\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Activit\'es et AP}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Trigo}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG3}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages

\input macro_final.tex

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\renewcommand{\arraystretch}{1}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 
\pagestyle{empty}

\section{Rappels}
\subsection{Angles remarquables}

\begin{minipage}{9cm}
 Dans le plan muni d'un repère $(O~;~ I~;~ J)$, on a tracé le cercle trigonométrique $\mathscr C$
(de centre $O$ et de rayon 1, muni du sens direct).
\begin{enumerate}
 \item Construire au compas sur le <<premier>> cercle $\mathscr C$  les points :
 \begin{itemize}
  \item $A$ tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{\pi}3$
   \item $B$ tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OB}\right)=-\dfrac{\pi}3$
    \item $C$ tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OC}\right)=\pi-\dfrac{\pi}3 = ...$
     \item $D$ tel que $\left(\overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OD}\right)=\pi+\dfrac{\pi}3 = ...$
 \end{itemize}
 \item Même question sur le <<deuxième>> cercle $\mathscr C$ en prenant 
 $\dfrac{\pi}4$ comme angle de référence, puis $\dfrac{\pi}6$ sur le <<troisième>> cercle $\mathscr C$.
 \item Sur chacun des cercles, déterminer les valeurs des abscisses et des 
 ordonnées de chacun des points.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{center}
  \psset{unit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=2,Dy=2]{-}(0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\pscircle(0,0){1}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1,0){I}
\uput[ul](0,1){J}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \begin{minipage}{9cm}
 \begin{center}
  \psset{unit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=2,Dy=2]{-}(0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\pscircle(0,0){1}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1,0){I}
\uput[ul](0,1){J}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\qquad\begin{minipage}{9cm}
 \begin{center}
  \psset{unit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=2,Dy=2]{-}(0,0)(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\pscircle(0,0){1}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1,0){I}
\uput[ul](0,1){J}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Applications (Constructions à la règle et au compas, angles remarquables) :}\\

Dans un repère orthonormé \Oij, placer à la règle et au compas les points suivants :
$$A\left(1;\dfrac{\sqrt{3}}2\right) \qquad B(2;-\sqrt{3}) \qquad C\left(\dfrac{\sqrt{3}}4; -1\right) \qquad D\left(3-\dfrac{\sqrt{2}}2;\dfrac12\right)$$

\newpage

Dans un repère orthonormé $(O; \vec i ; \vec j)$, on considère
deux vecteurs $\vec u $ et $\vec v$ unitaires, tels que : $(\vec i ; \vec u ) = a \quad \textrm{ et } \quad (\vec i ; \vec v ) = b $
\begin{enumerate}
 \item Démontrons tout d'abord $(\star)$.
 \begin{enumerate}
 \item Faire le schéma d'un cercle trigonométrique, muni d'un repère $(O; \vec i ; \vec j)$, 
 et dessiner deux représentants des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ayant pour origine $O$, avec $a>b$.
 \item Déterminer $(\vec u ; \vec v) $ en fonction de $a$ et $b$.
 \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos(a-b)$.
 \item Préciser les coordonnées de $\vec u $ et $\vec v$ en fonction de $a$ et $b$.
 \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b $.
 \item Conclure.
\end{enumerate}
  \item Grâce à la configuration du rectangle dans le cercle trigonométrique, retrouver les trois 
 formules suivantes de la propriété ci-dessus.
 \item Utiliser désormais $(\star)$ pour retrouver les formules de duplication.
\end{enumerate}

\vspace{1.7cm}

Dans un repère orthonormé $(O; \vec i ; \vec j)$, on considère
deux vecteurs $\vec u $ et $\vec v$ unitaires, tels que : $(\vec i ; \vec u ) = a \quad \textrm{ et } \quad (\vec i ; \vec v ) = b $
\begin{enumerate}
 \item Démontrons tout d'abord $(\star)$.
 \begin{enumerate}
 \item Faire le schéma d'un cercle trigonométrique, muni d'un repère $(O; \vec i ; \vec j)$, 
 et dessiner deux représentants des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ayant pour origine $O$, avec $a>b$.
 \item Déterminer $(\vec u ; \vec v) $ en fonction de $a$ et $b$.
 \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos(a-b)$.
 \item Préciser les coordonnées de $\vec u $ et $\vec v$ en fonction de $a$ et $b$.
 \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b $.
 \item Conclure.
\end{enumerate}
  \item Grâce à la configuration du rectangle dans le cercle trigonométrique, retrouver les trois 
 formules suivantes de la propriété ci-dessus.
 \item Utiliser désormais $(\star)$ pour retrouver les formules de duplication.
\end{enumerate}


\vspace{1.7cm}

Dans un repère orthonormé $(O; \vec i ; \vec j)$, on considère
deux vecteurs $\vec u $ et $\vec v$ unitaires, tels que : $(\vec i ; \vec u ) = a \quad \textrm{ et } \quad (\vec i ; \vec v ) = b $
\begin{enumerate}
 \item Démontrons tout d'abord $(\star)$.
 \begin{enumerate}
 \item Faire le schéma d'un cercle trigonométrique, muni d'un repère $(O; \vec i ; \vec j)$, 
 et dessiner deux représentants des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ayant pour origine $O$, avec $a>b$.
 \item Déterminer $(\vec u ; \vec v) $ en fonction de $a$ et $b$.
 \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos(a-b)$.
 \item Préciser les coordonnées de $\vec u $ et $\vec v$ en fonction de $a$ et $b$.
 \item En déduire que $\vec u . \vec v = \cos a \cos b + \sin a \sin b $.
 \item Conclure.
\end{enumerate}
  \item Grâce à la configuration du rectangle dans le cercle trigonométrique, retrouver les trois 
 formules suivantes de la propriété ci-dessus.
 \item Utiliser désormais $(\star)$ pour retrouver les formules de duplication.
\end{enumerate}

\newpage


 \begin{act}
\textit{On utilise le logiciel Géogébra. La figure peut être vidéo-projetée}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Figure de base}
\begin{enumerate}
       \item Ouvrir Géogébra et faire afficher le repère orthonormé $(O;I;J)$. 
 \item Choisir le radian comme unité d'angle dans ``Options'', ``Configuration'', ``Avancé''
 \item Tracer le cercle trigonométrique de centre $O$.
  \item Créer un curseur $t$, variant entre $-13$ et $13$ et d'incrémentation $0.05$.
 \item Dans la ligne de commande, saisir l'instruction suivante : $M=(1;t)$\\
A votre avis, que signifie cette commande ? \textit{Vous pouvez déplacer le curseur pour vous aider}
 \item Dans la ligne de commande, saisir l'instruction $A=(x(M),0)$\\
A votre avis, que signifie cette commande ? \textit{Vous pouvez déplacer le curseur pour vous aider}
 \item Créer le point $B(0,y_M)$
      \end{enumerate}
 \item \textbf{Variations} \begin{enumerate}
        \item Quelle est l'abscisse du point $M$ dans le repère $(O;I;J)$ ? Son ordonnée ?
 \item Avec le curseur, déplacer le point $M$. \\
 Décrire son trajet, ainsi que ceux de $A$ et de $B$ correspondants.
 \item En déduire graphiquement les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus pour $t\in [-13 ; 13]$.\\
  \textit{On précisera de plus les valeurs où ces fonctions s'annulent.}
        \end{enumerate}
 \item \textbf{Courbes représentatives}
 \begin{enumerate}
  \item Compléter la figure précédente en créant le point $C(t,x_M)$.
  \item Faire afficher sa trace. Quelle courbe représentative voit-on se dessiner ?
  \item Faire de même pour le point $S(t,y_M)$. Quelle courbe représentative voit-on se dessiner ?
  \item Vérifier la cohérence entre les courbes obtenues et vos tableaux.
 \end{enumerate}
\item \textbf{Propriétés}
\begin{enumerate}
 \item Quelles propriétés constatez-vous pour les deux courbes ? Pouvez-vous la justifier ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction cosinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
 Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction sinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?\\
\end{enumerate}
 \end{enumerate}  
 \end{act}


 


\end{document}