\documentclass[a4paper,12pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Devoir Maison 4} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Les Suites} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{Chapitre 4} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{TG3} \newcommand{\Annee}{2016-2017} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{4} \newcommand{\tps}{2h} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_final.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \DocCha %\textbf{Vous traiterez au choix au moins deux exercices parmi les quatre suivants.} ~ \bigskip \begin{ExoF} Métropole septembre 2016\\ On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier $n \geqslant 0$ par la donnée de $z_0$, où $z_0$ est différent de 0 et de 1, et la relation de récurrence: $z_{n+1} = 1- \dfrac{1}{z_n}$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $z_0 = 2$. Déterminer les nombres $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$ \item Dans cette question, on suppose que $z_0 = \text{i}$. Déterminer la forme algébrique des nombres complexes $z_1$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, $z_5$ et $z_6$. \item Dans cette question on revient au cas général où $z_0$ est un complexe donné. Que peut-on conjecturer pour les valeurs prises par $z_{3n}$ selon les valeurs de l'entier naturel $n$ ? Prouver cette conjecture. \end{enumerate} \item Déterminer $z_{\np{2016}}$ dans le cas où $z_0 = 1 + \text{i}$. \item Existe-t-il des valeurs de $z_0$ tel que $z_0 = z_1$ ? Que peut-on dire de la suite $\left(z_n\right)$ dans ce cas ? \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Polynésie 2014 On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par \[u_{0} = 0\quad \text{et, pour tout entier naturel }\:n, u_{n+1} = u_{n} + 2n +2.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. \item On considère les deux algorithmes suivants : \medskip \hspace*{-1cm} {\footnotesize \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l X|l X|}\hline \textbf{Algorithme 1}& &\textbf{Algorithme 2}&\\ \hline \textbf{Variables :}& $n$ est un entier naturel&\textbf{Variables :}& $n$ est un entier naturel\\ &$u$ est un réel & &$u$ est un réel \\ \textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$&\textbf{Entrée :}&Saisir la valeur de $n$\\ \textbf{Traitement :}& $u$ prend la valeur 0&\textbf{Traitement :}& $u$ prend la valeur $0$\\ &Pour $i$ allant de $1$ à $n$: && Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :\\ &\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$&&\hspace{0,2cm} $u$ prend la valeur $u + 2i + 2$\\ & Fin Pour& &Fin Pour\\ \textbf{Sortie :}& Afficher $u$&\textbf{Sortie :}& Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx}} \medskip De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_{n}$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ? \item À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée. \medskip \parbox{0.3\linewidth}{$\begin{array}{|c|c|}\hline n &u_{n}\\ \hline 0& 0 \\ \hline 1& 2 \\ \hline 2& 6 \\ \hline 3& 12 \\ \hline 4& 20 \\ \hline 5& 30 \\ \hline 6& 42 \\ \hline 7& 56 \\ \hline 8& 72 \\ \hline 9& 90 \\ \hline 10& 110\\ \hline 11& 132\\ \hline 12& 156\\ \hline \end{array}$} \hfill \parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0375cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(13,170) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(13,170) \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,170)} \multido{\n=0+20}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,0)(1,2)(2,6)(3,12)(4,20)(5,30) (6,42) (7,56) (8,72) (9,90) (10,110)(11,132)(12,156) \end{pspicture}} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Démontrer cette conjecture. \item La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a, b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n} = an^2 + bn + c$. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a, b$ et $c$ à l'aide des informations fournies. \end{enumerate} \item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{n} = u_{n+1} - u_{n}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item On définit, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} v_{k} = v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = (n + 1)(n + 2)$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: S_{n} = u_{n+1} - u_{0}$, puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \end{document} \begin{ExoF} Antilles 2014 Soit la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur l'ensemble des entiers naturels $\N$ par \[\left\{\begin{array}{r c l} u_{0}& =& 2\\ \text{et pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+1} &=& \dfrac{1}{5} u_{n} + 3 \times 0,5^n. \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et, à l'aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$ approchées à $10^{-2}$ près: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& 0&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline $u_{n}$&2&&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item D'après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a \[u_{n} \geqslant \dfrac{15}{4} \times 0,5^n.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0$. \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item \emph{On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite } \:$\left(u_{n}\right)$. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie sur $\N$ par $v_{n} = u_{n} - 10 \times 0,5^n$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$. On précisera le premier terme de la suite $\left(v_{n}\right)$. \item En déduire, que pour tout entier naturel $n$, \[u_{n} = - 8 \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^n + 10 \times 0,5^n.\] \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ \end{enumerate} \item Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant, afin qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} \leqslant 0,01$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|} \hline \textbf{Entrée :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ \textbf{Initialisation :}& $n$ prend la valeur 0\\ & $u$ prend la valeur 2\\ \textbf{Traitement :}&Tant que \ldots\hfill (1)\\ &\hspace{0,5cm} $n$ prend la valeur \ldots \hfill(2)\\ &\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hfill(3)\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie :}&Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Amérique du Sud 2014 On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par : \[u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = - \dfrac{1}{2}u_n^2 + 3u_n - \dfrac{3}{2}.\] \textbf{Partie A : Conjecture} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, de $u_1$ et $u_2$. \item Donner une valeur approchée à $10^{-5}$ près des termes $u_3$ et $u_4$. \item Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B: Validation des conjectures} \medskip On considère la suite numérique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n - 3$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = - \dfrac{1}{2}v_n^2$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: -1 \leqslant v_n \leqslant 0$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_n = -v_n\left(\dfrac{1}{2}v_n + 1\right)$. \item En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$. \end{enumerate} \item Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite $\left(v_n\right)$ converge ? \item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(v_n\right)$. On admet que $\ell$ appartient à l'intervalle $[- 1~;~0]$ et vérifie l'égalité : $\ell = - \dfrac{1}{2}\ell^2$. Déterminer la valeur de $\ell$. \item Les conjectures faites dans la \textbf{partie A} sont-elles validées ? \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Polynésie juin 2016 Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par \[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\] On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par \[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 5.\] \begin{enumerate} \item Voici un extrait de feuille de tableur : \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &$n$&$u$&$v$\\ \hline 2 &0 &2 &7\\ \hline 3 &1 &4 &14\\ \hline 4 &2 &9 &28\\ \hline 5 &3 &24 &56\\ \hline 6 &4 &63 &\\ \hline 7 & & &\\ \hline %8 & & &\\ \hline %9 & & &\\ \hline %10 & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites $u$ et $v$ ? \item Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement. \end{enumerate} \end{ExoF}