\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}


\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1cm,bmargin=1cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ v_n=\dfrac{n-1}{n^2+1}$$
Déterminer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$.
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{1+2u_n}{2+u_n}$ pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=\dfrac{1+2x}{2+x}$. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a $0\leq u_n<1$.
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}
\end{exoi}

\vfill
\setcounter{exoBac}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune
\textbf{Nom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$ \hfill \textbf{Pr\'enom : }$\dots\dots\dots\dots\dots$  \hfill Classe :$\dots\dots$\\
\psframebox[linestyle=solid,shadow=true,framearc=0.5,fillcolor=vert!30]{
\begin{minipage}{17cm}
\begin{center}
\vspace{1mm}
\textsc{\textbf{ Interrogation n$^{\circ}1$ }}
\end{center}
\vspace{-3mm}
\end{minipage}
}
\setcounter{section}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	 Interro
\begin{center}
\textit{\textbf{On prendra soin de coller le sujet sur la copie. La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}}
\end{center}

\begin{exoi}\hfill (4 points)

Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_n=\dfrac{2}{2n+1}$$
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate} 
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill (6 points)\\
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_0=1$ et $v_{n+1}=\sqrt{v_n+3}$

\begin{enumerate}
\item Démontrer, par récurrence, que la suite $(v_n)$ est croissante.
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $0<v_n<3$. Que peut-on déduire des deux résultats précédents ?
\item On considère une autre suite $(w_n)$ définie par la relation $w_{n+1}=\sqrt{w_n+3}$ de premier terme inconnue. Déterminer $w_0$ de telle manière à ce que la suite soit constante.
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}
