\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Travaux de groupe 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{R\'egularit\'e d'une courbe}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\begin{exoi}
On considère la fonction $f$ définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=1-x^2$ et $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal.

On inscrit le rectangle $NMPQ$ à l'intérieur de la parabole où $N(-x,0)$, $(M,(x,0)$, $P(x,f(x))$ et $Q(-x,f(-x))$ comme sur la figure ci-dessous :

 \begin{center}
 \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=4.0cm,yunit=4.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.21,-0.12)(1.11,1.1)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.2,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.21,-0.12)(1.11,1.1)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.8,0)(-0.8,0.36)(0.8,0.36)(0.8,0)
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{1.0}{1-x^2}
\psline(-1.14,1.3)(-0.73,1.3)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.8,0)(-0.8,0.36)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.8,0.36)(0.8,0.36)
\psline[linecolor=zzttqq](0.8,0.36)(0.8,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0.8,0)(-0.8,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](-0.77,1.3)
\rput[bl](-0.82,1.34){$a = 0.8$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.8,0)
\rput[bl](0.81,0.02){\darkgray{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.8,0)
\rput[bl](-0.78,0.02){\darkgray{$N$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.8,0.36)
\rput[bl](0.81,0.39){\darkgray{$P$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.8,0.36)
\rput[bl](-0.78,0.39){\darkgray{$Q$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 
 Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale ?
 
 \textit{On apportera grand soin à la rédaction de la solution.}
 \end{exoi}
 
 \begin{exoi}
 
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
 $$f(x)=\dfrac{x^3-4}{x^2+1}$$
 et on note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal d'unité $1$ cm.
 
\partieBac{etude d'une fonction auxiliaire}

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+3x+8$. 
 \begin{enumerate}
 
 \item Dresser le tableau de variation complet de $g$ sur $\R$.
 \item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d'amplitude $0,1$.
 \item Préciser le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
 \end{enumerate}

\partieBac{Retour à la fonction $f$.}
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et exprimer $f'(x)$ en fonction de $g(x)$.
\item Expliquez pourquoi le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $xg(x)$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$ sur $\R$.
\item Démontrer que $f(\alpha)=\dfrac{3}{2}\alpha$.
\end{enumerate}
 \end{exoi}
\pagebreak
\begin{exoi}

Le problème est de déterminer la distance $x$ à laquelle on doit placer un appareil photographique pour avoir une photo de la statue de la liberté prise sous un angle $\theta$ maximal.

On admet que $\theta$ appartient à l'intervalle $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$. 

Les données numériques sont les suivantes :
\begin{itemize}
\item l'appareil photo est à $1,5$ m du sol ;
\item le piédestal a pour hauteur 45 m ;
\item la statue a également pour hauteur $45$ m.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.2]{statue.eps}
\end{center}
\end{itemize}

Au fil de l'exercice il pourra être utile d'utiliser les formules trigonométriques suivantes :
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ ;
\item $(\sin x)'=\cos x$ et $(\cos x)'=-\sin x$ ; 
\item $cos(a-b)=\cos a \cos b+\sin a \sin b$ ;
\item $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ qui pour $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ associe $f(\alpha)=\tan \alpha$.
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$.
\item En déduire que $\theta$ est maximal lorsque $\tan\theta$ est maximale.
\end{enumerate}
\item Démontrer la formule :
$$ \tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$$
\item \begin{enumerate}
\item Exprimer $\theta$ comme la différence de deux angles $a$ et $b$ que l'on précisera.
\item A l'aide des deux questions précédentes, démontrer que :
$$ \tan \theta=\dfrac{45x}{x^2+3849,75}$$
\item On note $g(x)=\dfrac{45x}{x^2+3849,75}$ pour $x>0$.

Dresser le tableau de variations complet de $g$ sur $\R^+$.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}