\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{La suite des Suites !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG3}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{4}	
\newcommand{\tps}{6h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha
%\section{Les suites arithmétiques et géométriques}
\begin{ExoF}\\
\begin{minipage}{7.5cm}
\textbf{Partie A :} On considère l'algorithme ci-contre.

       Faire fonctionner l'algorithme pour $p=3$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape
       dans un tableau. \\
       
       Quel nombre obtient-on en sortie ?\\\\
       
       \textbf{Partie B :}
Soit $(u_n)$ la suite définie par son premer terme $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$ par 
$$u_{n+1}=0.5u_n+0.5n-1.5$$
      \end{minipage}
      \begin{minipage}{12cm}
 \Algo{11cm}{
 \Var{$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\ $u$ est un réel}
 \Deb{
 \Entree{Demander la valeur de $p$}
 \Trait{Affecter à $u$ la valeur $5$\\
 \For{$k$ allant de 1 à $p$~}{Affecter à $u$ la valeur $0,5u+0,5(k-1)-1,5$
 }
 }
 \Sortie{Afficher $u$}
 }}
\end{minipage}
 

 \begin{enumerate}
  \item Modifier l'algorithme de la partie A pour obtenir en sortie toutes les valeurs de 
  $u_n$ pour $n$ variant de $1$ à $p$.
  \item A l'aide de l'algorithme modifié et après avoir saisi $p=4$, on obtient les résultats suivants :
  \begin{center}
   \begin{tabular}{*{7}{|C{1.2cm}}|} \hline
    $k$ & \cellcolor{gray}{} &1 & 2 & 3 & 4 & 5\tabularnewline\hline
    $u$ & 5 & 1 & $-0.5$ & $-0.75$ & $-0.375$ & \cellcolor{gray}{}\tabularnewline\hline
   \end{tabular}  \end{center}
  Donner tous les termes désormais connus de la suite $(u_n)$
  \item Démontrer par récurrence que $(u_n)$ est strictement croissante à partir de $3$.
  \item Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=0.1u_n-0.1n+0.5$
  \begin{enumerate}
   \item   Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $0.5$.
   \item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, pour tout $n\in\N$
   \item En déduire alors celle de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout $n\in\N$
   \item Calculer $u_{100}$
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Amérique du Nord 2014

 Un volume constant de \np{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B.
 
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.
 
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] au départ, le bassin A contient 800~m$^3$ d'eau et le bassin B contient \np{1400}~m$^3$ d'eau ; 
\item[$\bullet~~$] tous les jours, 15\,\% du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ; 
\item[$\bullet~~$] tous les jours, 10\,\% du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 \newpage
Pour tout entier naturel $n$, on note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ; 
\item[$\bullet~~$] $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = \np{1400}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Par quelle relation entre $a_{n}$ et $b_{n}$ traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ? 
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_{n} + 330$. 
\item L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à \np{1100}. 

Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.

\begin{center}

\begin{tabular}{|l l l|}\hline 
\textbf{Variables}&:& 	$n$ est un entier naturel\\ 
&&$a$ est un réel\\ 
\textbf{Initialisation}&:&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
&& Affecter à $a$ la valeur 800\\
\textbf{Traitement}&:& Tant que $a < \np{1100}$, faire :\\ 
&&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à $a$ la valeur \ldots\\ 
Affecter à $n$ la valeur \ldots\\
\end{tabular}\\
&& Fin Tant que\\  
\textbf{Sortie}&:&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} - \np{1320}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 

En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n} = \np{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
	\end{enumerate} 
\item On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau.
 
Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} Nouvelle Calédonie novembre 2015
 
On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$,

 $a_0 =  450$ et, 
pour tout entier naturel $n \geqslant 0$

\[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l}
d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\
a_{n+1}	&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70
\end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $d_1$ et $a_1$.
\newpage
\item On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et
$a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur.

L'algorithme suivant est proposé :

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline
\emph{Variables} :& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\
&$D$ et $A$ sont des réels\\
&\\
\emph{Initialisation} :& $D$ prend la valeur 300\\
&$A$ prend la valeur 450\\
&Saisir la valeur de $n$\\
&\\
\emph{Traitement} :& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{0.8cm}$D$ prend la valeur $\dfrac{D}{2} + 100$ \rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\
&\hspace{0.8cm}$A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70$\\ 
&Fin pour\\
&\\

\emph{Sortie} :& Afficher $D$\\
&Afficher $A$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? 
		
Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question \textbf{1.} ?
		\item Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats
souhaités.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. 
		
Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.
		\item En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
		\item La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
	
	\[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
		
		$2^n \geqslant  n^2$.
		\item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
		
		$0 \leqslant  100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant  \dfrac{100}{n}$.
		\item Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF} Asie juin 2016\\
Une société produit des bactéries pour l'industrie.
En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20\,\% en un jour.
\\
La société met en place le dispositif industriel suivant.
\\
Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1~kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100~g de bactéries sont perdus.
L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30~kg de bactéries.
\\
On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante:

\hfill
$u_0=\np{1000}$ et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=1,2 u_n - 100$.
\hfill{}


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé.

On précisera en particulier ce que représente $u_n$.

\item L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30~kg. \`A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

\item On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.

Recopier et compléter cet algorithme.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\textbf{Variables} & $u$ et $n$ sont des nombres\\
\hline
 & \\[-5pt]
 & $u$ prend la valeur \np{1000}\\
 & $n$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement \hspace*{0.5cm}} & Tant que ................ faire\\
 & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur ..........  \hspace*{1cm}\\
 & \hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
 & Fin Tant que\\
 & \\[-5pt]
\hline
\textbf{Sortie} & Afficher ..........\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geq \np{1000}$.

\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante. 
\end{enumerate}

\item 
On définit la suite $(v_n)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
		\item Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}





\begin{ExoF}
 Soit $e$ un réel strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre dans $[0;+\infty[$ l'inéquation $\dfrac{3}{2x+1}<e$
  \item Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n=\dfrac3{2n+1}$
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $u_n<e$ à partir d'un certain rang $N$.
   \item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soit la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par $v_n=n^2-n$.
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre les inéquations suivantes : \quad $v_n>10^5$ \quad et \quad $v_n >10^{10}$
  \item Conjecturer la limite de la suite $(v_n)$ puis la démontrer.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit les suites $(u_n)_{\N} : \left\{\begin{array}{l}
                                                 u_0=\dfrac12 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}
                                                \end{array}\right.$\quad et 
 $(v_n)_{\N}$ définie par $v_n=\dfrac1{u_n}+1$
\begin{enumerate}
 \item A l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement à l'infini de la suite $(u_n)$.
 \item Prouver que la suite $(v_n)$ est arithmétique et préciser sa raison et son premier terme.
 \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
 \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère deux suites $u$ et $v$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite éventuelle des suites $u$, $v$ et $u+v$ dans les cas suivants :
  \begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
  \item $u_n=n^2+n$ et $v_n=-n$
   \item $u_n=n+1$ et $v_n=-n^2-n$
   \item $u_n=n+1$ et $v_n=-n+2$
   \item $u_n=n+(-1)^n$ et $v_n=-n$
   \end{multicols}
  \end{enumerate}
\item Proposer des termes généraux $u_n$ et $v_n$ tels que $\Lim[n]{+\infty}u_n=+\infty$ et 
$\Lim[n]{+\infty} v_n = 0$
tels que 
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{2}
  \item $\Lim[n]{+\infty}u_n \times v_n = +\infty$
   \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = 0$
   \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = - \infty$
   \item $\Lim[n]{+\infty} u_n \times v_n = 4$
   \end{multicols}
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\noindent\begin{minipage}{11.cm}
 \begin{ExoF}
On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par  
$$ u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\qquad \text{et} \qquad v_n=-(n+1)^2$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item On considère l'algorithme ci-contre.
Quel est son intérêt ?
\item A partir de quel rang $N$ la distance entre $u_n$ et $\ell$ est-elle strictement inférieure à $0,001$ ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n<-10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}\qquad 
\begin{minipage}{7.5cm}
 \begin{center}
\Algo{7.5cm}{
\Var{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.
}
\Deb{
$n:=0$ et $u:=\dfrac{1}{3}$.\\
  \While{$|u-2|\geq 0,001$}
{$n:=n+1$ \\ $u:=\dfrac{2n+1}{n+3}$  
}
Renvoyer $n$
}
}
\end{center}
\end{minipage}


\noindent\begin{minipage}{12cm}
\begin{ExoF}
 On considère les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par :
$$ u_n=\dfrac{5}{n+1}\qquad \text{et} \qquad v_n=n^2-n$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $u$ converge vers un réel $\ell$ que l'on déterminera.
\item Compléter l'algorithme suivant de manière à ce qu'il affiche le plus petit entier 
naturel $n$ tel que la distance entre $u_n$ et $\ell$ soit inférieure à $10^{-5}$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\item Ecrire un algorithme (on pourra modifier le précédent) qui affiche le plus petit entier naturel $n$ tel que $v_n>10^{10}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{7.cm}
\begin{center}
\Algo{7.cm}{
\Variable{ 
 $u$  est un nombre réel.\\
 $n$ est un  entier naturel.
}
\Deb{
$n:=0$ et $u:=\dots $.\\
  \While{$\dots\dots\dots\dots\dots $}
{$\dots\dots\dots\dots\dots$ et $\dots\dots\dots\dots\dots $  
}
Renvoyer $\dots $
}
}
\end{center}
\end{minipage}


\noindent \begin{minipage}{11cm}
\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$ u_n=\dfrac{n+1}{2n^3+1}$$
\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.
\item On donne l'algorithme ci-contre.
\begin{enumerate}
       \item Que fait-il ?
	\item Programmer cet algorithme sur le logiciel de votre choix et déterminer les rangs $N$
	associés à $e=10^{-2}$ puis $e=10^{-5}$.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{8cm}
 \Algo{7.5cm}{
  \Entree{
 $e$ est un nombre réel    
  }
  \Variable{
    $n$ est un nombre entier
  }
  \Deb{
    $n\leftarrow 0$\\
    \While{$\left|\dfrac{n+1}{2n^3+1}\right| \leq e$}
    {
      $n\leftarrow n+1$
    }
    Renvoyer $n$.
  }
 }
 
\end{minipage}



\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-0.5x^2+x+0.5$.\\
 Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par \quad $\left\{\begin{array}{l}
                                                            u_0=-0.5 \\ u_{n+1}=f(u_n)
                                                           \end{array}\right.$
\begin{enumerate}
 \item Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
 \item Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 1.
 \item \begin{enumerate}
        \item Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ vérifiant $f(\ell)=\ell$.
        \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.
       \end{enumerate}
\item Pour tout réel $e>0$, on souhaite déterminer le rang $N$ à partir duquel la distance entre $u_n$ et $\ell$
       est inférieure à $e$.
       \begin{enumerate}
       \item Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème.
       \item Programmer, puis déterminer le premier rang $N$ associé à $e=10^{-5}$ puis à $e=10^{-10}$
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}




 \newpage
%\Cv{Annales sur les suites}
\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et telle que pour tout entier naturel~$n$, 

\[u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\]

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
  \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n$.
  \end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n<1$.
  \begin{enumerate}
  \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
  \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
  \end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n}{1 - u_n}$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.
  \item Exprimer pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{3^n}{3^n+1}$.
  \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\medskip

Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par \quad 
$\left\{\begin{array}{l}
      u_{0} = 2\\
\:u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1 \quad \text{pour tout entier naturel } \:n
      \end{array}\right.$
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près. 
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.\\
	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, 
\quad $u_{n} \leqslant n + 3$ 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \quad  
$u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right)$
 
		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.\\
	\end{enumerate} 
	
\item On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite d\'efinie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\dfrac{2}{3}$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
		
		\[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]
		 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.\\
	\end{enumerate} 
	
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose: 
 
\[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et}  
\quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF} Pondichéry Avril 2015

 Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation

\[u_{n+1} = au_n + b\quad  (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne  1).\]

On pose, pour tout entier naturel $n,\quad  v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.
\item En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$.
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie $\forall n\in\N$ par 
$\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0} &=& 1\\ 	 
v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}}
\end{array}\right.$

\textbf{Partie A}
 
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.



\hspace{-1cm} 
\begin{small}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$v$ est un réel&&$v$ est un réel&&$v$ est un réel\\ 
$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
~&&&&\\ 
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&& \textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
Lire $n$&&Lire $n$&&Lire $n$\\ 
$v$ prend la valeur $1$&&Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$\\ 
Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$&& Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire\\ 
\hspace{0.2cm}$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&\hspace{0.2cm}Afficher $v$&& \hspace{0.2cm}Afficher $v$\\  
Fin pour&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$\\
Afficher $v$&&Fin pour&&Fin pour\\
&&&&Afficher $v$\\
\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\  \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{small}

 
\item Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.  
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. 
 
La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ? 
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 

\textbf{Partie B Recherche de la limite de la suite } \boldmath $\left(v_{n}\right)$ \unboldmath


On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par 

\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ 
\item En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\parbox{8cm}{
\begin{ExoF}\\
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1} = \dfrac{3}{2}$ et la relation  de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.\\
\end{ExoF}

\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }

Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.

Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\
\hline
Initialisation &Affecter à  $n$ la valeur 1\\
&Affecter à  $u$ la valeur 1,5 \\
\hline
Traitement &Tant que $n<9 $\\
&\hspace*{0.5cm} Affecter à  $u$ la valeur \dots\\ 
&\hspace*{0.5cm} Affecter à  $n$ la valeur \dots\\
%\hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie& Afficher la variable $u$ \\
\hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. 
\item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à  $u_{9}$ ? 
\item  Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
\hline
$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &{0,2063} &{0,1693}&\dots&\ {0,0102} &{0,0101} \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Etude mathématique }

\medskip

On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$.

\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\item Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{ExoF}Soient les suites $u$ et $v$ définies sur $\N$ par :
\hfill $ \spadesuit\spadesuit$
$$ u_n=3n^3-4n+2\qquad\text{et}\qquad v_n=\dfrac{2n+3}{-n-5}$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction qui à $x$ associe $f(x)=3x^3-4x+2$.\\
Dériver $f$ et en déduire son tableau de variations.
\item En déduire que la suite $u$ est croissante à partir du rang $1$.
\item Déterminer la limite de la suite $u$.
\item Pour un réel $A$, on souhaite déterminer le rang à partir duquel $$u_n\geq A$$
Ecrire un algorithme permettant de résoudre ce problème sur votre copie. \\
Le programmer (sur votre calculatrice ou Algobox ou autre), 
pour déterminer le rang à partir duquel $$u_n\geq 10^6$$
\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $v$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Trouver une suite :\hfill $\spadesuit\spadesuit $
\begin{enumerate}
\item non majorée mais qui ne tende pas vers $+\infty$.
\item croissante mais dont la limite n'est pas $+\infty$.
\item divergente vers $+\infty$ mais qui n'est pas croissante.
\item à termes strictement positifs et strictement décroissante mais qui ne converge pas vers $0$.
\end{enumerate}
\textit{Des illustrations graphiques de suites peuvent vous aider.
D'ailleurs, à défaut de trouver trouver les suites demandées, vous pouvez joindre vos illustrations.} 
\end{ExoF}

\end{document}

\begin{ExoF}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ : 
\quad $u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}$
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Etablir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 

En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ 	d\'efinie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :

\[ u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\]
 
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c |l|}\hline
 Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline 
Initialisation &Affecter à  $u$ la valeur 2\\ \hline 
\multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à  $n$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\  
&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline 
&FIN POUR\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&1&2& 3\\ \hline 
$u$&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$u$&\footnotesize{1,0083}&\footnotesize{0,9973}&\footnotesize{1,0009}&\footnotesize{0,9997}&\footnotesize{1,0001}&\footnotesize {0,99997}&\footnotesize{1,00001}&\footnotesize {0,999996}&\footnotesize {1,000001}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à  l'infini. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$. 
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$. 
		\item montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.  
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF} 
 





\begin{ExoF}
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent 
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
 
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité. 
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
		
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
	  }
}
\end{center}

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,
		
		 $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. 
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
		
En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. 
		\item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme  suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables		& K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ 
Initialisation 	&P prend la valeur $0$\\ 
				&J prend la valeur $1$\\ 
Entrée			& Saisir la valeur de K\\ 
Traitement		&Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ 
				&\quad P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$\\
				&\quad  J prend la valeur J $+ 1$\\ 
				&Fin tant que \\
Sortie			&Afficher J \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À quoi correspond l'affichage final J ?
 
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
	\end{enumerate} 
		\end{enumerate} 

\end{ExoF}

\begin{ExoF}Soit la suite $(u_n)$ définie par \quad 
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=0 \\ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{array} \right.$\\
Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite.
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Polynésie juin 2016
 
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par \quad
$u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n$

On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par \quad
$v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5$

\begin{enumerate}
\item Voici un extrait de feuille de tableur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C\\ \hline
1	&$n$&$u$&$v$\\ \hline
2	&0	&2	&7\\ \hline
3	&1	&4	&14\\ \hline
4	&2	&9	&28\\ \hline
5	&3	&24	&56\\ \hline
6	&4	&63	&\\ \hline
7	&	&	&\\ \hline
%8	&	&	&\\ \hline
%9	&	&	&\\ \hline
%10	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour
afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?
\item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ 
uniquement.
\end{enumerate}


\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N^*$ par \quad $u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$
%\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
\item Montrer que $ \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{1}{k(k-1)}\leq \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}, \forall k\geq 2$.
\item Montrer que $ \sum_{k=2}^n \left(\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\right)=1-\dfrac{1}{n}$
\item Montrer que $\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}\leq 1$
\item En déduire que $(u_n)$ est majorée.
\end{enumerate} 
%\end{multicols}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}On considère la suite définie par \quad $ u_n=\dfrac{2n^2+1}{n^2+5}$
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par $f(x)=\dfrac{2x^2+1}{x^2+5}$. Etudier les variations de $f$ sur $\R^+$
\item Dresser le tableau de variation de $f$
\item En déduire que la suite $(u_n)$ est bornée.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\end{document}