\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 6}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


%\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}
Soit $j$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$, démontrer que $j$ est solution de l'équation :
$$ 1+j+j^2=0$$
\end{exoi}

\begin{exoi}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv.
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : 

\[z_{0} = 1\quad  \text{et}\quad  z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\]

On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la forme trigonométrique du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison 
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
		\item En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l|X|}\hline 
Variables& $n$ entier naturel\\  
&$R$ réel\\ 
&$P$ réel strictement positif\\ \hline 
Entrée& Demander la valeur de $P$\\ \hline  
Traitement &$R$ prend la valeur 1\\ 
&$n$ prend la valeur 0\\ 
&Tant que $R > P$\\ 
&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
&\hspace{0,5cm}$R$ prend la valeur $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$\\ 
&Fin tant que\\ \hline 
Sortie &Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ? 
		\item Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$. 
		\item On admet que $z_{n} = r_{n}\left(\cos \dfrac{n\pi}{6}+i\sin\dfrac{n\pi}{6}\right)$.
		 
Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées. 
		\item Compléter la figure ci-dessous, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$.
		 
Les traits de construction seront apparents.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{center}

\psset{unit=8cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.3)(1.1,0.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-0.6,-0.3)(1.1,0.8)
\psdots(1;0)(0.866;30)(0.75;60)(0.6495;90)(0.5625;120)(0.487139;150)
\psline(1;0)(0.866;30)(0;0)(0.75;60)(0.866;30)
\psline(0.75;60)(0.6495;90)(0;0)(0.5625;120)(0.6495;90)
\psline(0.5625;120)(0.487139;150)(0;0)
\uput[ur](1;0){$A_{0}$} \uput[ur](0.866;30){$A_{1}$} \uput[ur](0.75;60){$A_{2}$} 
\uput[ur](0.6495;90){$A_{3}$} \uput[ul](0.5625;120){$A_{4}$} \uput[ul](0.487139;150){$A_{5}$} \uput[dl](0,0){O}
\psline[arrowsize=3pt 4]{->}(0,0)(1,0) 
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}