\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 3}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav


\textbf{\textit{Remarque}} :\textit{ L'élève pourra traiter, au choix, le premier exercice ou les deux derniers. }

\begin{exoi}

On suppose que, sur une période donnée, la population d'une pays est constante et égale à $60$ millions d'habitants, dont $40$ millions vivent en zone rurale et $20$ millions vivent en ville.

On constate que les mouvements de population sont décrits par la règle suivante : chaque année, $20\%$ des ruraux émigrent à la ville et $10\%$ des citadins émigrent en zone rurale.

On note respectivement $V_n$ et $R_n$ les effectifs (en millions) des citadins et des ruraux au bout de $n$ années ($V_0=20$ et $R_0=40$).
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\geq 0$, on a :
$$ \left\{\begin{array}{cc}V_{n+1}&=0,9V_n+0,2R_n\\
R_{n+1}&=0,1V_n+0,8R_n\\\end{array}\right.
$$
\item Que vaut $V_n+R_n$ ?

\item En déduire que les suites $(V_n)$ et $(R_n)$ satisfont à :
$$ V_{n+1}=0,7V_n+12\qquad \text{et}\qquad R_{n+1}=0,7R_n+6$$
\item Démontrer que $(V_n)$ est suite croissante et majorée par $60$ puis que $(R_n)$ est une suite décroissante et minorée par $0$.
 \item En déduire que les suites $(V_n)$ et $(R_n)$ convergent.
 \item Déterminer les limites des suites $(V_n)$ et $(R_n)$. Que peut-on en déduire dans le contexte de l'exercice ?
\end{enumerate}
\end{exoi}


\begin{exoi}

Montrer par récurrence que :
$$ 1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$$
\end{exoi}


\end{document}