\documentclass[4apaper,11pt,french]{article} \linespread{1} \newcommand{\typedoc}{Cours} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Les fonctions Sinus et Cosinus} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{Chapitre 1} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{TG3} \newcommand{\Annee}{2016-2017} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{1 semaine} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Package \input macro_final.tex \setcounter{NumLecon}{1} \geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=1.5cm} %\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Premiere page \begin{document} %\DocCha \Chacha{mlemaudit.eps}{M le maudit}{Fritz Lang}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Il s'agit du premier film parlant de Fritz Lang. Avec le temps, M le maudit est devenu un classique reconnu, rivalisant avec les autres œuvres de Lang pour le titre d'opus magnum. Pendant des années après la sortie du film, Peter Lorre est resté catalogué comme un méchant pour y avoir été un meurtrier d'enfant (et, c'est sous-entendu, un pédophile). M le maudit a été aussi un pionnier dans l'utilisation du leitmotiv (Dans l'antre du roi de la montagne, extrait de Peer Gynt d'Edvard Grieg) pour donner plus d'intensité à l'accompagnement musical.\\ La ville où se déroule l'action n'est pas nommée, et on pourrait croire qu'il s'agit de Düsseldorf, d'après les titres en italien et espagnol M, le monstre de Düsseldorf. Pourtant, Fritz Lang décide de faire se dérouler le film à Berlin. Plusieurs indices dans le film permettent au spectateur de comprendre qu'ils sont à Berlin : une publicité pour un journal berlinois, la carte de Berlin dans le bureau du commissaire, le fait que le commissaire parle d'une ville de 4 millions d'habitants...\\ Claude Beylie décrit « M » comme « […] un magistral exercice de style, un modèle absolu de mise en scène, considérée comme une mise en équation de tous les éléments constitutifs du film. Le moindre détail est chargé de sens, les plans s'imbriquent selon un ordre infaillible. » }{1.5}{0.6}{ \item Rappeler le cercle trigonométrique \item Découvrir de nouvelles formules \item Découvrir deux nouvelles fonctions de référence \item Revoir les fonctions dérivées et leurs applications } \TITRE{images.eps}{0.6} \begin{Intro}{Résumé} Vous avez manipulé les fonctions trigonométriques sans vous en rendre compte, il est temps de formaliser tout cela !\\ Ainsi ce chapitre reprend ce que vous connaissez déjà, mais avec le vocabulaire adpaté aux fonctions. De plus, vous allez apprendre à dériver les fonctions sinus et cosinus. \end{Intro} \newpage \section{Rappels} \subsection{Angles remarquables} \begin{minipage}{9cm} Dans le plan muni d'un repère $(O~;~ I~;~ J)$, on a tracé le cercle trigonométrique $\mathscr C$ (de centre $O$ et de rayon 1, muni du sens direct). \begin{enumerate} \item Construire au compas sur le <> cercle $\mathscr C$ les points : \begin{itemize} \item $A$ tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\pi}3$ \item $B$ tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OB}\right)=-\dfrac{\pi}3$ \item $C$ tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OC}\right)=\pi-\dfrac{\pi}3 = ...$ \item $D$ tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OD}\right)=\pi+\dfrac{\pi}3 = ...$ \end{itemize} \item Même question sur le <> cercle $\mathscr C$ en prenant $\dfrac{\pi}4$ comme angle de référence, puis $\dfrac{\pi}6$ sur le <> cercle $\mathscr C$. \item Sur chacun des cercles, déterminer les valeurs des abscisses et des ordonnées de chacun des points. \end{enumerate} \end{minipage} \qquad \begin{minipage}{10cm} \begin{center} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \psaxes[linewidth=1.pt,Dx=2,Dy=2]{-}(0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \pscircle(0,0){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \end{pspicture*} \end{center} \end{minipage} \bigskip \noindent \begin{minipage}{9cm} \begin{center} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \psaxes[linewidth=1.pt,Dx=2,Dy=2]{-}(0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \pscircle(0,0){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \end{pspicture*} \end{center} \end{minipage} \qquad\begin{minipage}{9cm} \begin{center} \psset{unit=4cm} \begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \psaxes[linewidth=1.pt,Dx=2,Dy=2]{-}(0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1) \pscircle(0,0){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \end{pspicture*} \end{center} \end{minipage} \bigskip \textbf{AP (Constructions à la règle et au compas, angles remarquables) :}\\ Dans un repère orthonormé \Oij, placer à la règle et au compas les points suivants : $$A\left(1;\dfrac{\sqrt{3}}2\right) \qquad B(2;-\sqrt{3}) \qquad C\left(\dfrac{\sqrt{3}}4; -1\right) \qquad D\left(3-\dfrac{\sqrt{2}}2;\dfrac12\right)$$ \begin{prop}[Rappels] Pour tout $x\in\R$ on a : \begin{eqnarray*} -1 \leq \cos(x) \leq 1 &\text{ et } & -1 \leq \sin(x) \leq 1\\ \cos(x+2\pi \times k)=\cos(x) & \text{ et } & \sin(x+2\pi\times k)=\sin(x) \quad \text{ o\`u } k\in\Z\\ & \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 & \end{eqnarray*} \textbf{Valeurs remarquables :} \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{1.5cm}} |} \hline $x$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$ \tabularnewline\hline $\cos x$ & 1 & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $0$ & $-1$ \tabularnewline\hline $\sin x$ & 0 & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ & $0$ \tabularnewline\hline $\tan x $ & 0 & $ \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ & 1 & $\sqrt{3}$ & \cellcolor{gray} n'existe pas & 0 \tabularnewline \hline \end{tabular} \end{center} \begin{center} \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-10,-5.2)(10,7) \pscircle(0,0){5} \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,2.02) \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,2.02) \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-4.57,-2.02) \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(4.57,-2.02) \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(2.02,4.57) \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=blue](0,0)(-2.02,4.57) %\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red]{-4.5}{4.5}{(-0--0.71*x)/0.71} \psline{->}(-5,0)(5,0) \psline{->}(0,-5)(0,5) \rput[lt](3.5,-2.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{2.9 cm}{$\cos(-x)=\cos(x)\\ \sin(-x)=-\sin(x)$}}} \rput[lt](-9.7,-1.8){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi+x)=-\cos(x)\\ \sin(\pi+x)=-\sin(x)$}}} \rput[lt](-9.7,2.7){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos(\pi-x)=-\cos(x)\\ \sin(\pi-x)=\sin(x)$}}} \rput[lt](3.3,6.3){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\sin(x)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos(x)$}}} \rput[lt](-6.5,6.3){\fcolorbox{black}{yellow}{\parbox{3.4 cm}{$\cos\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=-\sin(x)\\ \sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos(x)$}}} \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,2.02)(4.57,2.02) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,2.02)(4.57,-2.02) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](4.57,-2.02)(-4.57,-2.02) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](-4.57,-2.02)(-4.57,2.02) \rput[bl](-0.3,-0.68){$O$} \rput[bl](5.2,-0.56){$I$} \rput[bl](4.84,2.14){$x$} \rput[bl](0.16,5.1){$J$} \rput[bl](4.84,-2.2){$-x$} \rput[bl](-5.6,2.16){$\pi-x$} \rput[bl](-5.6,-2.2){$\pi+x$} \rput[bl](2.1,4.7){$\dfrac{\pi}{2}-x$} \rput[bl](-2.38,4.7){$\dfrac{\pi}{2}+x$} \rput[bl](-2,6){\textbf{Configuration du rectangle}} \uput[dl](4.7,0){$\cos(x)$} \uput[dr](-4.7,0){$-\cos(x)$} \uput[ul](0,2){$\sin(x)$} \uput[dl](0,-2){$-\sin(x)$} \end{pspicture*} \end{center} \end{prop} \newpage \begin{ExoF} %Pondichéry 2016 \textit{ L'objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, on considère le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, de centre $O$ tel que $\vect{OA_0} = \vect{u}$. On rappelle que dans le pentagone régulier $A_0A_1A_2A_3A_4$, ci-contre : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] les cinq côtés sont de même longueur; \item[$\bullet~~$] les points $A_0,\:A_1,\:A_2,\:A_3$ et $A_4$ appartiennent au cercle trigonométrique ; \item[$\bullet~~$] pour tout entier $k$ appartenant à $\{0~;~1~;~2~;~3\}$ on a $\left(\vect{OA_k}~;~\vect{OA_{k+1}}\right) = \dfrac{2\pi}{5}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm}}\hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=2.5cm} \qquad\qquad \begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.1)(1,1) \pspolygon(1;0)(1;72)(1;144)(1;216)(1;288) \pscircle(0,0){1} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1;72){$A_1$} \uput[ul](1;144){$A_2$} \uput[dl](1;216){$A_3$} \uput[dr](1;288){$A_4$} \end{pspicture} } \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points $B(- 1,0)$ et $J\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$. Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $J$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$ coupe $[BJ]$ en un point $K$. Calculer $BJ$, puis en déduire $BK$. \begin{minipage}{10cm} \item \begin{enumerate} \item Donner sans calculer les coordonnées du point $A_2$. \item Démontrer que $BA_2\,^2 = 2 + 2\cos \left(\dfrac{4\pi}{5}\right)$. \item Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-conre, que l'on pourra utiliser sans justification.\\ \og sqrt \fg signifie \og racine carrée\fg\\ En déduire, grâce à ces résultats, que $BA_2 = BK$. \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X|}\hline \multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\\hline 1&cos (4*pi/5)\\ &\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{4}\left(- \sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline 2&sqrt((3 - sqrt(5))/2)\\ \hline &\rule[-5mm]{0mm}{11mm}$\to \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{5} - 1\right)$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{minipage} \item Dans le repère \Ouv{} donné ci-dessous, construire à la règle et au compas un pentagone régulier. \\ \textit{N'utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.} \begin{center} \psset{unit=3.5cm} \begin{pspicture}(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.25,-1.25)(1.25,1.25) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \end{ExoF} \newpage \subsection{Linéarisation et duplication} \begin{prop} Pour tous réels $a$ et $b$ on a : \qquad\quad \fbox{$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a \sin b$} \qquad \qquad \qquad $(\star)$ \\\\ \begin{minipage}{4.5cm} On en déduit : \end{minipage} \fbox{\begin{minipage}{7cm} $$ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$ $$ \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a \sin b$$ $$\sin(a+b)=\sin a \cos b+\cos a\sin b$$ \end{minipage} }\\\\ \begin{minipage}{7cm} Ainsi que les formules de duplication : \end{minipage} \begin{center} \fbox{ $\quad \cos ^2 a=\dfrac{1+\cos 2a}{2} \qquad \quad\text{et}\qquad\quad \sin^2 a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\quad $ }\end{center} \end{prop} \Dem{ Sous forme d'exercice\\ Dans un repère orthonormé $(O; \vec i ; \vec j)$, on considère deux vecteurs $\vec u $ et $\vec v$ unitaires, tels que : $(\vec i ; \vec u ) = a \quad \textrm{ et } \quad (\vec i ; \vec v ) = b $ \begin{enumerate} \item Démontrons tout d'abord $(\star)$. \begin{enumerate} \item Faire le schéma d'un cercle trigonométrique, muni d'un repère $(O; \vec i ; \vec j)$, et dessiner deux représentants des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ayant pour origine $O$, avec $a>b$. \item Déterminer $(\vec u ; \vec v) $ en fonction de $a$ et $b$. \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos(a-b)$. \item Préciser les coordonnées de $\vec u $ et $\vec v$ en fonction de $a$ et $b$. \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b $. \item Conclure. \end{enumerate} \item Grâce à la configuration du rectangle dans le cercle trigonométrique, retrouver les trois formules suivantes de la propriété ci-dessus. \item Utiliser désormais $(\star)$ pour retrouver les formules de duplication. \end{enumerate} } \Expl{ \begin{itemize} \item Quelle relation connue obtient-on en prenant $b=a$ dans $(\star)$ ? \item En remarquant que $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$, calculer la valeur exacte de $\cos \dfrac{\pi}{12}$. \item En remarquant que $2\times \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$, retrouver les valeurs de $\cos \dfrac{\pi}{6}$ et $\sin \dfrac{\pi}{6}$ \end{itemize} } \begin{ExoF} \begin{enumerate} \item En remarquant que $ \dfrac{11\pi}{12}=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}$, calculer $\sin \dfrac{11\pi}{12}$ \item A l'aide des formules de duplication, calculer $\cos \dfrac{\pi}{8}$ et $\sin \dfrac{\pi}{8}$ \end{enumerate} \end{ExoF} \newpage \section{Les fonctions trigonométriques} \subsection{Définition} \begin{act} \textit{On utilise le logiciel Géogébra. La figure peut être vidéo-projetée} \begin{enumerate} \item \textbf{Figure de base} \begin{enumerate} \item Ouvrir Géogébra et faire afficher le repère orthonormé $(O;I;J)$. \item Choisir le radian comme unité d'angle dans ``Options'', ``Configuration'', ``Avancé'' \item Tracer le cercle trigonométrique de centre $O$. \item Créer un curseur $t$, variant entre $-13$ et $13$ et d'incrémentation $0.05$. \item Dans la ligne de commande, saisir l'instruction suivante : $M=(1;t)$\\ A votre avis, que signifie cette commande ? \textit{Vous pouvez déplacer le curseur pour vous aider} \item Dans la ligne de commande, saisir l'instruction $A=(x(M),0)$\\ A votre avis, que signifie cette commande ? \textit{Vous pouvez déplacer le curseur pour vous aider} \item Créer le point $B(0,y_M)$ \end{enumerate} \item \textbf{Variations} \begin{enumerate} \item Quelle est l'abscisse du point $M$ dans le repère $(O;I;J)$ ? Son ordonnée ? \item Avec le curseur, déplacer le point $M$. \\ Décrire son trajet, ainsi que ceux de $A$ et de $B$ correspondants. \item En déduire graphiquement les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus pour $t\in [-13 ; 13]$.\\ \textit{On précisera de plus les valeurs où ces fonctions s'annulent.} \end{enumerate} \item \textbf{Courbes représentatives} \begin{enumerate} \item Compléter la figure précédente en créant le point $C(t,x_M)$. \item Faire afficher sa trace. Quelle courbe représentative voit-on se dessiner ? \item Faire de même pour le point $S(t,y_M)$. Quelle courbe représentative voit-on se dessiner ? \item Vérifier la cohérence entre les courbes obtenues et vos tableaux. \end{enumerate} \item \textbf{Propriétés} \begin{enumerate} \item Quelles propriétés constatez-vous pour les deux courbes ? Pouvez-vous la justifier ? \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction cosinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\ Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ? \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction sinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\ Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?\\ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{act} \newpage Le plan étant muni d'un repère orthonormé direct $\left(O ; \vec i ; \vec j \right)$, on peut associer à tout réel $x$ un unique point $M$ sur le cercle trigonométrique (orienté, de rayon 1 avec une origine).\\ \begin{defi} La fonction qui à tout réel $x$ associe l'abscisse de son point associé $M$ sur le cercle trigonométrique est la fonction \textbf{cosinus}, notée cos. Ainsi $x \longmapsto \cos(x)$ est définie sur $\R$ et à valeurs dans $[-1;1]$.\\ La fonction qui à tout réel $x$ associe l'ordonnée de son point associé $M$ sur le cercle trigonométrique est la fonction \textbf{sinus}, notée sin. Ainsi $x \longmapsto \sin(x)$ est définie sur $\R$ et à valeurs dans $[-1;1]$.\\ La fonction qui à tout réel $x$, tel que $\cos x \neq 0$, associe le nombre $\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ est la fonction \textbf{tangente}, notée tan. Ainsi $x \longmapsto \tan(x)$ est définie sur $\R\textbackslash\left\{\dfrac{\pi}2 +k\pi, ~ k\in\Z\right\}$. \end{defi} \begin{center} \psset{xunit=1.5cm , yunit=1.5cm,algebraic=true,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2,-2)(2.5,2.5) \def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3} %\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-3.2,-3.2)(3.2,3.2) \def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}} \def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}} \psclip{% \psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) } \psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4} \pscustom[linecolor=blue,linewidth=1pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{0.4*cos(t)+0|0.4*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath} \pscustom[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{\parametricplot{0.0}{1.07989761327778}{2*cos(t)+0|2*sin(t)+0}}%\lineto(0,0)\closepath} \psline(2.0000,0.0000)(-2.0000,0.0000) \psline(0.0000,2.0000)(0.0000,-2.0000) \pscircle(0.0000,0.0000){3.0000} \uput{0.3000}[0.0000](2.0000,0.0000){$I$} \uput{0.3000}[90.0000](0.0000,2.0000){$J$} \uput{0.3000}[220.0000](0.0000,0.0000){$O$} \psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=red](0.94,1.76) \rput[bl](1.1,1.9){$M$} \psdots[dotstyle=*, dotscale=1.0000](1.4000,1.4000) \psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.400,1.2000) \psline[linewidth=1pt](1.4000,1.4000)(1.600,1.400) \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0.94,0) \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](0.94,1.76)(0,1.76) \psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,0)(0.94,1.76) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(2,0) \psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,2) %\rput[bl](1,-0.5){$\vec i$} %\rput[bl](-0.4,0.9){$\vec j$} \rput[bl](0.8,-0.25){\darkgray{$\cos(x)$}} \rput[bl](-0.7,1.5){\darkgray{$\sin(x)$}} \rput[bl](0.15,0.08){\blue{$x$}} \rput[bl](1.9,1){\blue{$x$}} %\uput{0.3000}[0.0000](1.4500,1.4500){$\mathbb{+}$} \endpsclip \end{pspicture*} \end{center} \subsection{Vocabulaire et interprétation graphique} \begin{defi}[Propriété] Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D_f$ et $T$ un nombre réel. \\ Lorsque pour tout $x\in D_f$ on a $f(x+T)=f(x)$, on dit que $f$ est \textbf{périodique de période} $T$ ou encore $T-$périodiques.\\ Ainsi, les fonctions cosinus, sinus et tangente sont $2\pi-$\textbf{périodiques}. \end{defi} \Rqs{ \item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction périodique, de période $T$ sur l'intervalle $[0;T]$ est la même que sur tout intervalle du type $[kT;(k+1)T]$, où $k\in\Z$. \item Grâce à cette propriété, il suffira d'étudier les fonctions cos et sin sur un intervalle de taille $2\pi$ de notre choix, par exemple $[0;2\pi[$ ou encore $]-\pi ; \pi]$, et déduire le reste par translation.} \begin{defi}[Propriété] Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ symétrique par rapport à $0$ (ie si $x\in D_f$ alors $-x\in D_f$ aussi). \\ Lorsque pour tout $x\in D_f$ on a : \begin{itemize} \item $f(-x)=f(x)$ on dit que $f$ est une fonction \textbf{paire}. \item $f(-x)=-f(x)$ on dit que $f$ est une fonction \textbf{impaire}. \end{itemize} Ainsi la fonction \textbf{cos est paire}, tandis que les fonctions \textbf{sin} et \textbf{tan sont impaires}. \end{defi} \Rqs{ \item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.\\ Celle d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. \item Grâce à cette propriété, on peut limiter l'étude des fonctions cos et sin à un intervalle de longueur $\pi$, par exemple $[0;\pi]$, et déduire le reste par symétrie. \item On rappelle que les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\R$. } \begin{minipage}{8.5cm} \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=3]{$x$/1, $\cos x$/1.5}{$0$, $\pi$}% \tkzTabVar{+ / $1$, -/$-1$ }% \tkzTabVal[]{1}{2}{0.5}{$\dfrac{\pi}{2}$}{$0$}% \end{tikzpicture}\\ \psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=1.0cm} \psscalebox{0.7}{\begin{pspicture*}(-2.23,-1.5)(5.41,1.5) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.23,-1.5)(5.41,1.5) \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(8.5,1.5) \psplot[plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{COS(x)} \rput[br](-0.3,1){$1$} \rput[dr](3.14,-0.50){$\pi$} %\psplot[plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{SIN(x)} \end{pspicture*}} \end{center} \end{minipage} \qquad \begin{minipage}{8cm} \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, $\sin x$/1.5}{$0$,$\dfrac{\pi}2$, $\pi$}% \tkzTabVar{-/$0$, + / $1$, -/$-1$ }% \end{tikzpicture}\\ \psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=1.0cm} \psscalebox{0.7}{\begin{pspicture*}(-2.23,-1.5)(5.41,1.5) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2.23,-1.5)(5.41,1.5) \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3.5,-1.5)(8.5,1.5) %\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{COS(x)} \psplot[plotpoints=200]{-3.5}{8.5}{SIN(x)} \rput[br](-0.3,1){$1$} \rput[dr](3.14,-0.50){$\pi$} \end{pspicture*}} \end{center} \end{minipage} %\begin{tikzpicture} %\tkzTabInit[espcl=5]{$x$/1, $\tan x$/2}{$-\dfrac{\pi}2$, $\dfrac{\pi}2$}% %\tkzTabVar{D- / $-\infty$, +/$+\infty$ }% %\tkzTabVal[]{1}{2}{0.5}{$0$}{$0$}% %\end{tikzpicture} \begin{ExoF} Pour tout réel $x$ tel que $\cos(x)\neq 0$, on rappelle que l'on définit la fonction tangente par : $$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$$ \begin{enumerate} \item Donner l'ensemble de définition de la fonction tan \item Montrer que la fonction tan est $\pi-$périodique. Que peut-on en déduire graphiquement ? \item Montrer que la fonction tan est impaire. Que peut-on en déduire graphiquement ? \item Proposer alors un intervalle minimal $I$ pour étudier la fonction tan. \item Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle $I$ \item Calculer $\tan(0)$ et $\tan \dfrac{\pi}4$. % \item Calculer les limites de la fonction tan aux bornes de $I$. Interpréter graphiquement. %\item Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction tan en $0$. \item Lorsque $x$ se rapproche de $\dfrac{\pi}2$ comment évolue $\tan(x)$ ? \item On admet que la fonction tan admet pour tangente en $0$ la droite d'équation $y=x$.\\ En utilisant les données précédentes, tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction tan sur $]-2\pi;2\pi[$. \end{enumerate} \end{ExoF} \textbf{AP (Programmation, parité) : } Activité 3 p 93 (Déclic) \section{Dérivées} \begin{theo} Les fonctions cos et sin sont dérivables sur $\R$ (donc continues sur $\R$ aussi) et pour tout réel $x$ on a : $$\cos'(x)=-\sin(x) \qquad \text{ et } \qquad \sin'(x)=\cos(x)$$ \end{theo} \Dem{On ne peut pas encore démontrer ces formules. Nous y reviendrons ultérieurement. } \Rq{ On retrouve ainsi les tableaux de variations de ces fonctins, grâce au signe de leur dérivée \begin{minipage}{8.5cm} \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=3]{$x$/1, $\cos'(x)=\sin(x)$/1, $\cos x$/1.5}{$0$, $\pi$}% \tkzTabLine{0,+ ,0 } \tkzTabVar{+ / $1$, -/$-1$ }% \tkzTabVal[]{1}{2}{0.5}{$\dfrac{\pi}{2}$}{$0$}% \end{tikzpicture} \end{center} \end{minipage} \qquad \begin{minipage}{8cm} \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2]{$x$/1, $\sin'(x)=\cos(x)$/1, $\sin x$/1.5}{$0$,$\dfrac{\pi}2$, $\pi$}% \tkzTabLine{1 ,+, 0 ,-, -1 } \tkzTabVar{-/$0$, + / $1$, -/$-1$ }% \end{tikzpicture}\\ \end{center} \end{minipage} } \textbf{AP (rappel des formules sur les dérivées et équation de tangente) : } A faire ...\\ \begin{ExoF} Calculer les dérivées des fonctions suivantes : $$f:x \longmapsto x^2\cos(x) \qquad \qquad g: x \longmapsto (x^3+2x^2+1)\sin(x) $$ \end{ExoF} \begin{ExoF} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\cos(x)$.\\ %\textit{Possibilité aussi de le faire avec $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$, pour la limite demandée, cela peut-être intéréssant ... ??}\\ Pour chacune des questions suivantes, entourer la bonne réponse sur le sujet, et \textbf{justifier} sur votre copie. \begin{enumerate} \item La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f'(x)=$ \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $\sin(x)$ \item $\cos(x)$ \item $\cos(x)+x\sin(x)$ \item $\cos(x)-x\sin(x)$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $[-2\pi; 2\pi]$ est : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $2$ \item $3$ \item $4$ \item $5$ \end{enumerate} \end{multicols} \item $f'\left(-\dfrac{5\pi}6\right)=$ \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $\dfrac{5\pi}{12}$ \item $\dfrac{5\sqrt{2}\pi}{12}$ \item $\dfrac{5\sqrt{3}}{12}$ \item Autre valeur \end{enumerate} \end{multicols} \item Si $x$ est aussi grand que l'on veut, alors $\left(f(x)\right)^2$ \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item est très proche de $0$ \item est lui-même très grand \item on ne peut pas dire \item Autre réponse \end{enumerate} \end{multicols} \item Si $x$ est aussi grand que l'on veut dans les négatifs, alors $f\left(\dfrac1x\right)$ \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item est très proche de $0$ \item est lui-même très grand (positif) \item on ne peut pas dire \item Autre réponse \end{enumerate} \end{multicols} \item Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport à : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item l'origine \item l'axe des ordonnées \item l'axe des abscisses \item la droite d'équation $y=x$ \end{enumerate} \end{multicols} \item La fonction $f$ est : \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item paire \item impaire \item $2\pi$- périodique \item Autre réponse \end{enumerate} \end{multicols} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère la fonction $f:x\longmapsto \dfrac{\sin x}{2+\cos x}$. \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $\R$. \item Montrer que pour tout réel $x\in\R$ on a $f'(x)=\dfrac{1+2\cos x}{(2+\cos x)^2}$ \item \begin{enumerate} \item Soit $x\in \R$. Calculer $f(x+2\pi)$ et $f(-x)$. Que peut-on en conclure ? \item En déduire qu'il suffit d'étudier $f$ sur l'intervalle $[0;\pi]$. \end{enumerate} \item A l'aide du cercle trigonométrique, étudier le signe de $1+2\cos x$ sur $[0; \pi]$. \item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;\pi]$. \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ sur $[0;\pi]$ puis sur $[-\pi ; 0]$ et enfin sur $[-3\pi;3\pi]$. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} \\% Métropole juin 2016 \parbox{0.4\linewidth}{Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-contre) situé à l'extérieur du segment [AB]. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.}\hfill\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(11.6,8) \psframe(0.5,0)(10.8,7.3)\psline(5.65,0)(5.65,7.3) \psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(5.65,0.75)%EM \uput[l](0.5,0.75){E}\uput[r](5.65,0.75){M} \uput[l](0.5,3.3){A}\uput[l](0.5,3.9){B}\uput[ur](2.8,0.75){T} \psline[linestyle=dashed](0.5,3.3)(2.8,0.75)(0.5,3.9) \rput{90}(6,3.65){Ligne médiane}\rput{90}(11.2,3.65){Limite du terrain} \uput[u](5.65,7.3){Terrain vu de dessus} \psline(0.35,3.9)(0.65,3.9)\psline(0.35,3.3)(0.65,3.3) \psline(10.65,3.9)(10.95,3.9)\psline(10.65,3.3)(10.95,3.3) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.5)(2.8,0.5)\uput[d](1.65,0.6){$x$} \end{pspicture} } \medskip Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ le plus grand possible. \smallskip Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note $x$ la longueur ET, qu'on cherche à déterminer. \medskip Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m . On note $\alpha$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETA}}$, $\beta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETB}}$ et $\gamma$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer $\tan \alpha$ et $\tan \beta$ en fonction de $x$. La fonction tangente est définie sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction tan est dérivable sur $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et que pour tout $x\in \left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ on a : $$\tan'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)$$ \item En déduire les variations de la fonction tan sur l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$. \end{enumerate} \item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ admet une mesure $\gamma$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure. On admet que, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, $\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \times \tan b}$. Montrer que $\tan \gamma = \dfrac{5,6x}{x^2 + 765}$. \item L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum lorsque sa mesure $\gamma$ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0~;~50] de la fonction $f$ définie par : $f(x)= x+ \dfrac{765}{x}$. Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et déterminer cette valeur de $x$ au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ à $0,01$ radian près. \end{enumerate} \end{ExoF} \end{document} Rajouter au chapitre de dérivée les activités/exos suivants : démonstration des nombres dérivées de sin et cos en 0, puis des fonctions dérivées Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur leur ensemble de définition : $$ h:x \longmapsto \sqrt{x}\sin(3x+2) \qquad \qquad k:x\longmapsto \sqrt{3x+1}\cos(4x-7)$$ \begin{ExoF} Préciser l'ensemble de dérivabilité de la fonction $f$ et calculer l'expression de sa fonction dérivée. $$f:x\longmapsto \left(\sin(x)+\dfrac34x-1\right)^4\qquad\qquad f:x\longmapsto \dfrac{1}{(1+2x)^2} \qquad \qquad f:x\longmapsto \sqrt{\dfrac{x}{2}-1} \qquad \qquad f:x\longmapsto \cos\left(2\pi x + \dfrac{\pi}{4}\right)$$ \end{ExoF} \begin{ExoF} Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\cos(ax+b)$ avec $a\in\R$ et $b\in\left[0;\dfrac{\pi}2\right]$\\ La courbe représentative de $f$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0;1)$.\\ La tangente à cette courbe en $A$ a pour équation $y=-x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\ Calculer $a$ et $b$. \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}3\right)$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est périodique de période $\pi$. \item $f$ est-elle paire ? impaire ? \item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0;\pi]$ \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère la fonction $f$ définie sur $[0; + \infty[$ par $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{x}}$ si $x>0$ et $f(0)=0$ \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est-elle continue en $0$ ? Justifier. \item la fonction $f$ est-elle dérivable en $0$ ? Justifier. \item Déterminer $\Lim{+\infty}f(x)$.\\ En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe représentative de $f$. Vérifier graphiquement. \end{enumerate} \end{ExoF}