\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 4}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{Les Suites}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{TG3}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}

\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{4}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

%\textbf{Vous traiterez au choix au moins deux exercices parmi les quatre suivants.}
~
\bigskip

\begin{ExoF} Métropole septembre 2016\\
 On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \geqslant 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence:
$z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}$
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$,  $z_4$,  $z_5$ et $z_6$
		\item Dans cette question, on suppose que $z_0 = \text{i}$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$,  $z_4$,  $z_5$ et $z_6$.
\item Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$ ?

Prouver cette conjecture.
	\end{enumerate}
\item Déterminer $z_{\np{2016}}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \text{i}$.
\item Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} Polynésie 2014

 On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par 

\[u_{0} = 0\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item On considère les deux algorithmes suivants : 

\medskip

\hspace*{-1cm}
{\footnotesize
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l X|l X|}\hline
\textbf{Algorithme 1}&	&\textbf{Algorithme 2}&\\ \hline
\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel&\textbf{Variables :}& 	$n$ est un entier naturel\\  
&$u$ est un réel &	&$u$ est un réel \\
\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$&\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$\\
\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur 0&\textbf{Traitement :}& 	$u$ prend la valeur $0$\\
 &Pour $i$ allant de $1$ à $n$: && Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :\\
&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$&&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$\\
& Fin Pour&	&Fin Pour\\
\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$&\textbf{Sortie :}& 	Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}}
 
\medskip
 
De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ? 
\item À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée. 

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline
n &u_{n}\\ \hline 
0& 0  \\ \hline 
1& 2  \\ \hline  
2& 6  \\ \hline  
3& 12  \\ \hline  
4& 20 \\ \hline  
5& 30  \\ \hline  
6& 42  \\ \hline  
7& 56  \\ \hline  
8& 72  \\ \hline  
9& 90  \\ \hline  
10& 110\\ \hline  
11& 132\\ \hline  
12& 156\\ \hline
\end{array}$} \hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0375cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,170)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(13,170)
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)}
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(1,2)(2,6)(3,12)(4,20)(5,30)  (6,42)  (7,56)  (8,72)  (9,90)  (10,110)(11,132)(12,156)
\end{pspicture}}

\medskip 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
		 
Démontrer cette conjecture. 
		\item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$.
		 
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies. 
	\end{enumerate}
\item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
		\item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. 

Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2)$. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\end{document}

\begin{ExoF} Antilles 2014

 Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\N$ par 

\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_{0}& =& 2\\ 
\text{et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} &=& \dfrac{1}{5} u_{n} + 3 \times 0,5^n.
\end{array}\right.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 
$u_{n}$&2&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
		\item D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a 
		
		\[u_{n} \geqslant  \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.\] 
 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n} \leqslant  0$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item \emph{On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite } \:$\left(u_{n}\right)$.
 
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} - 10 \times  0,5^n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le  
premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
		\item En déduire, que pour tout entier naturel $n$,
 
\[u_{n} = - 8 \times  \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times  0,5^n.\]
 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \leqslant  0,01$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} \hline
\textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
\textbf{Initialisation :}& $n$ prend la valeur 0\\
& $u$ prend la valeur 2\\  
\textbf{Traitement :}&Tant que \ldots\hfill (1)\\  
	&\hspace{0,5cm} $n$ prend la valeur \ldots 	\hfill(2)\\ 
	&\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur \ldots 	\hfill(3)\\ 
&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}&Afficher $n$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{ExoF}




\begin{ExoF} Amérique du Sud 2014

On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par : 

\[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad  u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\]


\textbf{Partie A : Conjecture}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$. 
\item Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. 
\item Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B: Validation des conjectures}

\medskip 

On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : 

$v_n = u_n - 3$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$. 
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \leqslant  v_n \leqslant 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n  + 1\right)$. 
		\item En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ? 
\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. 

On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1~;~0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. 

Déterminer la valeur de $\ell$. 
\item Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ? 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} Polynésie juin 2016
 
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par 

\[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\]

On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par
\[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5.\]

\begin{enumerate}
\item Voici un extrait de feuille de tableur :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	&C\\ \hline
1	&$n$&$u$&$v$\\ \hline
2	&0	&2	&7\\ \hline
3	&1	&4	&14\\ \hline
4	&2	&9	&28\\ \hline
5	&3	&24	&56\\ \hline
6	&4	&63	&\\ \hline
7	&	&	&\\ \hline
%8	&	&	&\\ \hline
%9	&	&	&\\ \hline
%10	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour
afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?
\item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.
\end{enumerate}

\end{ExoF}


  
  

 






 
