\documentclass[a4paper,11pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Exercices} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Le raisonnement par récurrence} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{Chapitre 2} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{TG3} \newcommand{\Annee}{2016-2017} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{2h} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_final.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \DocCha \begin{ExoF} On donne ci-dessous trois propositions vraies. \begin{enumerate} \begin{multicols}{2} \item Pour tout entier $n\geq 5$, $2^n > n^2$ \item Pour tout réel $x>0$, $(x+1)^3 \geq 1+3x$ \item Pour tout entier $n \geq 1$, $\sum_{k=1}^n (2k-1)^3=2n^4-n^2$ \end{multicols} \end{enumerate} Pour lesquelles peut-on envisager une démonstration par récurrence (que l'on ne fera pas) ? \end{ExoF} \begin{ExoF} La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=2 u_n -3 \end{array} \right.$\\ Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3-2^n$ \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère la suite $(u_n)_{\N}$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout $n$ par la relation \\ $u_{n+1}=3u_n+1$. Démontrer chacune des propositions suivantes. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item La proposition \og $u_n \leq u_{n+1}$ \fg est héréditaire. \item La proposition \og $u_n \geq u_{n+1}$ \fg est héréditaire. \item Si $u_0=1$ la suite $u$ est croissante. \item Si $u_0=-2$, la suite $u$ est décroissante. \item Su $u_0=-0.5$, la suite $u$ est stationnaire. \end{enumerate} Illustrer graphiquement les trois derniers résultats. \end{multicols} \end{ExoF} \begin{ExoF} \begin{enumerate} \item Montrer que les deux propositions suivantes sont héréditaires\\ $(A)$ : \og $10^n-1$ est un multiple de $9$ \fg \qquad\qquad \qquad\qquad $(B)$ : \og $10^n+1$ est un multiple de $9$ \fg \item Sont-elles vraies pour tout entier naturel $n$ ? \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par \quad $ u_0=3\qquad \text{et}\qquad u_{n+1}=2+\dfrac{1}{u_n}$\\ Montrer que, pour tout $n\in\N$ on a \quad $ 2\leq u_n\leq 3$ \end{ExoF} \begin{ExoF} \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que \qquad $\sum\limits_{k=0}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \item On note $S_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels non nuls. \begin{enumerate} \item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $S_n=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2$\footnote{On utilisera la formule démontrée dans le cours sur la somme des $n$ premiers entiers.} \item Quel est l'entier $n$ pour lequel $S_n=\nombre{3025}$ ? \end{enumerate} \item On note $P_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels \textbf{pairs} non nuls. \begin{enumerate} \item Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $P_n=2n^2(n+1)^2$ \item Quel est l'entier $n$ pour lequel $P_n=\nombre{1800}$ ? \end{enumerate} \item On note $I_n$ la somme des cubes des $n$ premiers entiers naturels \textbf{impairs} non nuls. \begin{enumerate} \item Calculer $I_1$, $I_2$ et $I_3$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $I_n=n^2(2n^2-1)$ \item Quel est l'entier $n$ pour lequel $I_n=\nombre{41328}$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Montrer que $4^n-1$ est un multiple de $3$ pour tout entier naturel $n$. \end{ExoF} \begin{ExoF} Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $2^{3n}-1$ est un multiple de $7$. \end{ExoF} \begin{ExoF} Pour tout entier $n\geq 1$, on note la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$. \\ On rappelle la proposition suivante, énoncée en 1S, mais non démontrée : $$\forall n \in \N^*,\quad \text{on a} \quad f_n \text{ est dérivable sur } \R \quad \text{et} \quad f_n'(x)=nx^{n-1}$$ \begin{enumerate} \item Démontrer que pour $n=1$ la proposition est vraie. \item Vérifier que les formules de 1S pour $n=2$ et $n=3$ correspondent à la formule générale énoncée ci-dessus. \item Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geq 1$, on a $f_n'(x)=nx^{n-1}$. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Démontrer que pour tout entier $n\geq 0$, l'\textbf{inégalité de Bernoulli} est vraie : $$\forall x >0 \text{ , on a } (1+x)^n \geq 1+nx$$ \end{ExoF} \begin{ExoF} \begin{enumerate} \item Rappeler ce que signifie l'écriture $\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)$ pour $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$. \item Compléter la propriété suivante, vu en première :\\ \indent Pour tous $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$, on a $\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array}\right) = $ \item Ecrire les 5 premières lignes du triangle de Pascal. \item Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a $$(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3$$ %ainsi que %$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6 a^2 b^2 + 6 a^2b^2 +4ab^3 + b^4$$ \item Quel lien observe-t-on entre les coefficients de développement et le triangle de Pascal ? \item Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$ on a : $$(a+b)^n=\sum_{k=1}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right)a^{n-k}b^k$$ formule appelée \textbf{formule du binôme de Newton}. \item \textit{Application} : développer $(a+b)^5$ sans calcul. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Considérons la suite $(u_n)$, définie pour tout $n\in\N$, par : \quad $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\u_1=2\\ u_{n+2}=5u_{n+1} -6u_n \end{array} \right.$\\ Démontrer que pour tout $n\in\N$ \quad $ u_n=2^n$ \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier naturel $n$ :\quad $ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2} }$\\ Montrer, par récurrence, que pour tout $n\geq 1$ on a $ \dfrac{1}{\sqrt{2} }\leq u_n\leq 1$ \end{ExoF} \end{document}