\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Vous saviez d\'ej\`a que les math\'ematiques \linebreak[4] \'etaient complexes !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}

%\renewcommand{\arraystretch}{1.2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Chacha{madonne.eps}{Autoportrait avec cigarette (1895) \fg \, et \\ \og  La madone (1895-1902)}{Edvard Munch}
{La maladie, la folie et la mort sont les anges noirs qui ont veillé sur mon berceau}{Edvard Munch}{Edvard Munch 
(1863 - 1944) est un peintre expressionniste norvégien,
souvent considéré comme le pionnier de l'expressionnisme et très tôt réputé pour son appartenance
 à une nouvelle époque artistique en Europe.
L'importance de son œuvre est aujourd'hui reconnue dans le monde. \\
Les œuvres de Munch les plus connues sont celles des années 1890, notamment  \textit{Le Cri} (1893)
(cf fin du cours), pièce de la série \textit{La Frise de la Vie}, que Munch a assemblée au tournant du siècle. 
Sa production ultérieure attire toutefois de plus en plus l'attention et semble inspirer tout spécialement les artistes actuels.\\
Munch traite d'une manière récurrente des thèmes de la vie, de l'amour, de la peur et de la mort.
La collection la plus importante de ses œuvres se trouve au le Musée Munch dans Oslo. 
Quelques-unes de ses peintures se trouvent à la galerie nationale d'Oslo. 
L'Hotel Continental d'Oslo possède de nombreuses impressions. Enfin, la pinacothèque de Paris a organisé en 2010 la superbe exposition 
\textit{Anti-Cri} regroupant de nombreux tableaux de Munch, issus de collections privées.\\
\textit{ Le Cri } et  \textit{La Madone} ont été volés le 22 août 2004 au musée Munch d'Oslo. Ils ont été récupérés dans des circonstances non connues 
en août 2006 en Norvège... Les deux œuvres ensemble sont estimées à 100 millions de dollars.}
{1.2}{0.4}{
 \item Découvrir de nouveaux nombres et les manipuler
 %\item Trouver leurs différentes formes
 \item Utiliser les nombres complexes pour résoudre des équations %ou des problèmes géométriques
}


\TITRE{anti-cri.eps}{0.5}

\begin{abstract}
Les  nombres  complexes, ou encore nombres imaginaires, portent  bien  leur  nom  !  
Ils  interviennent
partout sous différentes formes et pourtant ils n'existent pas concrètement ! \\
On les retrouve notamment en  algèbre, en  analyse, en  géométrie, en  électronique, en
traitement du signal,  en musique, etc. Tantôt on les écrit sous leur forme algébrique,  
tantôt  sous leur forme
trigonométrique, tantôt leur sous forme  exponentielle !\\
Leur succès vient en fait de  deux propriétés : en travaillant  sur les nombres complexes,
tout polynôme admet un nombre de racines égal à son degré et surtout ils
permettent de calculer facilement des coordonnées en dimension 2. Ce  n'est pas clair ?
Alors détaillons et commençons par le point de vue algébrique ! 
\end{abstract}

\section{Découverte de l'ensemble des nombres complexes $\C$}

\subsection{Approche ensembliste}

\noindent L'équation $x+1=0$ n'a pas de solution dans $\N$, mais elle admet $-1$  comme solution
dans l'ensemble plus grand $\Z$.\\
De même, l'équation $3x=1$ n'admet pas de solution dans $\Z$, mais elle admet $ \dfrac{1}{3}$ 
comme solution dans l'ensemble $\Q$ plus vaste que $\Z$\\
Et puis, l'équation $x^2=2$ n'a pas de solution dans $\Q$ ; il faut chercher dans $\R$ pour en trouver. 
\\
En clair, quand une équation n'a pas de solutions, une démarche naturelle (et historique) 
pour en trouver consiste à en chercher dans un ensemble plus grand. Au stade de vos connaissances, 
l'ensemble numérique le plus grand est $\R$. Pourtant l'équation $x^2=-1$ n'a pas de solutions 
dans $\R$ $\dots$\\
On va donc simplement, dans ce chapitre \og construire \fg , enfin plutôt imaginer un 
ensemble de nombres plus grand que $\R$ dans lequel l'équation $x^2=-1$ possède des solutions.

En réalité, historiquement, l'apparition des nombres complexes se fit légèrement autrement...

\newpage
\subsection{Approche historique}

\begin{act}\\
%\textbf{Partie A :} Activité 3 p 225 (recherche historique sur internet)\\
%\textbf{Partie B :} 
\partieBac{Sur la trace des mathématiciens} 
Au début du XVI$^{\text{ème}}$ siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule 
donnant une solution aux équations du $3^{\text{ème}}$ degré de la forme $x^3+px+q=0$, où $p$ et $q$ 
désignent des nombres réels 
\footnote{De plus, on peut démontrer que toute équation de degré 3, 
ie de la forme $ax^3+bx^2+cx+d=0$, est équivalente à une équation de ce type. }:
%Ainsi, dès le XVI$^e$ siècle, on sait trouver une solution réelle à beaucoup d'équation de degré 3,  
%donc toutes les solutions (vous comprendrez bientôt pourquoi).
%} :
$$ x=\sqrt[3]{\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2} }+\sqrt[3]{\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2} } \qquad \text{ où } \quad  \Delta= q^2+4\left(\dfrac{p}{3}\right)^3 $$
%Vous avez déjà rencontré et appliqué ces formules dans un devoir maison, pour résoudre l'équation
%$$(E)\,  : \, x+x^2+x^3=1$$
%On avait effectué le changement de variable $X=x+\dfrac13$ et on avait 
%montré que $(E) \iff X^3+\dfrac23X=\dfrac{34}{27}$. \\
%La solution ressemblait à ceci :
%$X=\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} \right)$\\
%Et donc $x = X - \dfrac13 = 
%\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} -1 \right)$. \\
Pour information :
\begin{itemize}
 \item $\Delta$ est appelé le \textbf{discrimant} du polynôme $P(x)=x^3+px+q$
 \item Pour tout nombre $a$, le symbole $\sqrt[3]{a}$ désigne l'unique nombre $b$ tel que $b^3=a$.\\
\end{itemize} 
Bref, easy  ... Et cette formule est bien évidemment à apprendre par coeur ! \footnote{Non, je plaisante !}
\begin{enumerate}
 %\item Utilisez cette formule pour trouver une solution de l'équation $x^3-36=91$
 %\item \begin{enumerate}
 \item Prenez-vous un instant pour Bombelli, mathématicien de la fin du XVI$^e$ siècle, et 
 appliquez cette formule à l'équation $x^3-15x-4=0$. 
 \item Quel problème survient ?
 \item A l'époque, Bombelli eu l'audace de supposer, juste pour voir ce que cela donnait, 
 que les règles de calcul usuel se prolongeaient aux racines carrés de nombres négatifs.\\
 Ne soyez pas si téméraires, car il est hors de question d'écrire encore des horreurs du type $\sqrt{-1}$ !
 \footnote{Pour tout nombre positif $a$, le symbole $\sqrt{a}$ désigne l'unique nombre positif $b$ 
 tel que $b^2=a$. Ainsi, le symbole $\sqrt{-1}$ n'a pas de sens.}\\
 Heureusement pour nous, Euler (XVIII$^e$) est passé depuis Bombelli, et il a décrété qu'il noterait
 $i$ un nombre imaginaire tel que $i^2=-1$.\\
 Prenez-vous désormais pour Bombelli avec la notation d'Euler, et :
 \begin{enumerate}
  \item Simplifier au maximum l'expression de la solution cherchée, en utilisant le nombre imaginaire $i$
  \item Développer et simplifier $ \left(2+i\right)^3$ et $ \left(2-i\right)^3$
 \item Quelle serait alors une solution réelle de l'équation ? Le vérifier. 
 \end{enumerate}
 \item Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $x^3-15x-4=(x-4)(ax^2+bx+c)$
 \item Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $x^3-15x-4=0$.
%\end{enumerate}
\end{enumerate}
 Une question naturelle s'est alors posée : peut-on légitimement calculer 
avec des symboles imaginaires comme ci-dessus ? C'est ainsi qu'est née la théorie des nombres
complexes, qui a mis bien longtemps à s'imposer et a déchaîné bien des passions $\dots$\\\\
\partieBac{A vous de jouer !}
\begin{enumerate}
 \item Essayez de compter un peu avec ces nombres, en simplifiant au maximum les expressions suivantes :
$$A=(3+4i)^2 \qquad B=(3-4i)^2 \qquad C=(3+4i)(3-4i) \qquad D=(3+4i)(i-1) $$
$$E=(5-3i)(7-2i) \qquad  F=(i-2)(2+i) \qquad G=(5+7i)(3-i)(2-3i) \qquad H=\dfrac{6-4i}{2+3i}$$
 \item Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
\end{act}



\subsection{Approche géométrique}

Regarder la vidéo  de ``Dimensions - chapitre 5'' sur le vidéo-projecteur.\\

Jusqu'au XIX$^e$ siècle, les nombres complexes avaient beau avoir une utilité certaine, comme résoudre
des équations de degré 3, leur existence restait très controversée.\\
Mais en 1806, le mathématicien suisse Argand associe les nombres complexes aux points du 
plan.\\
Ainsi, le nombre complexe $x+iy$ ($x$ et $y$ réels) est associé au point  
du plan de coordonnées $(x;y)$. Ceci entraîne notamment l'unicité de l'écriture et l'absence d'ordre dans $\C$. \\

Grâce à cette identification que vous approfondirez dans un prochain chapitre, on a pu établir une démonstration rigoureuse de l'existence de $\C$, en 
explicitant sa construction
\footnote{
Cette démonstration n'est absolumment pas au programme, et même si vous pourriez en saisir quelques 
éléments, vous ne pourriez pas en saisir l'essence. Vos connaissances sur les ensembles et leurs
propriétés étant encore trop obscures et trop peu diversifiées (il existe des ensembles par exemple, 
où la multiplication n'est pas commutative, comme pour les ensembles de nombres : cf les matrices en 
spécialité). \\
Une idée de cette démonstration est présente en annexe, à la fin de ce cours, pour ceux qui 
souhaiteraient approfondir.}.
C'est la fin de la controverse ...

\subsection{Formalisation}

\begin{theo}[Définition-Admis]
On définit un ensemble $\C$ contenant $\R$ :
\begin{itemize}
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\R$
\item contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$
\item tel que chaque élément $z$ de $\C$ peut s'écrire de manière \textbf{unique} sous la forme :
$$ z=x+iy\text{ avec $x$ et $y$ des nombres réels}$$ 
\end{itemize}
Les éléments de $\C$ sont appelés \textbf{nombres complexes} ou encore \textbf{nombres imaginaires}.
\end{theo}


\Rqs{
\item Le prolongement des opérations de $\R$ dans $\C$ signifie que l'on garde les propriétés calculatoires de $\R$ (associativité, 
commutativité, distributivité, élément neutre, inverse ...) en remplaçant simplement $i^2$ par $-1$,
à chaque fois que vous le rencontrez.
\item On évitera l'usage abusif du symbole radical $\sqrt{\quad}$ qui reste réservé aux réels positifs.
\item Vous constaterez l'absence d'ordre dans $\C$ ...
\item Retenez simplement la formalisation précédente, en admettant l'existance de $i$, comme vous 
l'avez fait quand on vous a parlé des nombres négatifs, ou encore des rationnels, puis des irrationnels, mais
sans pouvoir mettre d'ordre de grandeur à $i$ ni de sens concret.
}

\Cadre[Résumé historique]{
Dès le XVI$^e$ siècle, plusieurs mathématiciens commencent à manipuler 
les nombres complexes, sans bien comprendre
ce qu'ils sont et sans savoir comment les représenter. Leur existence est alors très controversée.\\

En 1637, \textbf{Descartes} propose l'appellation de \og nombres imaginaires \fg, 
mais c’est \textbf{Gauss} en 1831 qui le premier les nomme les \og nombres complexes \fg. \\
%On appellera alors cet ensemble $\C$ : ensemble des nombres complexes. \\
Le principal nombre complexe %élément de $\C$ 
est un nombre imaginaire dont le carré vaut $-1$.\\
Jusqu'au XVIII$^e$ siècle (pendant plus de 200 ans !), on notera avec réticence ce nombre 
$\sqrt{-1}$. Mais en 1777, 
\textbf{Euler}, déclarant que la notation $\sqrt{-1}$ est absurde car elle conduit à une contradiction de 
la définition, introduit la notation $i$ (comme imaginaire) pour le nombre  qui vérifie 
$i^2 =-1$. \\

L’ensemble des nombres complexes  $\C$ apparaît alors : ce sont les nombres de la forme 
$a+ib$, avec $a$ et $b$ réels. Les règles de calculs dans  $\R$ sont conservées. \\

L'équation $x^2=-1$ possède deux solutions dans $\C$ car :
$$ x^2=-1\Longleftrightarrow x^2-(-1) = 0 \iff x^2-i^2=0 \iff (x+i)(x-i)=0\Longleftrightarrow x=i\text{ ou }x=-i$$
On sait qu'il n'existe pas d'autres solutions dans un ensemble encore plus grand, notamment
grâce à l'écriture factorisée (même si la démonstration est bien plus ardue que cela).\\
En fait c'est le cas de toutes les équations polynomiales à coefficients dans $\C$ : elles 
admettent toutes
leurs solutions dans $\C$ (en fait, autant que le degré de l'équation). 
On dit que $\C$ est \textbf{algébriquement clos}.\\
Ainsi, je vous rassure, on ne construira pas d'ensemble de nombres plus grand que $\C$. \\

Ce n'est cependant qu'au XIX$^e$ siècle que 
les nombres imaginaires prennent leur statut officiel de nombres, grâce au suisse \textbf{Argand}
qui proposa une représentation géométrique de ces nombres. \\

Ces nombres ont notamment servi pour formaliser la théorie de la relativité d’Einstein (1905). 
A votre niveau, ils sont utiles pour la résolution d'équations et en géométrie dans un second chapitre.
}

%\newpage
%\section{L'ensemble $\C$ d'un point de vue algébrique}

\section{Forme algébrique d'un nombre complexe}

\subsection{Vocabulaire et première propriété}

\begin{defi}
Soit $z\in\C$, alors il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que $z=x+iy$. 
\begin{itemize}
 \item L'écriture $x+iy$ (unique) est appelée \textbf{forme algébrique} du nombre complexe $z$
 \item Le réel $x$ est la \textbf{partie réelle} de $z$ et se note Re$(z)$
 \item Le réel $y$ est la \textbf{partie imaginaire} de $z$ et se note Im$(z)$
\end{itemize}
\end{defi}


\Att{La partie imaginaire est un \textbf{nombre réel }.}


\Expls{
Si \quad $z=3-4i$ \quad alors $3$ est sa partie réelle et $-4$ est sa partie imaginaire\footnote{Pourquoi
la vie des hommes est-elle complexe ? Parce qu'elle possède une partie réelle et une partie imaginaire ...}. \\
Soit \quad $z'=2+3i$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la forme algébrique de $z+z'$. 
 \item Donner les parties réelle et imaginaire de $zz'$, puis de $iz-3z'$
\end{enumerate} 
}

\Rqs{
\item Si \quad Im$(z)=0$ \quad alors \quad $z=$Re$(z)+i0=$Re$(z)$, \quad donc $z$ est un réel et $\R \subset \C$.
\item Si \quad Re$(z)=0$ \quad alors \quad $z=0+i$Im$(z)=i$Im$(z)$. \quad On dit que $z$ est un \textbf{imaginaire pur}. \\
L'ensemble des imaginaires purs est noté $i\R$
}

\begin{theo}[Egalité de deux nombres complexes]Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombres réels, alors :
$$ x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$$ 
Autrement dit : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si
leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.
\end{theo}


\Dem{
\begin{itemize}
\item Montrons dans un premier temps que $$ x+iy=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$$
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=0$ et $y=0$ alors $x+iy=0$
\item[$\Rightarrow)$] Supposons que $y\neq 0$, dans ce cas on a : $i =-\dfrac{x}{y}$ et par conséquent $i\in\R$, or il n'existe pas de nombres réels tels que $i^2=-1$. Notre hypothèse est donc absurde, ce qui signifie que $y=0$ et donc $x+0=0\Longleftrightarrow x=0$
\end{itemize}
\item Considérons désormais deux nombres complexes $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ tels que et montrons que 
$$ z=z'\Longleftrightarrow x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$$
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=x'$ et $y=y'$ alors de manière évidente $z=z'$
\item[$\Rightarrow)$] Si $z=z'$ montrons que $x=x'$ et $y=y'$\\
Comme $z=z'$, on a $z-z'=0\Longleftrightarrow x-x'+i(y-y')=0$, par conséquent d'après la première partie de la démonstration : 
$$ x-x'=0\Longleftrightarrow x=x' \qquad \text{ et }\qquad y-y'=0\Longleftrightarrow y=y'$$
\end{itemize}
\end{itemize}
}

\Rq{
Dans $\C$, il n'y a pas de notion d'ordre, on ne pourra donc pas comparer deux nombres imaginaires.
}

\begin{ExoF}
 Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item La partie réelle de $2i-3$ est $-3$.
  \item La partie imaginaire de $4+5i$ est $5i$.
  \item Les entiers naturels sont des nombres complexes.
  \item $(1+i)^2$ est un imaginaire pur.
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans chacun des cas suivants, déterminer les parties réelles et imaginaires du nombre  $z$.
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $z=(3-i)^2$
  \item $z=(2i-1)(3+i)$
  \item $z=3i(1+i)-5(2-3i)$
 \end{enumerate}
\end{multicols}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Résoudre dans $\C$ les équations suivantes. \textit{On donnera les solutions sous forme alégbrique.}
 \begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
  \item $3z+2-i=z+5+4i$
  \item $(1+i)z=3-2i$
  \item $-1-z^2=0$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill \textbf{Equation produit dans }$\C$
 \begin{enumerate}
  \item Soit $z$ un nombre complexe de forme algébrique $x+iy$. Justifier que $0\times z = 0$.
  \item Soit $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes tels que $z_1 \times z_2 = 0$.
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que si $z_1\neq 0$ alors $z_2=0$.\\
   \textit{On pourra utiliser l'inverse de $z$.}
   \item Formuler la propriété ainsi démontrée.
  \end{enumerate}
 \item Résoudre dans $\C$ l'équation suivante : \quad $(z^2-4)(z^2+4)=0$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\subsection{Conjugué d'un nombre complexe}

\begin{defi}
On considère un nombre complexe $z=x+iy$. \\
On appelle \textbf{conjugué} de $z$
 le nombre complexe, noté $\overline{z}$, tel que $$ \overline{z}=x-iy$$ 
On dit que $z$ et $\overline{z}$ sont des \textbf{nombres complexes conjugués}. 
\end{defi}

\Expl{Le conjugué de $z=4-2i$ est $ \overline{z}=4+2i$, le conjugué de $i$ est $-i$, de $7$ est $7$. }

\Rq{On a Re$(z)=$Re$(\overline{z})$}

\begin{coro}[Critère pour qu'un nombre complexe soit réel (resp. imaginaire pur)]
On a :
$$ z+\overline{z}=2\text{Re}(z)\qquad \qquad \qquad z-\overline{z}=2i\text{Im}(z)$$
Et les propriétés suivantes : $$ z\text{ est réel}\Longleftrightarrow z=\overline{z}\qquad 
\text{ et } z\text{ est imaginaire pur }\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$ 
\end{coro}


\Dem[ROC]{Notons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux réels. Ainsi : 
$$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\text{Re}(z) \text{ et }z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\text{Im}(z)$$
On en déduit immédiatement que :
$$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow \text{Im}(z)=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$
$$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow \text{Re}(z)=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$
}

\begin{theo}
Pour tout nombre complexe $z=x+iy$, on a : \qquad $ z\overline{z}=x^2+y^2\in\R$
\end{theo}


\Dem[ROC]{$z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy-i^2y=x^2+y^2$
}

\Cadre[Application]{Pour écrire les nombres complexes fractionnaires sous la forme $x+iy$, i.e sous 
la forme algébrique on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée.}

\Expl{$$ \dfrac{1}{3-4i}=\dfrac{3+4i}{(3-4i)(3+4i)}=\dfrac{3+4i}{25}=\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}i$$}

%\begin{ExoF}
%Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : \quad $ \dfrac{1-i}{1+i}$ \quad et 
%\quad $ \dfrac{1}{2+i}$  
%\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Résoudre dans $\C$ les équations suivantes. \textit{On donnera les solutions sous forme alégbrique.}
 \begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
   \item $(2-i)z+1=(3+2i)z-i$ \item $z+2i=iz-1$ \item $(3+2i)(z-1)=i$
  \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 40 p 241
\end{ExoL}

\begin{prop}
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, on a : 
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overline{z+z'}=\overline{z^{}}+\overline{z'}$
\item $ \overline{-z}=-\, \overline{z}$
\item $ \overline{zz'}=\overline{z^{}}\times \overline{z'}$
\item $ \overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n$
\item $ \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z} }{ \overline{z'} }$ \quad (avec $z'\neq 0$) 
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{prop}


\Dem[ROC]{Soit $z=x+iy$ et $z'=x-iy$ (avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels), et $n\in\N^*$ alors :
$$ \overline{z+z'}=\overline{x+iy+x'+iy'}=\overline{x+x'+i(y+y')}=x+x'-i(y+y')$$
$$ \overline{z}+\overline{z'}=\overline{x+iy}+\overline{x'+iy'}=x-iy+x'-iy'=x+x'-i(y+y')$$
Par conséquent $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$.
\\
On démontre de manière similaire les autres égalités, avec une petite récurrence pour la quatrième.}

\Expls{
Déterminer les formes algébriques des conjugués des nombres complexes suivants :
$$ z=\dfrac{4-5i}{3+i} \qquad\qquad\qquad \qquad z=\dfrac{1}{2+i}$$
}



\Cadre[Application]{
Si un polynôme, à coefficients réels, admet un nombre complexe $z$ comme racine alors $ \overline{z}$ est aussi une racine de $P$ puisque, d'après les propriétés de la conjugaison (qui commute avec les exposants, les produits et les sommes) : $$ P(\bar{z}))=\overline{P(z)}$$
Et donc si $P( z )=0$ alors $P( \overline{z})= \overline{P(z)}=\overline{0}=0$ 
}

\Expls{On donne $P(x)=x^2+1$. Déterminer les racines de $P$ et vérifier qu'elles sont conjuguées.\\
Vérifier que le nombre complexe $j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est racine de $Q(x)=x^2+x+1$. \\
Donner sans calcul l'autre racine de $Q$. En déduire sa forme factorisée.}


%\newpage
\section{Equations du second degré à coefficients réels}
\subsection{Equation $X^2=a$ où $a\in\R$}
\Act{L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de l'équation $X^2=a$,
avec $a\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler les solutions de l'équation $X^2=a$ dans le cas où $a \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=-3$.
 \begin{enumerate}
 \item Vérifier que $i\sqrt{3}$ est solution dans $\C$ de cette équation.
 \item En déduire toutes les solutions dans $\C$ de cette équation.
\end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $X^2=a$ dans le cas $a<0$.
%On suppose que $a<0$. On cherche à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=a$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que  $a=\left(i \sqrt{-a}\right)^2$. 
 \item En déduire que l'équation considérée possède deux solutions complexes que 
 l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{propo}
L'équation $X^2=a$ possède deux solutions dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item Si $a\geq 0$ ce sont les réels suivants :  $X=\sqrt{a}$ \quad ou \quad $X=-\sqrt{a}$
\item Si $a<0$, ce sont les imaginaires purs conjugués suivants : $X=i \sqrt{-a} 
\qquad \text{ou} \qquad X=-i \sqrt{-a}$
\end{itemize} 
\end{propo}


\Expl{
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
$$ z^2+\dfrac{3}{4}=0\qquad\qquad z^2=\cos^2\theta-1 \qquad\qquad x+\dfrac{1}{x}=0$$
}



\subsection{Equations $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$}

\Act{L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de 
l'équation $ax^2+bx+c=0$, avec $a$, $b$ et $c$ réels tels que $a\neq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler le discriminant $\Delta$ de cette équation, ainsi que 
 les solutions de l'équation $ax^2+b+c=0$ dans le cas où $\Delta \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $2x^2-3x+4=0$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation. Quel problème survient ?
  \item Ecrire $\Delta$ sous la forme d'un carré de nombre complexe.
  \item Vérifier que le nombre $x_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ est solution
  de l'équation considérée.
  \item Quelle est alors l'autre solution de l'équation ?
 \end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans le cas le discriminant 
$\Delta$ est strictement négatif.\\
On rappelle que l'équation $ax^2+bx+c=0$ $(a\neq 0)$ peut s'écrire de manière équivalente 
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $ \Delta=\left(i \sqrt{-\Delta}\right)^2 $. 
\item En remplaçant $\Delta$ par cette nouvelle écriture, 
résoudre alors l'équation considérée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{theo}
L'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, $b$ et $c$ réels possède deux solutions dans $\C$, éventuellement
confondues :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta\geq 0$, ce sont les réels suivants : $$ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$$
\item Si $\Delta<0$, ce sont les complexes conjugués suivants : 
$$ x_1=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b+i \sqrt{-\Delta} }{2a}$$
\end{itemize}
\end{theo}


\Expl{
Résoudre, dans $\C$, les équations suivantes :
$$ x^2-2x+2=0\qquad \qquad\qquad\qquad 2z^4+z^2-10=0$$ 
}


\begin{ExoF}
 Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
 \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item L'équation $z^2-z-2=0$ n'a pas de solution dans $\C$
   \item L'équation $z^4-1=0$ a quatre solutions dans $\C$
   \item L'équation $z^4-1=0$ a quatre solutions dans $\R$
   \item Pour tout nombre complexe $z$, $2z^2+6z+5=(z+1.5-0.5i)(2z+3+i)$
  \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $a$ est différent de $0$.\\
 Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
   \begin{enumerate}
   \item L'équation $az^2+bz+c=0$ a deux solutions distinctes dans $\C$
   \item Si l'équation $az^2+bz+c=0$ a pour solutions $z_1$ et $z_2$ dans $\C$, alors $z_1=\overline{z_2}$
   \item Si l'équation $az^2+bz+c=0$ a pour solutions $z_1$ et $z_2$ dans $\C$, alors $az^2+bz+c=a(z+z_1)(z+z_2)$ 
   \item Pour tout nombre complexe $z$, $2z^2+6z+5=(z+1.5-0.5i)(2z+3+i)$
  \end{enumerate}
 \end{ExoF}


 \begin{ExoF}
  Si $n$ est un entier naturel non nul, on dit que le nombre complexe $z$ est une racine n-ième de l'unité si on a : $z^n=1$
\begin{enumerate}
 \item si $n=3$.
 \begin{enumerate}
   \item Déterminer une racine évidente dans $\C$ de l'équation $z^3=1$
   \item Justifier que $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$
   \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3=1$
  \end{enumerate}
 \item si $n=4$.
 \begin{enumerate}
   \item Déterminer deux racines évidentes dans $\C$ de l'équation $z^4=1$
   \item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $z^4-1=(z^2-1)(az^2+bz+c)$
   \item Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4=1$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}  
 \end{ExoF}

 \begin{ExoF}
  On pose $P(z)=z^3-(6+i)z^2+\alpha z - 13i$ , où $\alpha$ est un nombre complexe.
  \begin{enumerate}
   \item Calculer $\alpha$ pour que $P(i)=0$.
   \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout complexe $z$, $P(z)=(z-i)(z^2+az+b)$
   \item Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$.
  \end{enumerate}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Résoudre dans $\C$ les systèmes suivants :
 \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
   \item $\left\{\begin{array}{l}
                  z+z' = 2 \\ zz'=17
                 \end{array}\right.$
   \item $\left\{\begin{array}{l}
                  z+z' = 5 \\ zz'=6.5
                 \end{array}\right.$
  \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{ExoF}
 
 \begin{ExoF}
  On considère dans l'ensemble des nombes complexes, l'équation $(E)$ d'inconnue $z$ :
  $$z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=0$$
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que $(E)$ a une solution imaginaire pure.
   \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que :
   $$z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=(z+i)(z^2+az+b)$$
   \item Résoudre l'équation $(E)$ dans $\C$.
  \end{enumerate}
 \end{ExoF}

 \begin{ExoF}
  On définit la fonction polynôme $f$ de $\C$ dans $\C$ par :
  $$f(z)=z^4-6z^3+14z^2-24z+40$$
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer que l'équation $f(z)=0$ a deux solutions imaginaires pures.\\
   \textit{On pourra poser $z=iy$ avec $y\in\R$, puis mettre $f(iy)$ sous forme algébrique et enfin traduire la nullité de $f(iy)$ par un système.}
 \item Trouver deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $z\in\C$, on ait :
 $$f(z)=(z^2+az+b)(z^2+4)$$
 \item En déduire l'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $f(z)=0$.
   \end{enumerate}

 \end{ExoF}

 

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 44-47 p 241
\end{ExoL}


\end{document}
