\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les fonctions sinus et cosinus}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG3}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF} %Pondichéry 2016
\textit{ L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas
un pentagone régulier.}

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{Dans le plan muni d'un repère
orthonormé direct \Ouv, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel
que $\vect{OA_0} = \vect{u}$.

On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur;
\item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$
appartiennent au cercle trigonométrique ;
\item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a 

$\left(\vect{OA_k}~;~\vect{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=2.5cm}
\qquad\qquad \begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1)
\pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288)
\pscircle(0,0){1}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} 
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points $B(- 1,0)$ et $J\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$.
Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe $[BJ]$ en un point $K$.

Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$.

\begin{minipage}{10cm}
\item 	
	\begin{enumerate}
		
		\item Donner sans calculer les coordonnées du point $A_2$. 
		\item Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 +  2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$.
		\item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-conre, 
		que l'on pourra utiliser
sans justification.\\
\og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg\\
En   déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$.
	\end{enumerate}
		\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline
1&cos (4*pi/5)\\
&\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline
&\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{minipage}
 
\item  Dans le repère \Ouv{} donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone 
régulier. \\
\textit{N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.}
\begin{center}
 \psset{unit=3.5cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item En remarquant que $ \dfrac{11\pi}{12}=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}$, calculer $\sin \dfrac{11\pi}{12}$
\item A l'aide des formules de duplication, calculer $\cos \dfrac{\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{\pi}{8}$ 
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Pour tout réel $x$ tel que $\cos(x)\neq 0$, on rappelle que l'on définit la fonction tangente par :
 $$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$$
 \begin{enumerate}
  \item Donner l'ensemble de définition de la fonction tan
  \item Montrer que la fonction tan est $\pi-$périodique. 
  Que peut-on en déduire graphiquement ?
  \item Montrer que la fonction tan est impaire. Que peut-on en déduire graphiquement ?
  \item Proposer alors un intervalle minimal $I$ pour étudier la fonction tan.
  \item Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle $I$
  \item Calculer $\tan(0)$ et $\tan \dfrac{\pi}4$.
 % \item Calculer les limites de la fonction tan aux bornes de $I$. Interpréter graphiquement.
  %\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction tan en $0$.
  \item Lorsque $x$ se rapproche de $\dfrac{\pi}2$ comment évolue $\tan(x)$ ?
  \item On admet que la fonction tan admet pour tangente en $0$ la droite d'équation $y=x$.\\
  En utilisant les données précédentes, tracer l'allure de la courbe représentative de 
  la fonction tan sur $]-2\pi;2\pi[$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
 $$f:x \longmapsto x^2\cos(x) \qquad \qquad g: x \longmapsto (x^3+2x^2+1)\sin(x) $$
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\cos(x)$.\\
%\textit{Possibilité aussi de le faire avec $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$, pour la limite demandée, cela peut-être intéréssant ... ??}\\
Pour chacune des questions suivantes, entourer la bonne réponse sur le sujet, et \textbf{justifier} sur votre copie.
\begin{enumerate}
 \item La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f'(x)=$
 \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $\sin(x)$   \item $\cos(x)$   \item $\cos(x)+x\sin(x)$   \item $\cos(x)-x\sin(x)$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $[-2\pi; 2\pi]$ est :
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $2$   \item $3$   \item $4$   \item $5$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item $f'\left(-\dfrac{5\pi}6\right)=$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $\dfrac{5\pi}{12}$   \item $\dfrac{5\sqrt{2}\pi}{12}$   \item $\dfrac{5\sqrt{3}}{12}$   \item Autre valeur
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item Si $x$ est aussi grand que l'on veut, alors $\left(f(x)\right)^2$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item est très proche de $0$   \item est lui-même très grand   \item on ne peut pas dire   \item Autre réponse
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item Si $x$ est aussi grand que l'on veut dans les négatifs, alors $f\left(\dfrac1x\right)$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item est très proche de $0$   \item est lui-même très grand (positif)  \item on ne peut pas dire   \item Autre réponse
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport à :
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
 \item l'origine   \item l'axe des ordonnées   \item l'axe des abscisses   \item la droite d'équation $y=x$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 \item La fonction $f$ est :
 \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
 \item paire   \item impaire   \item $2\pi$- périodique   \item Autre réponse
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la fonction $f:x\longmapsto \dfrac{\sin x}{2+\cos x}$.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\R$.
  \item Montrer que pour tout réel $x\in\R$ on a $f'(x)=\dfrac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^2}$
  \item \begin{enumerate}
         \item Soit $x\in \R$. Calculer $f(x+2\pi)$ et $f(-x)$. Que peut-on en conclure ?
         \item En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur l'intervalle $[0;\pi]$.
        \end{enumerate}
 \item A l'aide du cercle trigonométrique, étudier le signe de $1+2\cos x$ sur $[0; \pi]$.
 \item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;\pi]$.
 \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ sur $[0;\pi]$ puis sur $[-\pi ; 0]$ et enfin sur 
 $[-3\pi;3\pi]$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF} \\% Métropole juin  2016
 \parbox{0.4\linewidth}{Lors d'un match de rugby, un joueur doit
transformer un essai qui a été marqué au
point E (voir figure ci-contre) situé à
l'extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon
par un coup de pied depuis un point T que
le joueur a le droit de choisir n'importe où
sur le segment [EM] perpendiculaire à la
droite (AB) sauf en E. La transformation
est réussie si le ballon passe entre les
poteaux repérés par les points A et B sur la
figure.}\hfill\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(11.6,8)
\psframe(0.5,0)(10.8,7.3)\psline(5.65,0)(5.65,7.3)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(5.65,0.75)%EM
\uput[l](0.5,0.75){E}\uput[r](5.65,0.75){M}
\uput[l](0.5,3.3){A}\uput[l](0.5,3.9){B}\uput[ur](2.8,0.75){T}
\psline[linestyle=dashed](0.5,3.3)(2.8,0.75)(0.5,3.9)
\rput{90}(6,3.65){Ligne médiane}\rput{90}(11.2,3.65){Limite du terrain}
\uput[u](5.65,7.3){Terrain vu de dessus}
\psline(0.35,3.9)(0.65,3.9)\psline(0.35,3.3)(0.65,3.3)
\psline(10.65,3.9)(10.95,3.9)\psline(10.65,3.3)(10.95,3.3)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.5)(2.8,0.5)\uput[d](1.65,0.6){$x$}
\end{pspicture}
}

\medskip

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ le plus grand possible.
\smallskip

Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note $x$ la longueur ET, qu'on cherche à déterminer.

\medskip

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m . On note $\alpha$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETA}}$, $\beta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETB}}$ et $\gamma$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer $\tan \alpha$ et $\tan \beta$ en fonction de $x$.

La fonction tangente est définie sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
\item \begin{enumerate}
       \item Justifier que la fonction tan est dérivable sur $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$
et que pour tout $x\in \left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a :
  $$\tan'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$$
  \item En déduire les variations de la fonction tan sur l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$.
      \end{enumerate}
 \item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ admet une mesure $\gamma$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure. 

On admet que, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, 

$\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a  \times \tan b}$.

Montrer que $\tan \gamma = \dfrac{5,6x}{x^2 + 765}$.
\item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum lorsque sa mesure $\gamma$ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0~;~50] de la fonction $f$ définie par : $f(x)= x+ \dfrac{765}{x}$.

Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et déterminer cette valeur de $x$ au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ à $0,01$ radian près.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}