\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Le raisonnement par récurrence}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG3}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF}
 On donne ci-dessous trois propositions vraies. 
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
 \item Pour tout entier $n\geq 5$, $2^n > n^2$
 \item Pour tout réel $x>0$, $(x+1)^3 \geq 1+3x$
 \item Pour tout entier $n \geq 1$, $\sum_{k=1}^n (2k-1)^3=2n^4-n^2$
 \end{multicols}
\end{enumerate}
Pour lesquelles peut-on envisager une démonstration par récurrence (que l'on ne fera pas) ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par : 
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=2 u_n -3  \end{array} \right.$\\
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3-2^n$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la suite $(u_n)_{\N}$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout $n$ par la 
 relation \\
$u_{n+1}=3u_n+1$. Démontrer chacune des propositions suivantes.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item La proposition \og $u_n \leq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item La proposition \og $u_n \geq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item Si $u_0=1$ la suite $u$ est croissante.
 \item Si $u_0=-2$, la suite $u$ est décroissante.
 \item Su $u_0=-0.5$, la suite $u$ est stationnaire.
 \end{enumerate}
 Illustrer graphiquement les trois derniers résultats.
\end{multicols}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que les deux propositions suivantes sont héréditaires\\
  $(A)$ : \og $10^n-1$ est un multiple de $9$ \fg \qquad\qquad \qquad\qquad 
  $(B)$ : \og $10^n+1$ est un multiple de $9$ \fg
\item Sont-elles vraies pour tout entier naturel $n$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par \quad $ u_0=3\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=2+\dfrac{1}{u_n}$\\
Montrer que, pour tout $n\in\N$ on a \quad $ 2\leq u_n\leq 3$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item  Démontrer par récurrence que \qquad $\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
\item On  note $S_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels non nuls.
\begin{enumerate}
\item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $S_n=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2$\footnote{On
utilisera la formule démontrée dans le cours sur la somme des $n$ premiers entiers.}
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $S_n=\nombre{3025}$ ?
\end{enumerate} 
\item On note $P_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels \textbf{pairs} non nuls.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $P_n=2n^2(n+1)^2$
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $P_n=\nombre{1800}$ ?
\end{enumerate}
\item On note $I_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels \textbf{impairs} non nuls.
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_1$, $I_2$ et $I_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $I_n=n^2(2n^2-1)$
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $I_n=\nombre{41328}$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Montrer que $4^n-1$ est un multiple de $3$ pour tout entier naturel $n$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}-1$ est un multiple de $7$.
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Pour tout entier $n\geq 1$, on note la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$. \\
On rappelle la proposition suivante, énoncée en 1S, mais non démontrée :
$$\forall n \in \N^*,\quad \text{on a} \quad f_n \text{ est dérivable sur } \R \quad \text{et} \quad
f_n'(x)=nx^{n-1}$$
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour $n=1$ la proposition est vraie.
 \item Vérifier que les formules de 1S pour $n=2$ et $n=3$ correspondent à la formule 
 générale énoncée ci-dessus.
 \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geq 1$, on a $f_n'(x)=nx^{n-1}$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Démontrer que pour tout entier $n\geq 0$, l'\textbf{inégalité de Bernoulli} est vraie :
$$\forall x >0 \text{ , on a } (1+x)^n \geq 1+nx$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Rappeler ce que signifie l'écriture $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)$ pour $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$.
\item Compléter la propriété suivante, vu en première :\\
\indent Pour tous $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$, on a  $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k+1
                                                  \end{array}\right) = $
\item Ecrire les 5 premières lignes du triangle de Pascal.
 \item Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a 
$$(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3$$
%ainsi que 
%$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6 a^2 b^2 + 6 a^2b^2 +4ab^3 + b^4$$
\item Quel lien observe-t-on entre les coefficients de développement et le triangle de Pascal ?
\item Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$ on a :
$$(a+b)^n=\sum_{k=1}^n \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)a^{n-k}b^k$$
formule appelée \textbf{formule du binôme de Newton}.
\item \textit{Application} : développer $(a+b)^5$ sans calcul.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
Considérons la suite $(u_n)$, définie pour tout $n\in\N$, par : \quad
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\u_1=2\\ u_{n+2}=5u_{n+1} -6u_n  \end{array} \right.$\\
Démontrer que pour tout $n\in\N$ \quad $ u_n=2^n$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :\quad $ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2} }$\\
Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geq 1$ on a $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$ 
\end{ExoF}

\end{document}