\documentclass[a4paper,10pt]{article}
	

\input macrodwicky.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=0.5cm,bmargin=3cm,lmargin=1cm,rmargin=1cm}

\newcommand{\typedoc}{Devoir Surveillé 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	


\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les suites}	
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$ S3}	
\newcommand{\Annee}{2017-2018}	
\newcommand{\Profs}{ D.Zancanaro}
\newcommand{\LyMu}{Jean Durand}




\begin{document}
\DocPro

\textbf{La note tiendra compte de la qualité de la rédaction et de l'application.}

\begin{exoi}\hfill \textbf{2 points}

Déterminer la limite de la suite $w_n$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ w_n=\dfrac{n^2}{n^2+1}+1$$
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}

Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à {10000} le nombre de ses abeilles.

Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20\,\% des abeilles de l'année précédente.

Il achète 10000 nouvelles abeilles chaque année. 

On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a

\[u_0 = 1\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+ 1} = 0,8u_n + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x=0,8x+1$.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ on a :$$ 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 5$$
\item En déduire que la suite converge.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter votre résultat.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{4 points}

On considère la suite\index{suite} numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$$\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0} &=& 1\\ 	 
v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}}
\end{array}\right.$$

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;3]$ par $f(x)=\dfrac{9}{6-x}$. Etudier ses variations sur l'intervalle $[0;3]$.
\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ on a :$0< v_n<v_{n+1} < 3$. 
\item Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}\hfill \textbf{10 points}

\partieBac{}

\medskip

On considère l'algorithme suivant :

Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Entrée}
\\
Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\
\textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\
$\qquad$Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Fin pour\\
Afficher $U$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip

Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?

\pagebreak
\partieBac{}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $u_1=3$ puis calculer $u_2$ et $u_3$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=2(u_n-n)+3$$
\item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}

\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi est-on sûr qu'il existe un entier $n_0$ tel que :
		$$\forall n\geqslant n_0 \quad \text{on ait} \qquad u_n\geqslant 10^p \quad \text{?}$$ 
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ on ait $u_n\geqslant 10^3$.
		%\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
		\item Compléter l'algorithme, donnée en annexe, qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, on ait $u_n\geqslant 10^p$.
%		\item On note $n_0$ le plus petit entier naturel $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0$ on ait $u_n\geqslant 10$. 
%		
%		Vérifier que $u_{3p}\geqslant 10^p$ puis justifier que $n_0\leqslant 3p$.
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}





\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Variables}
$U$ est un réel, $n$ et $p$ sont des entiers naturels. \\
\textbf{Entrée}
Saisir le nombre entier naturel $p$.\\
\textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0 puis affecter à $n$ la valeur $0$\\
Tant que $\dots\dots\dots\dots$\\
$\quad$ Affecter à $U$ la valeur $\dots\dots\dots\dots$\\
$\quad$ Affecter à $n$ la valeur $\dots\dots\dots\dots$\\
Fin tantque\\
Afficher $\dots$
\end{minipage}}
\end{center}

\end{document}