\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Activit\'es}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Vous saviez d\'ej\`a que les math\'ematiques \linebreak[4] \'etaient complexes !}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2013-2014}

\newcommand{\serie}{Scientifiq1ue}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

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%\renewcommand{\arraystretch}{1.2}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\pagestyle{empty}

\begin{act}\\
%\textbf{Partie A :} Activité 3 p 225 (recherche historique sur internet)\\
%\textbf{Partie B :} 
\partieBac{Sur la trace des mathématiciens} 
Au début du XVI$^{\text{ème}}$ siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule 
donnant une solution aux équations du $3^{\text{ème}}$ degré de la forme $x^3+px+q=0$, où $p$ et $q$ 
désignent des nombres réels 
\footnote{De plus, on peut démontrer que toute équation de degré 3, 
ie de la forme $ax^3+bx^2+cx+d=0$, est équivalente à une équation de ce type. }:
%Ainsi, dès le XVI$^e$ siècle, on sait trouver une solution réelle à beaucoup d'équation de degré 3,  
%donc toutes les solutions (vous comprendrez bientôt pourquoi).
%} :
$$ x=\sqrt[3]{\dfrac{-q-\sqrt{\Delta}}{2} }+\sqrt[3]{\dfrac{-q+\sqrt{\Delta}}{2} } \qquad \text{ où } \quad  \Delta= q^2+4\left(\dfrac{p}{3}\right)^3 $$
%Vous avez déjà rencontré et appliqué ces formules dans un devoir maison, pour résoudre l'équation
%$$(E)\,  : \, x+x^2+x^3=1$$
%On avait effectué le changement de variable $X=x+\dfrac13$ et on avait 
%montré que $(E) \iff X^3+\dfrac23X=\dfrac{34}{27}$. \\
%La solution ressemblait à ceci :
%$X=\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} \right)$\\
%Et donc $x = X - \dfrac13 = 
%\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} -1 \right)$. \\
Pour information :
\begin{itemize}
 \item $\Delta$ est appelé le \textbf{discrimant} du polynôme $P(x)=x^3+px+q$
 \item Pour tout nombre $a$, le symbole $\sqrt[3]{a}$ désigne l'unique nombre $b$ tel que $b^3=a$.\\
\end{itemize} 
Bref, easy  ... Et cette formule est bien évidemment à apprendre par coeur ! \footnote{Non, je plaisante !}
\begin{enumerate}
 %\item Utilisez cette formule pour trouver une solution de l'équation $x^3-36=91$
 %\item \begin{enumerate}
 \item Prenez-vous un instant pour Bombelli, mathématicien de la fin du XVI$^e$ siècle, et 
 appliquez cette formule à l'équation $x^3-15x-4=0$. 
 \item Quel problème survient ?
 \item A l'époque, Bombelli eu l'audace de supposer, juste pour voir ce que cela donnait, 
 que les règles de calcul usuel se prolongeaient aux racines carrés de nombres négatifs.\\
 Ne soyez pas si téméraires, car il est hors de question d'écrire encore des horreurs du type $\sqrt{-1}$ !
 \footnote{Pour tout nombre positif $a$, le symbole $\sqrt{a}$ désigne l'unique nombre positif $b$ 
 tel que $b^2=a$. Ainsi, le symbole $\sqrt{-1}$ n'a pas de sens.}\\
 Heureusement pour nous, Euler (XVIII$^e$) est passé depuis Bombelli, et il a décrété qu'il noterait
 $i$ un nombre imaginaire tel que $i^2=-1$.\\
 Prenez-vous désormais pour Bombelli avec la notation d'Euler, et :
 \begin{enumerate}
  \item Simplifier au maximum l'expression de la solution cherchée, en utilisant le nombre imaginaire $i$
  \item Développer et simplifier $ \left(2+i\right)^3$ et $ \left(2-i\right)^3$
 \item Quelle serait alors une solution réelle de l'équation ? Le vérifier. 
 \end{enumerate}
 \item Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $x^3-15x-4=(x-4)(ax^2+bx+c)$
 \item Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $x^3-15x-4=0$.
%\end{enumerate}
\end{enumerate}
 Une question naturelle s'est alors posée : peut-on légitimement calculer 
avec des symboles imaginaires comme ci-dessus ? C'est ainsi qu'est née la théorie des nombres
complexes, qui a mis bien longtemps à s'imposer et a déchaîné bien des passions $\dots$\\\\
\partieBac{A vous de jouer !}
\begin{enumerate}
 \item Essayez de compter un peu avec ces nombres, en simplifiant au maximum les expressions suivantes :
$$A=(3+4i)^2 \qquad B=(3-4i)^2 \qquad C=(3+4i)(3-4i) \qquad D=(3+4i)(i-1) $$
$$E=(5-3i)(7-2i) \qquad  F=(i-2)(2+i) \qquad G=(5+7i)(3-i)(2-3i) \qquad H=\dfrac{6-4i}{2+3i}$$
 \item Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
\end{act}



\newpage

\Cadre[Résumé historique]{
Dès le XVI$^e$ siècle, plusieurs mathématiciens commencent à manipuler 
les nombres complexes, sans bien comprendre
ce qu'ils sont et sans savoir comment les représenter. Leur existence est alors très controversée.\\

En 1637, \textbf{Descartes} propose l'appellation de \og nombres imaginaires \fg, 
mais c’est \textbf{Gauss} en 1831 qui le premier les nomme les \og nombres complexes \fg. \\
%On appellera alors cet ensemble $\C$ : ensemble des nombres complexes. \\
Le principal nombre complexe %élément de $\C$ 
est un nombre imaginaire dont le carré vaut $-1$.\\
Jusqu'au XVIII$^e$ siècle (pendant plus de 200 ans !), on notera avec réticence ce nombre 
$\sqrt{-1}$. Mais en 1777, 
\textbf{Euler}, déclarant que la notation $\sqrt{-1}$ est absurde car elle conduit à une contradiction de 
la définition, introduit la notation $i$ (comme imaginaire) pour le nombre  qui vérifie 
$i^2 =-1$. \\

L’ensemble des nombres complexes  $\C$ apparaît alors : ce sont les nombres de la forme 
$a+ib$, avec $a$ et $b$ réels. Les règles de calculs dans  $\R$ sont conservées. \\

L'équation $x^2=-1$ possède deux solutions dans $\C$ car :
$$ x^2=-1\Longleftrightarrow x^2-(-1) = 0 \iff x^2-i^2=0 \iff (x+i)(x-i)=0\Longleftrightarrow x=i\text{ ou }x=-i$$
On sait qu'il n'existe pas d'autres solutions dans un ensemble encore plus grand, notamment
grâce à l'écriture factorisée (même si la démonstration est bien plus ardue que cela).\\
En fait c'est le cas de toutes les équations polynomiales à coefficients dans $\C$ : elles 
admettent toutes
leurs solutions dans $\C$ (en fait, autant que le degré de l'équation). 
On dit que $\C$ est \textbf{algébriquement clos}.\\
Ainsi, je vous rassure, on ne construira pas d'ensemble de nombres plus grand que $\C$. \\

Ce n'est cependant qu'au XIX$^e$ siècle que 
les nombres imaginaires prennent leur statut officiel de nombres, grâce au suisse \textbf{Argand}
qui proposa une représentation géométrique de ces nombres. \\

Ces nombres ont notamment servi pour formaliser la théorie de la relativité d’Einstein (1905). 
A votre niveau, ils sont utiles pour la résolution d'équations et en géométrie dans un second chapitre.
}

\vspace{4cm}

\begin{act}
 L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de l'équation $X^2=a$,
avec $a\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler les solutions de l'équation $X^2=a$ dans le cas où $a \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=-3$.
 \begin{enumerate}
 \item Vérifier que $i\sqrt{3}$ est solution dans $\C$ de cette équation.
 \item En déduire toutes les solutions dans $\C$ de cette équation.
\end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $X^2=a$ dans le cas $a<0$.
%On suppose que $a<0$. On cherche à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=a$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que  $a=\left(i \sqrt{-a}\right)^2$. 
 \item En déduire que l'équation considérée possède deux solutions complexes que 
 l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}



 \newpage
 
\begin{act}
L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de 
l'équation $ax^2+bx+c=0$, avec $a$, $b$ et $c$ réels tels que $a\neq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler le discriminant $\Delta$ de cette équation, ainsi que 
 les solutions de l'équation $ax^2+b+c=0$ dans le cas où $\Delta \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $2x^2-3x+4=0$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation. Quel problème survient ?
  \item Ecrire $\Delta$ sous la forme d'un carré de nombre complexe.
  \item Vérifier que le nombre $x_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ est solution
  de l'équation considérée.
  \item Quelle est alors l'autre solution de l'équation ?
 \end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans le cas le discriminant 
$\Delta$ est strictement négatif.\\
On rappelle que l'équation $ax^2+bx+c=0$ $(a\neq 0)$ peut s'écrire de manière équivalente 
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $ \Delta=\left(i \sqrt{-\Delta}\right)^2 $. 
\item En remplaçant $\Delta$ par cette nouvelle écriture, 
résoudre alors l'équation considérée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\vspace{4cm}
\setcounter{Acti}{2}
\begin{act}
L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de 
l'équation $ax^2+bx+c=0$, avec $a$, $b$ et $c$ réels tels que $a\neq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler le discriminant $\Delta$ de cette équation, ainsi que 
 les solutions de l'équation $ax^2+b+c=0$ dans le cas où $\Delta \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $2x^2-3x+4=0$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation. Quel problème survient ?
  \item Ecrire $\Delta$ sous la forme d'un carré de nombre complexe.
  \item Vérifier que le nombre $x_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ est solution
  de l'équation considérée.
  \item Quelle est alors l'autre solution de l'équation ?
 \end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans le cas le discriminant 
$\Delta$ est strictement négatif.\\
On rappelle que l'équation $ax^2+bx+c=0$ $(a\neq 0)$ peut s'écrire de manière équivalente 
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $ \Delta=\left(i \sqrt{-\Delta}\right)^2 $. 
\item En remplaçant $\Delta$ par cette nouvelle écriture, 
résoudre alors l'équation considérée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}


\end{document}