\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 5}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macrodwicky.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


%\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

Soit A, B et C les points d'affixes respectives: 

\[a = 3 - \text{i},\quad  b = 1- 3\text{i}~~ \text{et}~~ c = -1- \text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? 
		\item Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on calculera le rayon.
	\end{enumerate}	
\item Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et $N$ le point d'affixe notée $n$, définit par $ n=1+3i+(1-i)m.$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les distances $AM$, $AN$ et $MN$.
		\item En déduire la nature du triangle $AMN$. 
	\end{enumerate}
\item On appelle $Q$ le milieu du segment [A$N$] et $q$ son affixe.  

Montrer que : $q = \dfrac{(1 - \text{i})m}{2}	+ 2 + \text{i}$.  

\end{enumerate}

\end{exoi}

\begin{exoi}
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe 

\[z’ = - z^2 + 2z.\]

Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation :

\[- z^2 + 2z - 2 = 0.\] 

En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2. 
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. 

On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$. 

Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$. 
\item Dans cette question, on suppose que le point $M$ ayant pour affixe $z$, appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. On note $\theta$ un argument de $z$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le module de chacun des nombres complexes $z$ et $z_N$, ainsi qu'un argument de $z_N$ en fonction de $\theta$. 
		\item Sur une figure puis construire les points $N$ et $M'$ en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents). 
		\item Soit A le point d'affixe 1. Quelle est la nature du triangle A$MM’$ ? 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}

\end{document}