\documentclass[a4paper,12pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Exercices} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{La suite des Suites !} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{Chapitre 4} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{TG3} \newcommand{\Annee}{2016-2017} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{4} \newcommand{\tps}{6h} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_final.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \DocCha %\section{Les suites arithmétiques et géométriques} \begin{ExoF}\\ \begin{minipage}{7.5cm} \textbf{Partie A :} On considère l'algorithme ci-contre. Faire fonctionner l'algorithme pour $p=3$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape dans un tableau. \\ Quel nombre obtient-on en sortie ?\\\\ \textbf{Partie B :} Soit $(u_n)$ la suite définie par son premer terme $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$ par $$u_{n+1}=0.5u_n+0.5n-1.5$$ \end{minipage} \begin{minipage}{12cm} \Algo{11cm}{ \Var{$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\ $u$ est un réel} \Deb{ \Entree{Demander la valeur de $p$} \Trait{Affecter à $u$ la valeur $5$\\ \For{$k$ allant de 1 à $p$~}{Affecter à $u$ la valeur $0,5u+0,5(k-1)-1,5$ } } \Sortie{Afficher $u$} }} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Modifier l'algorithme de la partie A pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de $1$ à $p$. \item A l'aide de l'algorithme modifié et après avoir saisi $p=4$, on obtient les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabular}{*{7}{|C{1.2cm}}|} \hline $k$ & \cellcolor{gray}{} &1 & 2 & 3 & 4 & 5\tabularnewline\hline $u$ & 5 & 1 & $-0.5$ & $-0.75$ & $-0.375$ & \cellcolor{gray}{}\tabularnewline\hline \end{tabular} \end{center} Donner tous les termes désormais connus de la suite $(u_n)$ \item Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est strictement croissante à partir de $3$. \item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=0.1u_n-0.1n+0.5$ \begin{enumerate} \item Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $0.5$. \item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, pour tout $n\in\N$ \item En déduire alors celle de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout $n\in\N$ \item Calculer $u_{100}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Amérique du Nord 2014 Un volume constant de \np{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B. Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes. On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] au départ, le bassin A contient 800~m$^3$ d'eau et le bassin B contient \np{1400}~m$^3$ d'eau ; \item[$\bullet~~$] tous les jours, 15\,\% du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ; \item[$\bullet~~$] tous les jours, 10\,\% du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \newpage Pour tout entier naturel $n$, on note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ; \item[$\bullet~~$] $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = \np{1400}$. \medskip \begin{enumerate} \item Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ? \item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$. \item L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à \np{1100}. Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes. \begin{center} \begin{tabular}{|l l l|}\hline \textbf{Variables}&:& $n$ est un entier naturel\\ &&$a$ est un réel\\ \textbf{Initialisation}&:&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ && Affecter à $a$ la valeur 800\\ \textbf{Traitement}&:& Tant que $a < \np{1100}$, faire :\\ &&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $a$ la valeur \ldots\\ Affecter à $n$ la valeur \ldots\\ \end{tabular}\\ && Fin Tant que\\ \textbf{Sortie}&:&Afficher $n$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} - \np{1320}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. \item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n} = \np{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$. \end{enumerate} \item On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau. Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Nouvelle Calédonie novembre 2015 On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ \[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\ a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\] \begin{enumerate} \item Calculer $d_1$ et $a_1$. \newpage \item On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et $a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur. L'algorithme suivant est proposé : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline \emph{Variables} :& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\ &$D$ et $A$ sont des réels\\ &\\ \emph{Initialisation} :& $D$ prend la valeur 300\\ &$A$ prend la valeur 450\\ &Saisir la valeur de $n$\\ &\\ \emph{Traitement} :& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\ &\hspace{0.8cm}$D$ prend la valeur $\dfrac{D}{2} + 100$ \rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\ &\hspace{0.8cm}$A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70$\\ &Fin pour\\ &\\ \emph{Sortie} :& Afficher $D$\\ &Afficher $A$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question \textbf{1.} ? \item Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats souhaités. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique. \item En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$. \item La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier. \end{enumerate} \item On admet que pour tout entier naturel $n$, \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$. \item Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $2^n \geqslant n^2$. \item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$. \item Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \newpage \begin{ExoF} Asie juin 2016\\ Une société produit des bactéries pour l'industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20\,\% en un jour. \\ La société met en place le dispositif industriel suivant. \\ Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1~kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100~g de bactéries sont perdus. L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30~kg de bactéries. \\ On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante: \hfill $u_0=\np{1000}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,2 u_n - 100$. \hfill{} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé. On précisera en particulier ce que représente $u_n$. \item L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30~kg. \`A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème. \item On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Recopier et compléter cet algorithme. \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|} \hline \textbf{Variables} & $u$ et $n$ sont des nombres\\ \hline & \\[-5pt] & $u$ prend la valeur \np{1000}\\ & $n$ prend la valeur 0\\ \textbf{Traitement \hspace*{0.5cm}} & Tant que ................ faire\\ & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur .......... \hspace*{1cm}\\ & \hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\ & Fin Tant que\\ & \\[-5pt] \hline \textbf{Sortie} & Afficher ..........\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq \np{1000}$. \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante. \end{enumerate} \item On définit la suite $(v_n)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. \item Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Soit $e$ un réel strictement positif. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $[0;+\infty[$ l'inéquation $\dfrac{3}{2x+1}10^5$ \quad et \quad $v_n >10^{10}$ \item Conjecturer la limite de la suite $(v_n)$ puis la démontrer. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Soit les suites $(u_n)_{\N} : \left\{\begin{array}{l} u_0=\dfrac12 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n} \end{array}\right.$\quad et $(v_n)_{\N}$ définie par $v_n=\dfrac1{u_n}+1$ \begin{enumerate} \item A l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement à l'infini de la suite $(u_n)$. \item Prouver que la suite $(v_n)$ est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme. \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère deux suites $u$ et $v$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite éventuelle des suites $u$, $v$ et $u+v$ dans les cas suivants : \begin{enumerate} \begin{multicols}{2} \item $u_n=n^2+n$ et $v_n=-n$ \item $u_n=n+1$ et $v_n=-n^2-n$ \item $u_n=n+1$ et $v_n=-n+2$ \item $u_n=n+(-1)^n$ et $v_n=-n$ \end{multicols} \end{enumerate} \item Proposer des termes généraux $u_n$ et $v_n$ tels que $\Lim[n]{+\infty}u_n=+\infty$ et $\Lim[n]{+\infty} v_n = 0$ tels que \begin{enumerate} \begin{multicols}{2} \item $\Lim[n]{+\infty}u_n \times v_n = +\infty$ \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = 0$ \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = - \infty$ \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = 4$ \end{multicols} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \noindent\begin{minipage}{11.cm} \begin{ExoF} On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par $$ u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\qquad \text{et} \qquad v_n=-(n+1)^2$$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera. \item On considère l'algorithme ci-contre. Quel est son intérêt ? \item A partir de quel rang $N$ la distance entre $u_n$ et $\ell$ est-elle strictement inférieure à $0,001$ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $v$. \item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n<-10^{10}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \end{minipage}\qquad \begin{minipage}{7.5cm} \begin{center} \Algo{7.5cm}{ \Var{ $u$ est un nombre réel.\\ $n$ est un entier naturel. } \Deb{ $n:=0$ et $u:=\dfrac{1}{3}$.\\ \While{$|u-2|\geq 0,001$} {$n:=n+1$ \\ $u:=\dfrac{2n+1}{n+3}$ } Renvoyer $n$ } } \end{center} \end{minipage} \noindent\begin{minipage}{12cm} \begin{ExoF} On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par : $$ u_n=\dfrac{5}{n+1}\qquad \text{et} \qquad v_n=n^2-n$$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera. \item Compléter l'algorithme suivant de manière à ce qu'il affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que la distance entre $u_n$ et $\ell$ soit inférieure à $10^{-5}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $v$. \item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n>10^{10}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \end{minipage} \quad \begin{minipage}{7.cm} \begin{center} \Algo{7.cm}{ \Variable{ $u$ est un nombre réel.\\ $n$ est un entier naturel. } \Deb{ $n:=0$ et $u:=\dots $.\\ \While{$\dots\dots\dots\dots\dots $} {$\dots\dots\dots\dots\dots$ et $\dots\dots\dots\dots\dots $ } Renvoyer $\dots $ } } \end{center} \end{minipage} \noindent \begin{minipage}{11cm} \begin{ExoF} On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$ u_n=\dfrac{n+1}{2n^3+1}$$ \begin{enumerate} \item Etudier les variations de la suite $(u_n)$. \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$. \item On donne l'algorithme ci-contre. \begin{enumerate} \item Que fait-il ? \item Programmer cet algorithme sur le logiciel de votre choix et déterminer les rangs $N$ associés à $e=10^{-2}$ puis $e=10^{-5}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \end{minipage} \qquad \begin{minipage}{8cm} \Algo{7.5cm}{ \Entree{ $e$ est un nombre réel } \Variable{ $n$ est un nombre entier } \Deb{ $n\leftarrow 0$\\ \While{$\left|\dfrac{n+1}{2n^3+1}\right| \leq e$} { $n\leftarrow n+1$ } Renvoyer $n$. } } \end{minipage} \begin{ExoF} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-0.5x^2+x+0.5$.\\ Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par \quad $\left\{\begin{array}{l} u_0=-0.5 \\ u_{n+1}=f(u_n) \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. \item Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ vérifiant $f(\ell)=\ell$. \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$. \end{enumerate} \item Pour tout réel $e>0$, on souhaite déterminer le rang $N$ à partir duquel la distance entre $u_n$ et $\ell$ est inférieure à $e$. \begin{enumerate} \item Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème. \item Programmer, puis déterminer le premier rang $N$ associé à $e=10^{-5}$ puis à $e=10^{-10}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \newpage %\Cv{Annales sur les suites} \begin{ExoF} On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel~$n$, \[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$. \end{enumerate} \item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge. \end{enumerate} \item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3. \item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$. \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} \medskip Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par \quad $\left\{\begin{array}{l} u_{0} = 2\\ \:u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1 \quad \text{pour tout entier naturel } \:n \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près. \item Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.\\ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \quad $u_{n} \leqslant n + 3$ \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \quad $u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right)$ \item En déduire une validation de la conjecture précédente.\\ \end{enumerate} \item On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite d\'efinie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\dfrac{2}{3}$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.\\ \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: \[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et} \quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\] \begin{enumerate} \item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \newpage \begin{ExoF} Pondichéry Avril 2015 Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation \[u_{n+1} = au_n + b\quad (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne 1).\] On pose, pour tout entier naturel $n,\quad v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$. \item En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie $\forall n\in\N$ par $\left\{\begin{array}{l c l} v_{0} &=& 1\\ v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}} \end{array}\right.$ \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$. Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse. \hspace{-1cm} \begin{small} \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} \textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ $v$ est un réel&&$v$ est un réel&&$v$ est un réel\\ $i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\ ~&&&&\\ \textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&& \textbf{Début de l'algorithme :}\\ Lire $n$&&Lire $n$&&Lire $n$\\ $v$ prend la valeur $1$&&Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$\\ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$&& Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire\\ \hspace{0.2cm}$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&\hspace{0.2cm}Afficher $v$&& \hspace{0.2cm}Afficher $v$\\ Fin pour&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$\\ Afficher $v$&&Fin pour&&Fin pour\\ &&&&Afficher $v$\\ \textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} \end{tabularx} \end{small} \item Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\ \hline \end{tabularx} \medskip Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\ \hline \end{tabularx} \medskip Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ? \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B Recherche de la limite de la suite } \boldmath $\left(v_{n}\right)$ \unboldmath On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par \[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ \item En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{ExoF} \parbox{8cm}{ \begin{ExoF}\\ L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1} = \dfrac{3}{2}$ et la relation de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.\\ \end{ExoF} \textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures } Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre. Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill \parbox{8cm}{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline Variables&$n$ est un entier naturel \\ &$u$ est un réel \\ \hline Initialisation &Affecter à $n$ la valeur 1\\ &Affecter à $u$ la valeur 1,5 \\ \hline Traitement &Tant que $n<9 $\\ &\hspace*{0.5cm} Affecter à $u$ la valeur \dots\\ &\hspace*{0.5cm} Affecter à $n$ la valeur \dots\\ %\hline &Fin Tant que \\ \hline Sortie& Afficher la variable $u$ \\ \hline \end{tabularx}} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. \item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ? \item Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\ \hline $u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &{0,2063} &{0,1693}&\dots&\ {0,0102} &{0,0101} \\ \hline \end{tabularx} \medskip Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Etude mathématique } \medskip On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \item Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \newpage \begin{ExoF}Soient les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par : \hfill $ \spadesuit\spadesuit$ $$ u_n=3n^3-4n+2\qquad\text{et}\qquad v_n=\dfrac{2n+3}{-n-5}$$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction qui à $x$ associe $f(x)=3x^3-4x+2$.\\ Dériver $f$ et en déduire son tableau de variations. \item En déduire que la suite $u$ est croissante à partir du rang $1$. \item Déterminer la limite de la suite $u$. \item Pour un réel $A$, on souhaite déterminer le rang à partir duquel $$u_n\geq A$$ Ecrire un algorithme permettant de résoudre ce problème sur votre copie. \\ Le programmer (sur votre calculatrice ou Algobox ou autre), pour déterminer le rang à partir duquel $$u_n\geq 10^6$$ \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $v$. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Trouver une suite :\hfill $\spadesuit\spadesuit $ \begin{enumerate} \item non majorée mais qui ne tende pas vers $+\infty$. \item croissante mais dont la limite n'est pas $+\infty$. \item divergente vers $+\infty$ mais qui n'est pas croissante. \item à termes strictement positifs et strictement décroissante mais qui ne converge pas vers $0$. \end{enumerate} \textit{Des illustrations graphiques de suites peuvent vous aider. D'ailleurs, à défaut de trouver trouver les suites demandées, vous pouvez joindre vos illustrations.} \end{ExoF} \end{document} \begin{ExoF} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : \quad $u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}$ On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$. \item \begin{enumerate} \item Etablir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$. \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : \[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs. \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|c |l|}\hline Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline Initialisation &Affecter à $u$ la valeur 2\\ \hline \multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à $n$\\ &\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\ &\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline &FIN POUR\\ \hline \end{tabular} \end{center} Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$&1&2& 3\\ \hline $u$&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline $u$&\footnotesize{1,0083}&\footnotesize{0,9973}&\footnotesize{1,0009}&\footnotesize{0,9997}&\footnotesize{1,0001}&\footnotesize {0,99997}&\footnotesize{1,00001}&\footnotesize {0,999996}&\footnotesize {1,000001}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini. \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$. \item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$. \item montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe. \medskip \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent \item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. \item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$. \item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$. On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant p_{n} < 1$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité. \item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous \begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}} { \pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}} { \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}} { \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots} \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$. En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. \item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. \item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline Variables & K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ Initialisation &P prend la valeur $0$\\ &J prend la valeur $1$\\ Entrée & Saisir la valeur de K\\ Traitement &Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ &\quad P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$\\ &\quad J prend la valeur J $+ 1$\\ &Fin tant que \\ Sortie &Afficher J \\ \hline \end{tabularx} \end{center} À quoi correspond l'affichage final J ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF}Soit la suite $(u_n)$ définie par \quad $\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{array} \right.$\\ Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite. \end{ExoF} \begin{ExoF} Polynésie juin 2016 Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par \quad $u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n$ On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par \quad $v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5$ \begin{enumerate} \item Voici un extrait de feuille de tableur : \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &$n$&$u$&$v$\\ \hline 2 &0 &2 &7\\ \hline 3 &1 &4 &14\\ \hline 4 &2 &9 &28\\ \hline 5 &3 &24 &56\\ \hline 6 &4 &63 &\\ \hline 7 & & &\\ \hline %8 & & &\\ \hline %9 & & &\\ \hline %10 & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites $u$ et $v$ ? \item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N^*$ par \quad $u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$ %\begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$. \item Montrer que $ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$ \item Montrer que $\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$ \item En déduire que $(u_n)$ est majorée. \end{enumerate} %\end{multicols} \end{ExoF} \begin{ExoF}On considère la suite définie par \quad $ u_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+5}$ \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+5}$. Etudier les variations de $f$ sur $\R^+$ \item Dresser le tableau de variation de $f$ \item En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée. \end{enumerate} \end{ExoF} \end{document}