\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 1}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Suites}		   %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après	
\newcommand{\ch}{R\'evisions}               %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{T$^\text{ale}$S}
\newcommand{\Annee}{2017-2018}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocDav

\begin{exoi}

On considère la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$.

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal on représenté la représentation graphique $\mathscr C_f$ de la fonction $f$ définie pour $x\geq -6$ par $f(x)=\sqrt{x+6}$ et la droite $\mathscr D$ d'équation $y=x$. Représenter les termes $u_1$ ; $u_2$ ; $u_3$ et $u_4$ en utilisant $\mathscr C_f$ et $\mathscr D$. 

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.1]{suiterec.eps}
\end{center}

Conjecturer, à l'aide du \og dessin \fg{} précédent le sens de variation et la limite de la suite $(u_n)$.
\item Démontrer, par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq 3$$ 
\item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\item Résoudre l'équation $x=\sqrt{x+6}$. 
\item En vous aidant du graphique, expliquer pourquoi résoudre l'équation précédente a un lien avec la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{exoi}

\begin{exoi}
On considère la suite de terme général :
$$ u_n=2^n-n$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_0$ ; $u_1$ ; $u_2$ ; $\dots$ ; $u_9$ puis conjecturer d'une part le sens de variation de la suite $(u_n)$ et sa limite.
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a :
$$ u_{n+1}-u_n=2^n-1$$
\item Démontrer, par récurrence que $2^n-1\geq 0$ pour tout entier naturel $n$.

\textit{On pourra observer que $2^{n+1}-1=2\times \left(2^n-1\right)+1$}

\item En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que $u_n\geq 1,5^n$ pour $n\geq 3$.
\item Donner $$ \lim\limits_{n\to+\infty} 1,5^n$$
\item Que peut-on en déduire quant à la limite de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoi}



\end{document}