\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir Maison 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\begin{exoi}

\begin{footnotesize}
On considère la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$.

\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dans un repère orthonormal on représenté la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$ définie pour $x\geq -6$ par $f(x)=\sqrt{x+6}$ et la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x$. Représenter les termes $u_1$ ; $u_2$ ; $u_3$ et $u_4$ en utilisant $\mathscr C_f$ et $\mathscr D$. }

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.1]{suiterec2.eps}
\end{center}

{\footnotesize Conjecturer, à l'aide du \og dessin \fg{} précédent le sens de variation et la limite de la suite $(u_n)$.}

\begin{sol}

On observe que $u_0<u_1<u_2<u_3<u_4$, par conséquent on peut penser que la suite $(u_n)$ soit strictement croissante, de plus on observe graphiquement que les termes s'agglutinent autour de l'abscisse du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et $\mathscr D$, ce qui nous pousse à croire que $(u_n)$ converge vers $3$.
\end{sol}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer, par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 3$$ 
\end{footnotesize}

\begin{sol}
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété : $ 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 3$ que nous allons prouver par récurrence sur $n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $ \mathscr P$ est vraie pour $n=0$.

$u_0=0$ et $u_1=\sqrt{0+6}=\sqrt{6}$ et on a bien $0\leq u_0\leq u_1\leq 3$, ainsi $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si  $ 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 3$ alors  $ 0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 3$

\begin{align*}
& 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 3 \\
\Longleftrightarrow & 6\leq u_n+6\leq u_{n+1}+6\leq 9 \\
\Longleftrightarrow & \sqrt{6} \leq \sqrt{u_n+6}\leq \sqrt{u_{n+1}+6}\leq 3\\
\Longrightarrow & 0(<\sqrt{6})\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq 3 
\end{align*}
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est héréditaire et est initialisée à partir de $n=0$, de sorte que nous avons démontré par récurrence que la suite $(u_n)$ était croissante et majorée par $3$.
\end{itemize}
\end{sol}
\item {\footnotesize En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.}
\begin{sol}
D'après la question précédente $u_n\leq u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$ donc la suite est croissante.
 \end{sol}
\item {\footnotesize Résoudre l'équation $x=\sqrt{x+6}$. }

\begin{sol}
Puisque $x=\sqrt{\dots}$ on doit avoir $x\geq 0$, d'autre part :
$$ x=\sqrt{x+6}\Longrightarrow x^2=x+6 \Longrightarrow x^2-x-6=0$$
$\Delta=b^2-4ac=1+24=5$, de sorte que le trinôme admet deux racines qui sont $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-5}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+5}{2}=3$.

Parmi ces deux solutions hypothétiques, seule $3$ est solution de l'équation initiale (puisque $x$ doit être positif ou nul).
\end{sol}
\item {\footnotesize En vous aidant du graphique, expliquer pourquoi résoudre l'équation précédente a un lien avec la limite de la suite $(u_n)$.}

\begin{sol}
D'après la question précédente, l'abscisse du point d'intersection entre $\mathscr C_f$ et $\mathscr D$ est $3$, qui est donc un candidat idéal dans l'hypothèse où notre suite $(u_n)$ converge.
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\begin{footnotesize}
On considère la suite de terme général :
$$ u_n=2^n-n$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $u_0$ ; $u_1$ ; $u_2$ ; $\dots$ ; $u_9$ puis conjecturer d'une part le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa limite.}
\begin{sol}
$u_0=1$, $u_1=2-1=1$, $u_2=4-2=2$,  $u_3=8-3=5$, $u_4=12$, $u_5=27$, $u_6=58$, $u_7=121$, $u_8=248$ et $u_9=503$.

Il semble que la suite $(u_n)$ soit croissante et diverge vers $+\infty$.
\end{sol}
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=2^n-1$$
\end{footnotesize}

\begin{sol}

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=2^{n+1}-(n+1)-(2^n-n)=2\times 2^n-n-1-2^n+n=2^n(2-1)-1=2^n-1$$
\end{sol}
\item \begin{footnotesize}
Démontrer, par récurrence que $2^n-1\geq 0$ pour tout entier naturel $n$.

\textit{On pourra observer que $2^{n+1}-1=2\times \left(2^n-1\right)+1$}
\end{footnotesize}

\begin{sol}
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $2^n-1\geq 0$ et prouvons la par récurrence.

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$.

$2^0-1=0\geq 0$ donc $\mathscr P$ est vraie pour $n=0$
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $2^n-1\geq 0$ alors $2^{n+1}-1\geq 0$

On suppose que $2^n-1\geq 0\Longleftrightarrow 2^n\geq 1$

De plus
$$2^{n+1}-1=2\times 2^n -1\geq 2\times 1-1=1>0$$
Ainsi $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=0$ et est héréditaire donc on a démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ 2^n-1\geq 0 $$
\end{itemize}
\end{sol}
\item{\footnotesize  En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.}
\begin{sol}
D'après l'avant dernière question on sait que $u_{n+1}-u_n=2^n-1$ et d'après la précédente on sait que $2^n-1\geq 0$, par conséquent $u_{n+1}-u_n\geq 0$ ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est croissante.
\end{sol}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Démontrer par récurrence que $u_n\geq 1,5^n$ pour $n\geq 3$.}
\begin{sol}
Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $u_n\geq 1,5^n$ et prouvons la par récurrence.

\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{Initialisation}} : Montrons que $\mathscr P$ est vraie pour $n=3$.

$u_3=2^3-3=5\geq 1,5^3=\dfrac{27}{8}$ donc $\mathscr P$ est vraie pour $n=3$
\item \textbf{\textit{Hérédité}} : Montrons que si $u_n\geq 1,5^n$ alors $u_n\geq 1,5^{n+1}$

On sait que $u_n=2^n-n$ et on suppose que $u_n\geq 1,5^n$, de sorte que $2^n-n\geq 1,5^n\Longleftrightarrow 2^n\geq 1,5^n+n$.



De plus
$$u_{n+1}=2^{n+1}-(n+1)=2\times 2^n -n-1\geq 2\times (1,5^n+n)-n-1>1,5^{n+1}+2n-n-1>1,5^{n+1}$$
Ainsi $\mathscr P$ est héréditaire.
\item \textbf{\textit{Conclusion}} : $\mathscr P$ est initialisée à partir de $n=3$ et est héréditaire donc on a démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n\geq 3$ on a :
$$ u_n\geq 1,5^n $$
\end{itemize}
\end{sol}
\item {\footnotesize Donner $$ \lim\limits_{n\to+\infty} 1,5^n$$}
\begin{sol}
Puisque $1,5>1$ on sait que :
 $$ \lim\limits_{n\to+\infty} 1,5^n=+\infty$$
\end{sol}
\item {\footnotesize Que peut-on en déduire quant à la limite de la suite $(u_n)$ ?}
\begin{sol}
D'après l'avant dernière question on sait que $u_n\geq 1,5^n$ dès que $n\geq 3$ et d'après la précédente on sait que $ \lim\limits_{n\to+\infty} 1,5^n=+\infty$, on en déduit par comparaison que :
$$ \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$$
\end{sol}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}