\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Travaux dirig\'ees 2}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\begin{exoi}
On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par :
$$ u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\qquad \text{et} \qquad v_n=-(n+1)^2$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.\\
}
{
$n=0$ et $u=\dfrac{1}{3}$.\\
  \While{$|u-2|\geq 0,001$}
{$n:=n+1$ et $u:=\dfrac{2n+1}{n+3}$  
}
\\Afficher $n$
}
}
\end{center}
Quel est l'intérêt de cet algorithme ?
\item A partir de quel rang $N$ la distance entre $u_n$ et $\ell$ est-elle strictement inférieure à $0,001$ ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n<-10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
La suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par  :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=\dfrac{1}{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{8u_n+3}{u_n+6} \end{array} \right.$$
 \begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 1$ on a : $1<u_n<3$
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\end{enumerate}
\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $$ v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique, préciser son premier terme et sa raison.
\item Quelle est la limite de $(v_n)$ ?
\end{enumerate}
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $v_n$. En déduire le comportement à l'infini de $u_n$
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
Déterminer la limite des suites $u$, $v$ et $w$ définies pour tout entier naturel $n$ par :$$ u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}\qquad \text{;}\qquad v_n=\dfrac{n+\cos n}{n+3}\qquad \text{et}\qquad w_n=\dfrac{n^2+(-1)^n}{n+5}$$
\end{exoi}

\begin{exoi}

On définit la suite $(u_n)$ sur $\N$ par : 
$$\left\{ \begin{array}{l} u_0=a \\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}  \end{array} \right.$$
où $a\in[-1;+\infty[$.\\
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ \footnote{On comparera les valeurs $u_0$ et $u_1$ suivant les valeurs de $a$.}
\end{exoi}



\begin{exoi}
 Soit $(v_n)$ définie par $$\left\{ \begin{array}{l} v_0=0 \\ v_{n+1}=2 \sqrt{v_n} +1  \end{array} \right.$$
Démontrer que $(v_n)$ est bornée par $0$ et $9$
\end{exoi}








\begin{exoi}
On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par : $ u_n=\dfrac{5}{n+1}\qquad \text{et} \qquad v_n=n^2+n$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item Compléter l'algorithme suivant de manière à ce qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que la distance entre $u_n$ et $\ell$ soit inférieure à $10^{-5}$ :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.\\
}
{
$n=0$ et $u=\dots $.\\
  \While{$\dots\dots \dots $}
{$\dots \dots \dots $ et $\dots \dots\dots \dots$  
}
\\Afficher $\dots $
}
}
\end{center}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n>10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
\textit{Etude d'une suite arithmético-géométrique}\\
\begin{enumerate}
\item Chaque année, la grand mère de Julien dépose de l'argent dans une tirelire pour son petit fils. \\
Elle a commencé le $1^{er}$ janvier $1982$ par un dépot de $500$ F. Depuis lors, elle a effectué un dépot chaque $1^{er}$ janvier, en augmentant chaque année le montant de ce dépot de $50$ F. On note :
\begin{itemize}
\item $u_n$, le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire le $1^{er}$ janvier de l'année $1982+n$\\
(Ainsi : $u_0=500$, $u_1=550$, $\dots$)
\item $s_n$ le montant exprimé en francs, de la somme déposé dans la tirelire après le dépot de l'année $1982+n$\\
(Ainsi : $s_0=500$, $s_1=1050$, $\dots$)
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$
\item Calculer $s_2$, puis exprimer $s_n$ en fonction de $n$
\item Le $1^{er}$ janvier $2002$, la grand-mère de Julien effectué son dépôt habituel (en francs) puis offre la tirelire à Julien. Quel est le montant de la somme reçue par Julien en francs, puis en euros \footnote{Rappel : $1$ euro correspond à $6,55957$ francs}
\end{enumerate}
\item Avec le cadeau de sa grand-mère, Julien décide d'ouvrir un compte bancaire et décide d'y placer la plus grande partie de la somme reçue. \\
Le $1^{er}$ janvier $2002$, il effectue un placement de $3000\euro$ au taux annuel de $4\%$.\\
De plus chaque $1^{er}$ janvier des années suivantes, il décide d'ajouter sur son compte la somme de $200\euro$, on note :
\begin{itemize}
\item $c_n$ le montant exprimé en euros, du capital disponible sur le compte bancaire de Julien après $n$ années de placement. (Ainsi $c_0=3000$)
\item $(u_n)$ la suite définie par $u_n=c_n+5000$. (Ainsi $u_0=8000$).
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ on a $ c_{n+1}=1,04c_n+200$.
\item Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis $c_n$ en fonction de $n$.
\item Combien d'années, au minimum, Julien devra-t-il attendre pour disposer d'une somme de $6000\euro$ sur son compte bancaire ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\
\end{document}