\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 6}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les Suites}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG3}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{7}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins deux exercices parmi les quatre suivants.}
~
\bigskip


\begin{ExoF} Amérique du Sud 2014

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par : 

\[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad  u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\]


\textbf{Partie A : Conjecture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$. 
\item Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. 
\item Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B: Validation des conjectures}

\medskip 

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 

$$v_n = u_n - 3$$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$. 
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \leqslant  v_n \leqslant 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n  + 1\right)$. 
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ? 
\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. 

On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1~;~0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. 

Déterminer la valeur de $\ell$. 
\item Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ? 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Trouver une suite :%\hfill $\spadesuit\spadesuit $
\begin{enumerate}
\item non majorée mais qui ne tende pas vers $+\infty$.
\item croissante mais dont la limite n'est pas $+\infty$.
\item divergente vers $+\infty$ mais qui n'est pas croissante.
\item à termes strictement positifs et strictement décroissante mais qui ne converge pas vers $0$.
\end{enumerate}
\textit{Des illustrations graphiques de suites peuvent vous aider.
D'ailleurs, à défaut de trouver les expressions algébriques 
des suites demandées, vous pouvez joindre vos illustrations.} 
\end{ExoF}

\end{document}



\begin{ExoF} Antilles 2014

 Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\N$ par 

\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_{0}& =& 2\\ 
\text{et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} &=& \dfrac{1}{5} u_{n} + 3 \times 0,5^n.
\end{array}\right.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 
$u_{n}$&2&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
		\item D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a 
		
		\[u_{n} \geqslant  \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.\] 
 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n} \leqslant  0$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item \emph{On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite } \:$\left(u_{n}\right)$.
 
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par $$v_{n} = u_{n} - 10 \times  0,5^n$$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le  
premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
		\item En déduire, que pour tout entier naturel $n$,
 
\[u_{n} = - 8 \times  \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times  0,5^n.\]
 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \leqslant  0,01$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} \hline
\textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
\textbf{Initialisation :}& $n$ prend la valeur 0\\
& $u$ prend la valeur 2\\  
\textbf{Traitement :}&Tant que \ldots\hfill (1)\\  
	&\hspace{0,5cm} $n$ prend la valeur \ldots 	\hfill(2)\\ 
	&\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur \ldots 	\hfill(3)\\ 
&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}&Afficher $n$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{ExoF}