\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Exercices} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Quelle est la probabilit\'e d'avoir son bac ??} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{Chapitre 6} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{TG6} \newcommand{\Annee}{2013-2014} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{2h} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Package \input macro_final.tex \setcounter{NumLecon}{5} \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Premiere page \begin{document} \DocCha \begin{ExoF} Dans lequel des cas suivants $X$ suit-elle une loi binomiale ? Si oui, donner les paramètres de la loi et calculer $P(X=3)$ si c'est possible, puis l'espérance et la variance de $X$. \begin{enumerate} \item Dans une classe, on tire au sort sans remise 5 élèves, $X$ est le nombre d'élèves abonnés à Star'Ac mag dans le lot tiré au sort. \item Dans un sac de 20 billes contenant 7 noires et 13 blanches, on tire avec remise 3 d'entre elles, $X$ étant le nombre de billes noires obtenues. \item On lance 10 dés, $X$ est le nombre de 5 obtenus. \item Un circuit comprend 2 lampes en série. Pour chacune d'elle, la probabilité qu'elle fonctionne est de $0.03$. $X$ est le nombres de lampes qui s'allument lorsqu'on appuie sur l'interrupteur. \\ Même question avec cette fois des lampes en parallèles. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Dans le métro, il a $9\%$ des voyagueurs qui fraudent. Chaque jour à la station Alésia, on contrôle $200$ personnes. Soit $X$ la variable aléatoire qui représente le nombre de fraudeurs sur ces 200 personnes. On admet que $X$ suit une loi binomiale (malgré le fait qu'il n'y ait pas de remise, le nombre de personnes étant très important, on admet qu'il y a indépendance entre les personnes contrôlées). \begin{enumerate} \item Déterminer les paramètres de la loi de $X$. \item Combien de personnes en moyenne vont être signalées en fraude lors de ce contrôle ? \item Si le prix du ticket est de $1,70\euro$, quel doit être le prix de l'amende pour qu'en moyenne, l'établissement régissant le métro ne perde pas d'argent avec les fraudeurs de la station Alésian, sachant qu'il y a $5\,000$ voyageurs chaque jour dans cette station ? \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Un test comporte $10$ questions. Chaque question contient $4$ réponses possibles, dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard à toutes les questions. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le candidat ait bien répondu à la première question ? \item Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses du candidat à ce test. Quelle loi suit $X$ ? \item Combien de bonnes réponses en moyenne obtient le candidat ? \item A chaque bonne réponse, l'examinateur ajoute $2$ points ; à chaque mauvaise réponse, il ne retire pas de point.\\ Soit $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre totale de points lors de ce test. \begin{enumerate} \item Exprimer $Y$ en fonction de $X$. \item En déduire $E(Y)$. \item Le candidat a-t-il intérêt à répondre au hasard ? \end{enumerate} \item L'examinateur change le barême. A chaque bonne réponse il ajoute $2$ points, à chaque mauvaise, il retire 1 point.\\ Soit $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre total de points lors de ce test. \begin{enumerate} \item Exprimer $Z$ en fonction de $X$. \item En déduire $E(Z)$. \item Le candidat a-t-il intérêt à répondre au hasard ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \newpage \begin{ExoF}\\ \begin{minipage}{7.5cm} \begin{enumerate} \item Que fait cet algorithme ? Expliquer. \item Programmer cet algorithme sur une calculatrice. \item Déterminer, pour un seuil de $0.95$, les intervalles de fluctuation d'une variable aléatoire $X$ de loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0.3$. Interpréter. \item Au seuil de $90\%$ ? Interpréter. \item Reprendre les deux questions précédentes pour $n=300$ et $p=0.02$. \end{enumerate} \begin{center} \includegraphics[scale=1]{TI83.eps} \end{center} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{10cm} \Algo[Fluctu]{10cm}{ \Entree{$n \in \N^*$, $0\leq p \leq 1$ et $s \in [0;1]$} \Var{$r$ est un nombre réel ; $k$ est un entier naturel} \Deb{ $k := 0$ \, et \, $r :=(1-p)^n$\\ \While{$r\leq\dfrac{1-s}2$}{ $k:=k+1$\\ $r:=r+$ Combinaison($n$,$k$)$\times p^k \times (1-p)^{n-k}$ } Afficher \og $a=$ \fg , $k$\\ \While{$r < \dfrac{1+s}2$}{ $k:=k+1$\\ $r := r+$ Combinaison($n$,$k$)$\times p^k \times (1-p)^{n-k} $ } Afficher \og $b=$ \fg , $k$ } } \end{minipage} \end{ExoF} \begin{center} \includegraphics[scale=1.2]{TI89.eps} \qquad\qquad \qquad \qquad \includegraphics[scale=0.6]{TINspire.eps} \end{center} \begin{ExoF} Une machine fabrique des processeurs. On sait que la probabilité d'obtenir un processeur défectueux est $p=0.06$. On contrôle des lots de $300$ processeurs. Soit $X$ une variable aléatoire représentant le nombre de processeurs défectueux sur ce lot. On suppose que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $300$ et $0.06$. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur du plus petit entier $a$ tel que $p(X\leq a) >0.025$. \item Déterminer la valeur du plus petit entier $b$ tel que $p(X\leq b) \geq 0.975$. \item En déduire l'intervalle de fluctuation à $95\%$ d'une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille $300$, de la variable $X$. \item Le contrôle de la machine $A$ donne $23$ processeurs défectueux ; le contrôle de la machine $B$ donne $28$ processeurs défectueux. Que peut-on en conclure ? \end{enumerate} \end{ExoF} \newpage \begin{ExoF} Taupie a mis des oeufs de pâques dans une boîte, les uns contiennent un cadeau, les autres non. On sait que : \begin{itemize} \item $30\%$ des oeufs contiennent un cadeau. \item $40\%$ des oeufs avec un cadeau sont bleus, les autres sont roses ; \item $75\%$ des oeufs sans cadeau sont bleus, les autres sont roses. \end{itemize} Taupie choisit au hasad un oeuf dans la boîte. On admet que tous les oeufs ont la même probabilité d'être choisis. \\ On considère les événements suivants : \begin{itemize} \item C : \og l'oeuf choisi contient un cadeau \fg \item B : \og l'oeuf choisi est bleu \fg \end{itemize} \begin{enumerate} \item Traduire les probabilités de l'énoncé sous forme mathématique. \item Représenter la situation par un arbre de probabilités. %\item Décrire l'événement $A\cap B$ par une phrase. Montrer que sa probabilité est égale à $0.12$. \item Calculer la probabilité de l'événement B. \item Décrire par une phrase l'événement $A \cup B$ par une phrase, puis calculer sa probabilité. \item Calculer la probabilité qu'un oeuf bleu contienne un cadeau. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Simplet, Goldorak et Monica Bellucci reviennent de la forêt avec trois paniers contenant respectivement 1, 2 et 3 champignons. Dans chaque panier, il y a un champignon vénéneux.\\ On choisit un des trois paniers au hasard, et dans ce panier on goûte un des champignons choisi lui aussi au hasard. \\ Quelle est la probabilité de se tordre de douleur puis de succomber dans d’atroces souffrances quelques minutes après ?\\ Un élève syldave qui passait par là a choisi un panier au hasard puis un champignon dans ce panier. On constate qu’il se tord de douleur puis succombe dans d’atroces souffrances : quelle est la probabilité qu’il ait goûté un champignon venant du panier de Monica Bellucci ? \end{ExoF} \begin{ExoF} Pour réussir une carrière politique en Corrèze, il faut une implantation locale. Dans cette perspective, un jeune énarque décide d’acquérir un château corrézien. Pour se faire connaître, il hante les commices agricoles du département. Il a ainsi deux chances sur trois d’être élu député. Si, par dessus le marché, il touche le derrière des vaches, cette probabilité passe à trois chances sur quatre. Il y a trois chances sur cinq pour que, son conseiller en communication lui ayant refilé le tuyau, il touche le derrière des vaches. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour qu’il soit élu député. \item Il est député. Calculez la probabilité pour qu’il ait touché le derrière des vaches. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Marcel est distrait. Quand il part travailler, il oublie parfois de s'habiller et prend le tramway entièrement dévétu. Quand il a voyagé la veille nu, il voyage nu une fois sur cinq le jour même; sinon, une fois sur deux.\\ On note $N_n$ l'événement \og ~il voyage le $n^{\text{ième}}$ jour nu~\fg et $p_n$ sa probabilité. \begin{enumerate} \item Exprimez $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$. \hfill \rotatebox{180}{Réponse~: $p_{n+1}=1/2-3p_n/10$} \item On pose $u_n=p_n-5/13$. Exprimez $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.\\ En déduire $u_n$ en fonction de $u_1$ et $n$. \hfill\rotatebox{180}{Réponse~: $u_n=u_1(-3/10)^{n-1}$} \item Exprimez alors $p_n$ en fonction de $n$. \item Montrez que la suite $(p_n)$ est convergente et calculez sa limite. \hfill\rotatebox{180}{Réponse~: 5/13} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Des études morphologiques de la Vénus de Milo montrent qu'il y a cinq chances sur sept pour qu'elle soit droitière et deux chances sur sept pour qu'elle soit gauchère. Si elle est droitière, il y a trois chances sur cinq pour qu'elle épluche des carottes et deux chances sur cinq pour qu'elle dénoyaute des olives. Si elle est gauchère, il y a une chance sur deux pour qu'elle épluche des carottes et une chance sur deux pour qu'elle dénoyaute des olives. \begin{enumerate} \item Calculez la probabilité pour qu'elle dénoyaute des olives. \hfill\rotatebox{180}{Réponse~: 3/7} \item Les noyaux trouvés sur le site archéologique de la statue permettent d'affirmer sans hésiter qu'elle dénoyaute des olives.\\ Calculez la probabilité pour qu'elle soit gauchère. \hfill\rotatebox{180}{Réponse~: 1/3} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On dispose d'un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.\\ \noindent On dispose également d'une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).\\ \noindent Un joueur fait une partie en deux étapes :\\ \textbf{Première étape} : il jette le dé et note le numéro obtenu.\\ \textbf{Deuxième étape} :\\ $\bullet~$ si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l'urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.\\ $\bullet~$ si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.\\ $\bullet~$ si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.\\ \noindent À la fin de chaque partie, il remet dans l'urne la ou les boules tirée(s).\\ \noindent On définit les év\`enements suivants :\\ \noindent D$_{1}$ : \og le dé indique 1 \fg\hspace{1cm} D$_{2}$ : \og le dé indique 2 \fg D$_{3}$ : \og le dé indique 3 \fg \hspace{1cm} G : \og la partie est gagnée \fg.\\ \noindent A et B étant deux év\`enements tels que $p$(A) $\neq 0$, on note $p_{\text{A}}(\text{B})$ la probabilité de B sachant que A est réalisé. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les probabilités $p_{\text{D}_{1}}(\text{G}),~ p_{\text{D}_{2}}(\text{G})$, et $p_{\text{D}_{3}}(\text{G})$ \item Montrer alors que $p$(G) = $\cfrac{23}{180}$. \end{enumerate} \item Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le dé. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} \textsl{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie.}\\ \noindent Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies.\\ Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.\\ \noindent 40\,\% des écrivains de romans policiers sont français et 70\,\% des \'ecrivains de biographies sont français.\\ \noindent Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages. \begin{enumerate} \item La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est : \[\textbf{a.}\quad 0,4\qquad \qquad \textbf{b.}\quad 0,75 \qquad \qquad \textbf{c.}\quad \cfrac{1}{150}\] \item Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est : \[\textbf{a.}\quad 0,3 \qquad \qquad \textbf{b.}\quad 0,8 \qquad\qquad \textbf{c.}\quad 0,4\] \item La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est \[\textbf{a.}\quad 1,15 \qquad\qquad \textbf{b.}\quad 0,4 \qquad\qquad \textbf{c.}\quad 0,3\] \item La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est : \[\textbf{a.}\quad 0,9 \qquad\qquad \textbf{b.}\quad 0,7\qquad \qquad \textbf{c.}\quad 0,475\] \item La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est français est : \[\textbf{a.}\quad \cfrac{4}{150} \qquad\qquad \textbf{b.}\quad \cfrac{12}{19}\qquad \qquad \textbf{c.}\quad 0,3\] \item Le lecteur est venu 3 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu'il ait choisi au moins un roman policier est : \[\textbf{a.}\quad 1-(0,25)^{3} \qquad\qquad \textbf{b.}\quad 3\times 0,75 \qquad \qquad \textbf{c.}\quad 0,75\times(0,25)^{3}\] \end{enumerate} \end{ExoF} \newpage \begin{ExoF} On considère trois urnes U$_{1}$,~ U$_{2}$, et U$_{3}$.\\ \noindent L'urne U$_{1}$ contient deux boules noires et trois boules rouges ; l'urne U$_{2}$ contient une boule noire et quatre boules rouges ; l'urne U$_{3}$ contient trois boules noires et quatre boules rouges.\\ \noindent Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U$_{1}$ et une boule de U$_{2}$, à les mettre dans U$_{3}$, puis à tirer au hasard une boule de U$_{3}$.\\ \noindent Pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par N$_{i}$, (respectivement R$_{i}$) l'év\`enement \og on tire une boule Noire de l'urne U$_{i}$ \fg (respectivement \og on tire une boule Rouge de l'urne U$_{i}$ \fg). \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant : \begin{center} \begin{pspicture}(6,7) \psline{-}(0,3.5)(1.9,1.5) \psline{-}(0,3.5)(1.9,5.5) \psline{-}(2.3,1.5)(3.9,0.5) \psline{-}(2.3,1.5)(3.9,2.5) \psline{-}(2.3,5.5)(3.9,4.5) \psline{-}(2.3,5.5)(3.9,6.5) \psline{-}(4.3,6.5)(6,7) \psline{-}(4.3,6.5)(6,6) \psline{-}(4.3,4.5)(6,5) \psline{-}(4.3,4.5)(6,4) \psline{-}(4.3,2.5)(6,3) \psline{-}(4.3,2.5)(6,2) \psline{-}(4.3,0.5)(6,1) \psline{-}(4.3,0.5)(6,0) \rput(2.1,1.5){R$_{1}$} \rput(2.1,5.5){N$_{1}$} \rput(4.1,0.5){R$_{2}$} \rput(4.1,2.5){N$_{2}$} \rput(4.1,4.5){R$_{2}$} \rput(4.1,6.5){N$_{2}$} \rput(6.2,0){R$_{3}$} \rput(6.2,1){N$_{3}$} \rput(6.2,2){R$_{3}$} \rput(6.2,3){N$_{3}$} \rput(6.2,4){R$_{3}$} \rput(6.2,5){N$_{3}$} \rput(6.2,6){R$_{3}$} \rput(6.2,7){N$_{3}$} \end{pspicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité des év\`enements N$_{1} \cap \text{N}_{2}~\cap \text{N}_{3}$, et N$_{1} \cap \text{R}_{2}~\cap \text{N}_{3}$. \item En déduire la probabilité de l'év\`enement $\text{N}_{1} \cap \text{N}_{3}$. \item Calculer de façon analogue la probabilité de l'év\`enement $\text{R}_{1} \cap \text{N}_{3}$. \end{enumerate} \item Déduire de la question précédente la probabilité de l'év\`enement N$_{3}$. \item Les év\`enements N$_{1}$ et N$_{3}$ sont-ils indépendants ? \item Sachant que la boule tirée dans U$_{3}$ est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U$_{1}$ soit rouge ? \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} \textsl{On note} $p_{\text{A}}(\text{B})$ \textsl{la probabilité conditionnelle de l'évènement} B \textsl{sachant que l'évènement} A \textsl{est réalisé.} \\ Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher. \begin{enumerate} \item On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l'urne. \\ On note A$_{0}$ l'évènement ; \og on n'a obtenu aucune boule noire \fg ; \\ On note A$_{1}$ l'évènement : \og on a obtenu une seule boule noire \fg ; \\ On note A$_{2}$ l'évènement : \og on a obtenu deux boules noires \fg. \\ Calculer les probabilités de A$_{0}$,~ A$_{1}$ et A$_{2}$. \item Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. \\ On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l'urne. \\ On note B$_{0}$ l'évènement : \og on n'a obtenu aucune boule noire au tirage n$\textsuperscript{o}~ 2$ \fg \\ On note B$_{1}$ l'évènement : \og on a obtenu une seule boule noire au tirage n$\textsuperscript{o}~ 2$ \fg \\ On note B$_{2}$ l'évènement : \og on a obtenu deux boules noires au tirage n$\textsuperscript{o}~ 2$ \fg \begin{enumerate} \item Calculer $p_{\text{A}_{0}}(\text{B}_{0}),~ p_{\text{A}_{1}}(\text{B}_{0})$ et $p_{\text{A}_{2}}(\text{B}_{0})$. \item En déduire $p(\text{B}_{0})$. \item Calculer $p(\text{B}_{1})$ et $p(\text{B}_{2})$. \item On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ? \end{enumerate} \item On considère l'évènement R : \og il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l'urne \fg. \\ Montrer que $p(\text{R}) = \cfrac{1}{3}$. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l'avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores. Pour tout entier naturel $n\se1$, on note $E_n$ l'événement~: \og Amélie est arrêtée par le $n^{eme}$ feu rouge ou orange \fg et $\overline{E_n}$ l'événement contraire (le feu orange est considéré comme un feu rouge). Soit $p_n$ la probabilité de $E_n$ et $q_n$ celle de $\overline{E_n}$. La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1/8. On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées \begin{itemize} \item la probabilité que le $(n+1)^{eme}$ feu tricolore soit rouge ou orange, si le $n^{eme}$ feu est rouge ou orange, vaut 1/20. \item la probabilité que le $(n+1)^{eme}$ feu tricolore soit rouge ou orange, si le $n^{eme}$ feu est vert, vaut 9/20. \end{itemize} \begin{enumerate} \item On s'intéresse tout d'abord aux deux premiers feux tricolores. Complétez un arbre pondéré rendant compte de la situation. \item On se place maintenant dans le cas général. \begin{enumerate} \item Donnez les probabilités conditionnelles $p_{E_n}(E_{n+1})$ et $p_{\overline{E_n}}(E_{n+1})$. \item En remarquant que $E_{n+1}=(E_{n+1}\cap E_n)\cup(E_{n+1}\cap \overline{E_n})$, montrez que, pour tout $n\in\N^*$ $$p_{n+1}=\dfrac{1}{20}p_n+\dfrac{9}{20}q_n$$ \item Déduisez-en l'expression de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$. \end{enumerate} \item Soit $(u_n)$ la suite de nombres réels définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_n=28p_n-9$. \begin{enumerate} \item Montrez que $(u_n)$ est géométrique et déterminez sa raison. \item Exprimez $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. \item Déterminez la limite, si elle existe, de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Interprétez ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou rouges indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à choisir une urne parmi les urnes $a$ et $b$ proposées (le choix de l'urne est effectué au hasard, les deux choix sont équiprobables), puis à effectuer lle tirage d'une boule dans l'urne choisie. On note $A$ l'événement \og l'urne $a$ est choisie \fg, $B$ l'événement \og l'urne $b$ est choisie \fg et $R$ l'événement \og une boule rouge est obtenue au tirage \fg. On note $p_A(R)$ la probabilité conditionnelle de l'événement $R$ par rapport à l'événement $A$. \begin{enumerate} \item Dans cette question, l'urne $a$ contient une boule rouge et quatre boules blanches, l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux boules blanches. \begin{enumerate} \item Déterminez les probabilités $p(A)$, $p_A(R)$, $p(A\cap R)$. \item Montrez que $p(R)=13/30$. \item Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l'urne choisie soit l'urne $a$~? \end{enumerate} \item Dans cette question , l'urne $a$ contient quatre boules blanches, l'urne $b$ contient deux boules blanches. L'urne $a$ contient en outre $n$ boules rouges et l'urne $b$ en contient $(5-n)$, où $n$ désigne un entier naturel inférieur ou égal à 5. \begin{enumerate} \item Exprimez $p_A(R)$ et $p_B(R)$ en fonction de $n$. \item Montrez que $p(R)=\dfrac{-n^2+4n+10}{(4+n)(7-n)}$ \item On sait que $n$ ne prend que six valeurs entières. Déterminez la répartition des cinq boules rouges entre les urnes $a$ et $b$ donnant la plus grande valeur de $p(R)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \end{document} \begin{ExoF} On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes. On regarde sa couleur, puis on la remet dans le paquet. On recommence cette expérience $8$ fois de suite.\\ Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où on a tiré un coeur. \begin{enumerate} \item Quelle loi suit $X$ ? Donner ses paramètres. \item A chaque fois qu'on tire un coeur, on gagne $3\euro$. Dans les autres cas, on perd $1\euro$.\\ Soit $Y$ la variable aléatoire représentant le gain total lors des $8$ tirages. \begin{enumerate} \item Exprimer $Y$ en fonction de $X$. \item En déduire l'espérance de $Y$. \item Est-il finacièrement intéressant de jouer à ce jeu ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Un vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle, se décrivant lui-même \og entre deux âges et très séduisant\fg, décide de séquestrer des gens, juste pour le fun (\og Lol ! \fg dixit le vieux prof d'histoire-géo à moitié aveugle). \\ Il en a kidnappé huit : ses quatre fils (Enzo, Basile, Hugo et Samuel) et quatre de ses collègues (Jéjé, Dédé et deux Lolos qu'il n'arrive pas à distinguer, bien que l'un soit un homme et l'autre une femme ...). Bref, il est bien atteint.\\ Le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle considère que son expérience est un Succès lorsqu'il séquestre un(e) Lolo, un Echec sinon. On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de Succès $S$. \begin{enumerate} \item Le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle choisit au hasard, successivement et avec remise trois personnes parmi les huit. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de $X$. \item Calculer $P(X=0)$, $P(X=2)$, $P(X\geq 2)$ et la probabilité d'obtenir au moins un Succès. \item Calculer l'espérance de $X$ et sa variance. Interpréter. \end{enumerate} \item Désormais, le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle choisit au hasard, successivement et sans remise, trois des personnes kidnappés. \begin{enumerate} \item La variable $X$ suit-elle une loi binomiale ? \item Construire l'arbre de probabilité décrivant la situation (les issues étant S et E). \item Calculer la probabilité $p$ de l'événement : \og la personne séquestrée choisie en premier est l'un(e) des Lolos \fg \item On sait désormais que le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle a choisi l'un(e) des Lolos en premier.\textsl{} Calculer alors la probabilité $q$ de l'événement : \og la personne séquestrée choisie en deuxième est l'une des Lolos \fg. \item Les probabilités $p$ et $q$ sont-elles égales ? Expliquer ce résultat. \item Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance. Interpréter. \end{enumerate} \item Le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle est désormais complètement aveugle et il a décidé de piquer ses otages au cure-dent, juste pour le fun (\og Lol ! \fg dixit le vieux prof d'histoire-géo complètement aveugle).\\ L'expérience consiste à choisir au hasard l'un des huit otages, puis tenter de le piquer au cure-dent. \\ Le vieux professeur d'histoire-géo complètement aveugle répète $10$ fois cette expérience, de manière indépendante. La probabilité que le vieux professeur d'histoire-géo complètement aveugle touche sa cible est de $\dfrac12$ quand il s'agit d'une fille (donc de Lolo) ou de Samuel, et de $\dfrac23$ sinon (la femme Lolo et Samuel étant plus menus que Dédé et plus petits que tous les autres, il est plus difficile de les atteindre).\\ Hugo a eu de mauvais résultats ce trimestre, ainsi cette fois, le vieux professeur d'histoire-géo complètement aveugle décide que son expérience est un Succès lorsqu'il le pique.\\ On appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de Succès $S$. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $Y$. \item Calculer $P(Y=4)$ \item Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$. Interpréter. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Rastatopoulos, célèbre poète grec du XX$^e$ siècle avant GC, nous rapporte l'anecdote suivante.\\ La Vénus de Milo rangeait ses olives dans trois amphores. Dans la première, il y avait 30 olives vertes et 20 olives noires. Les deux autres amphores contenaient, l'une quatre olives vertes (Rastatopoulos ne sait plus laquelle), l'autre quatre olives noires (Rastatopoulos ignore évidemment de quelle amphore il s'agit).\\ Un jour d'éclipse totale du soleil, la Vénus de Milo prend, au hasard, une olive de la première amphore, puis la place dans une des deux autres amphores. Elle prend ensuite dans celle-ci une olive au hasard et le soleil réapparait~: l'olive est verte.\\ Calculez la probabilité pour que la dernière amphore visitée contienne plusieurs olives vertes.\\ \textsl{On pourra considérer les événements suivants \begin{itemize} \item $V_1$~: \og la première olive est verte \fg \item $A$~: \og la deuxième amphore contenait les quatre olives vertes \fg \item $V_2$~: \og la deuxième olive est verte \fg \end{itemize}} \hfill\rotatebox{180}{ Réponse~: 23/26} \end{ExoF} \begin{ExoF} \begin{enumerate} \item Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté $a$, porté sur le jeton, puis on remet le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note $b$ le numéro du jeton tiré. On note $P(a,b)=a(1+b)-5+b(1-a)$ Montez que la probabilité que $P(a,b)$ soit nul est égale à 1/4. \item Deux personnes $A$ et $B$ jouent au jeu suivant, constitué d'un certain nombre de parties identiques décrites ci-après~: au cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question. Si $A$ obtient un $P(a,b)$ nul et $B$ un $P(a,b)$ non nul, $A$ est déclaré vainqueur et le jeu s'arrête. Si $A$ obtient un $P(a,b)$ non nul et $B$ un $P(a,b)$ nul, $B$ est déclaré vainqueur et le jeu s'arrête. Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie; le jeu continue. Pour tout entier $n$, on désigne par~: \begin{itemize} \item $A_n$ l'événement~: \og $A$ gagne la $n^{\text{ème}}$ partie \fg \item $B_n$ l'événement~: \og $B$ gagne la $n^{\text{ème}}$ partie \fg \item $C_n$ l'événement~: \og le jeu continue après la $n^{\text{ème}}$ partie \fg \end{itemize} \begin{enumerate} \item Calculez les probabilités $p(A_1)$, $p(B_1)$ et $p(C_1)$. \item Exprimez $p(C_{n+1})$ en fonction de $p(C_n)$ et montrez que $$ p(C_n)=\left(\dfrac{5}{8}\right)^n$$ \item Exprimez $p(A_{n+1})$ en fonction de $p(C_n)$ et montrez que $$ p(A_n)=\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{5}{8}\right)^{n-1}$$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminez la limite de $p(A_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \item Déterminez le plus petit entier $n$ tel que $p(A_n)$ soit inférieur ou égal à 0,01.\end{enumerate}\end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère l'ensemble $E=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$. Avec deux chiffres distincts $x$ et $y$ de $E$ on crée un unique domino simple noté indifféremment $[x,y]$ ou $[y,x]$. Avec un chiffre $z$ de $E$, on forme un unique domino double noté $[z,z]$. \begin{enumerate}\item Combien de dominos peut-on ainsi créer~? \item On tire au hasard un domino. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité d'obtenir un domino constitué de chiffres pairs~? \item Quelle est la probabilité d'obtenir un domino dont la somme des chiffres est paire~? \end{enumerate} \item On tire au hasard et simultanément deux dominos. Un élève affirme~: \og la probabilité d'obtenir un domino double et un simple dont l'un des chiffres est celui du domino double est égale à 4/45 \fg. Son affirmation est-elle vraie ou fausse~? \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Un joueur dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U$_{1}$,~ U$_{2}$ et U$_{3}$ contenant chacune $k$ boules, où $k$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3. \noindent ll y a trois boules noires dans l'urne U$_{1}$,deux boules noires dans l'urne U$_{2}$ et une boule noire dans l'urne U$_{3}$, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. \noindent Les boules sont indiscernables au toucher. \noindent Une partie se déroule de la façon suivante : \noindent le joueur lance le dé, $\bullet~$ s'il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_{1}$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_{1}$ ; $\bullet~$ s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_{2}$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_{2}$ ; $\bullet~$ si le numéro amené par le dé n'est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_{3}$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_{3}$. \noindent On désigne par A, B, C, et N les év\`enements suivants : A : \og Le dé amène le numéro 1 \fg ; B : \og Le dé amène un multiple de trois \fg ; C : \og Le dé amène un numéro qui n'est ni le lui un multiple de trois \fg ; N : \og La boule tirée est noire \fg. \begin{enumerate} \item Le joueur joue une partie. \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'il obtienne une boule noire est égale \`a $\cfrac{5}{3k}$. \item Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire. \item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à $\cfrac{1}{2}$. \item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit égale à $\cfrac{1}{30}$. \end{enumerate} \item Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilité d'obtenir une boule noire en jouant une partie soit égale à $\cfrac{1}{30}$. Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres. Calculer, sous forme exacte puis arrondie à $10^{-3}$, la probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire. \end{enumerate} \end{ExoF}