\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


%\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}


On considère la suite $\left(z_n\right)$ de nombres complexes définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_0		& =& 0\\
z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} \text{i} \times z_n + 5
\end{array}\right.\]

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point d'affixe $z_n$.

On considère le nombre complexe $z_{\text{A}} = 4 + 2\text{i}$ et A le point du plan d'affixe $z_{\text{A}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = z_n - z_{\text{A}}$
.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2} \text{i} \times u_n$.
		\item Démontrer (par récurrence) que, pour tout entier naturel $n$ :
		
\[u_n = \left(\dfrac{1}{2} \text{i}\right)^n (- 4 - 2\text{i}).\]
		
	\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points A, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.

\textit{Indication} : \textit{On pourra vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AM_n}$ et $\overrightarrow{AM_{n+4}}$  sont colinéraires (en utilisant leurs coordonnées)}
\end{enumerate}

\end{exoi}


\begin{exoi}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$.

On considère le point $A$ d’affixe $4$, le point $B$ d’affixe $4i$ et les points $C$ et $D$ tels que $ABCD$ est un carré
de centre $O$.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d’affixe $z_n = (1+i)^n$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $OM_n=\sqrt{2}^n$ pour tout entier naturel $n$.
\item Montrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que le point $M_n$ se situe en dehors du carré $ABCD$ pour tout entier naturel $n\geq n_0$.
\end{enumerate}

\end{exoi}


\end{document}