\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Activit\'es et AP}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{R\'ecurrence}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 2}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG3}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

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\renewcommand{\arraystretch}{1}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\pagestyle{empty}

Il existe en Syldavie une terrible maladie qui frappe depuis des siècles les petits syldaves et 
les fait naître avec un unique mais énorme cheveu sur la tête.\\
C'est Vaclav \textsc{Grtschtsz} qui, le premier, contracta cette maladie en 1643 
après être rentré en contact avec des vénusiens : ce fait peu connu marque la cause de 
l'apparition de la maladie en Syldavie. Depuis, tous ses descendants ont souffert de ce 
terrible mal et aucun médicament terrestre ne semble en mesure de stopper cette calamité.\\
Après de longues années de recherches, les scientifiques syldaves viennent de mettre en évidence 
que cette maladie était bien génétique et que l'allèle associé à cette maladie était dominant. 
\\

%Norbert, un descendant de Vaclav \textsc{Grtschtsz}, souffre de cette maladie. 
Résumons les faits :

\begin{itemize}
\item  Notons $n$ la $n^{\text{ème}}$ génération aprés Vaclav et $\mathscr P(n)$ la 
proposition~:~<<~la $n^{\text{ème}}$ génération est infectée par la maladie~>>
\item Un premier syldavien est infecté en 1643, donc $\mathscr P(0)$ est vraie ;
\item Si un des parents de la $k^{\text{ème}}$ génération est 
atteint, alors ses enfants de la $(k+1)^{\text{ème}}$ génération seront également 
infectés, puisque la maladie est portée par un allèle dominant.
Ceci se traduit par \[ \mathscr P(k)\ \text{vraie}{\red\Longrightarrow} \mathscr P(k+1)\ \text{vraie}\]
\item Nous en déduisons immédiatement que, quelque soit la génération $n$ des descendants 
de Vaclav, ceux-ci seront infectés, c'est à dire que $\mathscr P(n)$ est vraie $\forall n\in\N$. 
\end{itemize}
Nous venons de faire un \textbf{raisonnement par récurrence}.\\
Remarquons que l'on ne sait rien sur la contamination de syldaves ne descendant pas de Vaclav, puisque l'on n'a 
aucune information sur un éventuel mode de contagion de la maladie. D'où l'importance pour un syldave
quelconque de regarder l'initialisation !


Le raisonnement par récurrence permet de démontrer des propositions mathématiques 
vraies pour tout entier naturel $n$ (ou une partie d'entre eux). 
Les étapes de la démonstration seront les mêmes, et en mathématiques
aussi, l'hérédité sera la partie la plus difficile à montrer (mais vous ne pourrez pas vous 
permettre d'y passer des années !!)

Voyons ce que cela donne sur un exemple un peu plus mathématique.

\vspace{3cm}

\noindent \begin{minipage}{13cm}
Voici un  test de fin d'étude  maternelle en Syldavie :  prenez un cube,
placez en-dessous  deux autres cubes, et encore en-dessous trois cubes,
etc. \\
Combien y a-t-il de cubes bleus  au total sur le dessin ci-dessus ? \\
On peut encore les compter à la main, mais que faire si je vous demande le nombre de cubes 
lorsqu'on a placé 100 rangées ? $n$ rangées ?\\

\textit{Le dessin nous donne une idée...} \\
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{cube}
\end{center} 
\end{minipage}

\newpage



\begin{ExoC}
 Prenons un cube, rajoutons trois autres cubes
pour former un carré, puis cinq autres cubes pour former un plus
grand carré, puis sept autres cubes pour former un carré encore
plus grand...
\\
Nous voulons maintenant connaître le nombre de cubes présents à la $n^{\text{ème}}$ étape.


\begin{enumerate}
\item Proposez une formule générale inspirée du résultat de notre petite activité de \textit{maternelle}. \\\\
\item Démontrez par récurrence votre proposition, en complétant la trame ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{itemize}
 \item \textcolor{blue}{\textbf{Proposition :} On veut montrer que notre proposition $\mathscr P(n)~:~ ...$  \\
est vraie pour tout $n \geq ... $}\\
 \item {\blue\textbf{Initialisation :}  Pour $n=...$\\
 \begin{tabular}{L{7cm}|L{7cm}}
  \quad& \tabularnewline
  \quad& \tabularnewline
  \quad& \tabularnewline
  \quad \tabularnewline
 \end{tabular}\\
 
Donc notre proposition est vraie au rang ...$\qquad$\\
\item \textbf{Hérédité :} Soit $k$ un entier supérieur ou égal à ... \hfill  
Montrons que $\mathscr P(k)$ vraie  $\Longrightarrow \mathscr P(k+1)$ vraie.\\\\
Il s'agit donc de montrer que ... \\\\
sachant ...}\\

$\begin{array}{llcr}
\text{Or }& 1+3+5+ \dots + \quad  ...\quad  + \quad ... \quad  & = & ...\\\\
&& = & \\
\end{array}$\\

\vspace{3cm}

{\blue Ainsi, notre proposition est vraie au rang ... \hspace{2cm}
Donc, notre proposition est ... \\
 \item \textbf{Conclusion :}
Notre proposition est ...\hspace{5cm} et ...\\\\
Elle est donc vraie pour tout $n \geq ...$}
\end{itemize}
\end{ExoC}







\end{document}