\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 7}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


%\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}

On considère le nombre complexe $ z=-1+\sqrt{3}i$ ; on note $M_n$ le point du plan d'affixe $z^n$.
\begin{enumerate}
\item $M_{2017}$ est-il sur l'axe des réels ?
\item $M_{2017}$ est-il sur l'axe des imaginaires ?
\item Quelles sont l'ensemble des valeurs de $n$ pour lesquelles $M_n$ est un point de l'axe des réels ?
\item On note $r_n=OM_n$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $r_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de $(r_n)$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}
On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe. 

Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe 

\[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$. 
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$.
 
Écrire sous forme trigonométrique les solutions de cette équation.

Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). 

On laissera les traits de construction apparents. 
\item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
 
Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. 
\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie 

\[|f(z) - 8| = 3.\]
 
Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$. 

Tracer (F) sur le graphique. 
%\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est 
%
%\[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
% 
%		\item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
%		 
%Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
% 
%Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.
%	\end{enumerate} 
%\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). 
\end{enumerate}

\end{exoi}



\end{document}