\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+n^2+1$

\begin{enumerate}
\item Démontrer, par récurrence, que $u_n\geq n^2$
\item Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty} n^2$ puis en déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\

On considère la suite $(v_n)$ définie par :$$v_0=2\quad \text{et}\quad  v_{n+1}=\dfrac{v_n^2+2}{2v_n}$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[\sqrt{2};+\infty[$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x^2+2}{2x}$$
Déterminer le tableau de variation de $f$ sur $[\sqrt{2};+\infty[$.
\item Démontrer ,par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a : $\sqrt{2}\leq v_{n+1}\leq v_n$
\item En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers un nombre réel $\ell$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $x=\dfrac{x^2+2}{2x}$
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(v_n)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\vfill
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}2$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_{n}=\dfrac{2n+(-1)^n}{n}$

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite des suites suivantes :
$$v_n=\dfrac{2n-1}{n}\qquad \text{et}\qquad w_n=\dfrac{2n+1}{n}$$
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}



\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par  :$$v_0=0\quad \text{et}\quad  v_{n+1}=\dfrac{2v_n+3}{v_n+4}$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R\textbackslash\{-4\}$ par :
$$ f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}$$
Déterminer le tableau de variation de $f$ sur $\R\textbackslash\{-4\}$.
\item Démontrer ,par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a : $0\leq v_{n}\leq v_{n+1}\leq 1$.
\item En déduire que la suite $(v_n)$ converge vers un nombre réel $\ell$. 
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation $x=\dfrac{2x+3}{x+4}$
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(v_n)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}
