\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill \textit{10 points}

Dans le plan complexe munit du repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère le point $M$ d'affixe $z$ et le point $M'$ d'affixe $z'$ définit par :
$$ z'=-z^2-1$$
On dit que $M'$ est l'image du point $M$.
\begin{enumerate}
\item Quel est l'image du point $M$ d'affixe $i$ ?
\item Quels sont les points $M$ dont l'image est l'origine du repère ?
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\mathscr C$, l'équation :
$$ z^2+z+1=0$$
\item En déduire l'ensemble des points $M$ du plan confondu avec leur image $M'$, c'est-à-dire vérifiant $z'=z$.  
\end{enumerate}
\item On note $j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $j$ puis écrire $j$ sous forme trigonométrique.
\item Déterminer le module et un argument de $\overline{j}$ puis écrire $\overline{j}$ sous forme trigonométrique.
\end{enumerate}
\item On note $M_n$ le point du plan complexe d'affixe $z_n$ définit par $z_n=j^n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $OM_n$, que peut-on en déduire quant à la position des points $M_n$ dans le plan complexe ?
\item Démontrer qu'un argument de $z_n$ vaut $\dfrac{2n\pi}{3}$.
\item Placer à l'aide de la règle non graduée et du compas, les points $M_0$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ sur une figure.
\item Expliquer où se situe le point $M_{2017}$ dans le plan complexe puis le placer sur votre figure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\vfill
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}3$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}


\begin{exoi}\hfill \textit{10 points}

Dans le plan complexe munit du repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$, on considère le point $M$ d'affixe $z$ et le point $M'$ d'affixe $z'$ définit par :
$$ z'=\dfrac{-z^2-1}{\sqrt{2}}$$
On dit que $M'$ est l'image du point $M$.
\begin{enumerate}
\item Quel est l'image du point $M$ d'affixe $i$ ?
\item Quels sont les points $M$ dont l'image est l'origine du repère ?
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\mathscr C$, l'équation :
$$ z^2+\sqrt{2} z+1=0$$
\item En déduire l'ensemble des points $M$ du plan confondu avec leur image $M'$, c'est-à-dire vérifiant $z'=z$.  
\end{enumerate}
\item On note $k=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $k$ puis écrire $k$ sous forme trigonométrique.
\item Déterminer le module et un argument de $\overline{k}$ puis écrire $\overline{k}$ sous forme trigonométrique.
\end{enumerate}
\item On note $M_n$ le point du plan complexe d'affixe $z_n$ définit par $z_n=k^n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $OM_n$, que peut-on en déduire quant à la position des points $M_n$ dans le plan complexe ?
\item Démontrer qu'un argument de $z_n$ vaut $\dfrac{3n\pi}{4}$.
\item Placer à l'aide de la règle non graduée et du compas, les points $M_0$, $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$, $M_5$, $M_6$, $M_7$ et $M_8$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}
