  $k$  entier naturel quelconque, on suppose la propriété $\mathcal{P}_k$ vraie.
				
On a $u_{k+1} = \dfrac23 u_k + \dfrac13 k+1$.
				
Par hypothèse de récurrence : $u_k \leqslant k+3$
				
En multipliant par un nombre positif : $\dfrac23 u_k \leqslant \dfrac23 (k+3)$
				
Soit $\dfrac23 u_k \leqslant \dfrac23 k + 2$
				
Puis, en ajoutant un même nombre dans chaque membre :
				
$\dfrac23 u_k + \dfrac13 k + 1\leqslant \dfrac23 k  +2+ \dfrac13 k + 1$
				
Ce qui donne : $u_{k+1} \leqslant k + 3 \leqslant k+4$

On a donc $u_{k+1} \leqslant (k+1) + 3$, c'est à dire que la propriété $\mathcal{P}_{k+1}$ est vraie.
				
\emph{Nous avons donc démontré le caractère héréditaire de la véracité des propriétés }$\mathcal{P}_n$.
				
\emph{Conclusion :}  Puisque la propriété $\mathcal{P}_0$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $\mathcal{P}_n$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $n$, on a bien $u_n \leqslant n+3$.			
			\item $u_{n+1}-u_n = \dfrac23 u_n + \dfrac13 n +1 - u_n = -\dfrac13 u_n + \dfrac13 n + \dfrac33 $
			
On a donc bien $u_{n+1}-u_n = \dfrac13 \times (- u_n + n +3) = \dfrac13(n+3 - u_n)$.
Comme on l'a montré à la question précédente, pour tout $n$ naturel, on a $u_n \leqslant n+3$ ce qui équivaut à dire que la différence $n+3 - u_n$ est positive, et elle le reste en étant multipliée par $\dfrac13$, donc la différence entre deux termes consécutifs étant  positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite $(u_n)_{n \in \N}$ est bien croissante, dès le rang 0.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimons, pour un entier $n$ naturel quelconque, $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :
			
$v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = \dfrac23 u_n + \dfrac13 n +1 - n - 1 = \dfrac23 u_n - \dfrac23 n = \dfrac23 (u_n - n) $
			
Donc $v_{n+1} = \dfrac23 v_n$.
			
La relation de récurrence obtenue confirme que la suite $(v_n)_{n \in \N}$ est bien géométrique de raison $q=\dfrac23$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = 2$.
		\item On peut donc en déduire une expression explicite du terme général de la suite $v$ : $v_n = v_0 \times q^n = 2\left(\dfrac23\right)^n$.
			
Enfin, puisque l'on a, pour tout $n$, $v_n = u_n - n$, on en déduit :
			
$u_n = v_n + n$, et donc on aboutit bien à l'expression demandée : 
			
$u_n = 2\left(\dfrac23\right)^n + n$.			
		\item Puisque la raison $q$ est strictement comprise entre $-1$ et $1$, on en déduit que la limite de la suite $v$ est 0, et donc par limite d'une somme de suites, la limite de la suite $u$ est donc $+\infty$, et la suite $u$ est donc divergente.			
		\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $S_n$ est la somme de $n+1$ termes de la suite $u_n$. Mais, comme par ailleurs, on peut considérer que chaque terme $u_n$ est la somme de $v_n$ et de $n$, donc en réordonnant les termes, $S_n$ est la somme de deux \og sous-sommes \fg{} : celle des $n+1$ premiers termes de la suite $v$ et celle des $n+1$ premier entiers naturels.
			
La première sous-somme est une somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique, et vaut donc : 
			
$v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 2\dfrac{1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}}{1 - \left(\dfrac23\right)} = 6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right)$.
			
La seconde sous-somme est la somme des $n+1$ premiers entiers naturels, c'est à dire la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1, donc elle vaut : 
			
$\dfrac{0 + n}2 \times (n + 1) = \dfrac{n(n+1)}2$ (résultat classique).
			
Finalement, on a $S_n = 6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) + \dfrac{n(n+1)}2$.
		\item On en déduit : 
			$T_n = \dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) + \dfrac{n(n+1)}2}{n^2}$
			
			$T_n = \dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\dfrac{\dfrac{n(n+1)}2}{n^2}$
			
			$T_n =\dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\dfrac{n^2 + n}{2n^2} =  \dfrac{6 \times \left(1 - \left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) }{n^2}+\dfrac12 + \dfrac{1}{2n}$.
		
Puisque, une fois encore, $q$ est entre $-1$ et 1, on a : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{\left(\dfrac23\right)^{n+1} } = 0$.
		
Donc par limite d'une somme de suites, puis d'un produit de suites : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{6\times \left(1 -\left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) } = 6$.
		
Par ailleurs, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{n^2} = +\infty$, donc par limite d'un quotient de suites, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{\dfrac{6\times \left(1 -\left(\dfrac23\right)^{n+1}\right) } {n^2}}= 0$.
		
De plus $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{\dfrac12 } = \dfrac12$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}{\dfrac1{2n} } = 0$, et donc finalement, par limite d'une somme de suites, on arrive à conclure que la suite $T$ converge vers $\dfrac12$.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}
\end{sol}

\pagebreak


\begin{exoi}

\begin{footnotesize}
On considère la suite $(u_n)$ définie par :
$$ u_0=0\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
On pose, pour tout entier $n$ : $$v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}$$
Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
\end{footnotesize}

\begin{sol}
On a pour tout entier naturel $n$ :
$$ v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3}$$
de plus on sait que $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}$, de sorte que :
$$ v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}+3}=\dfrac{\frac{2u_n+3-u_n-4}{u_n+4}}{\frac{2u_n+3+3u_n+12}{u_n+4}}=\dfrac{u_n-1}{5u_n+15}=\dfrac{1}{5}\times v_n$$
On vient de démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$.
\end{sol}
\item {\footnotesize Exprimer $v_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.}

\begin{sol}
$v_0=\dfrac{0-1}{0+3}=-\dfrac{1}{3}$, par conséquent puisque la suite $(v_n)$ est géométrique on a :
$$ v_n=-\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n$$
De plus :
$$v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}\Longleftrightarrow v_n(u_n+3)=u_n-1\Longleftrightarrow v_nu_n-u_n=-3v_n-1 \Longleftrightarrow u_n(v_n-1)=-3v_n-1\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{-3v_n-1}{v_n-1}$$
et donc :
$$ u_n=\dfrac{0,2^n-1}{-\frac{1}{3}\times 0,2^n-1}$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Déterminer la limite de $(v_n)$, puis celle de $(u_n)$ en fonction de $n$.}

\begin{sol}
Puisque $-1<0,2<1$ il suit que $\lim \limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{5}\right)^n=0\Longrightarrow \lim \limits_{n\to+\infty} v_n=0$

De plus puisque $ u_n=\dfrac{-3v_n-1}{v_n-1}$ et puisque $\lim \limits_{n\to+\infty} v_n=0$ on obtient :
$$ \lim \limits_{n\to+\infty} u_n=1$$
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
O\begin{footnotesize}
n pose $u_1=0,2$ ; $u_2=0,23$ ; $u_3=0,235$ ; $\dots$ ; $u_7=0,2357111317$ ; $\dots$

($u_n$ s'écrit $0$ virgule, suivi de la juxtaposition des $n$ premiers nombres premiers.)
\end{footnotesize}


\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?}

\begin{sol}

La suite $(u_n)$ est trivialement croissante.
\end{sol}

\item {\footnotesize Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.}

{\footnotesize \textit{\textbf{Note : La limite de cette suite est appelée \og nombre d'Erdos \fg{} }}}

\begin{sol}
La suite $(u_n)$ est trivialement majorée par $1$, de sorte qu'elle est strictement croissante et majorée par $1$ donc d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un nombre réel inférieur ou égal à $1$.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}