\documentclass[a4paper,12pt,french]{article} \linespread{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices \newcommand{\typedoc}{Exercices} %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille \newcommand{\Ch}{Fonctions de r\'ef\'erence 2} %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après \newcommand{\ch}{Chapitre 4} %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre) \newcommand{\Cl}{1CRSA} \newcommand{\Annee}{2016-2017} \newcommand{\serie}{Scientifique} \newcommand{\num}{0} \newcommand{\tps}{2h} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Packages %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_final.tex \geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm} \renewcommand{\arraystretch}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début \begin{document} \DocCha ~ \medskip \begin{ExoF} La capacité pulmonaire d'une personne est la quantité d'air (mesurée en litres) pouvant être inspirée. Dans le cas d'une inspiration forcée, à partir de 10 ans, la capacité pulmonaire (en litres) d'une personne peut être modélisée en fonction de son âge $x$ (en années) par la fonction $f$ définie par \quad $f(x) = \dfrac{110 (\ln x - 2)}{x}$ On appelle $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [10~;~100] dans un repère orthogonal. La tracer sur votre calculatrice puis, avec éventuellement un tableau de valeurs : \begin{enumerate} \item Estimer à quel âge la capacité pulmonaire est maximale puis donner cette capacité à $10^{-2}$ près. \item Estimer l'âge à partir duquel un adulte a une capacité pulmonaire inférieure à celle d'un enfant de 10 ans? \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [10~;~100]. \item Déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ près du maximum de $f$. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On considère un enfant dont le poids à la naissance est 3~kg. Pendant les trois premières années de la vie de l'enfant, on estime que son poids (en kg) est donné en fonction de son âge $x$ (en année) par $f(x) = x + 4\ln (3x + 1) + 3$. \begin{enumerate} \item Calculer le poids de cet enfant à l'âge de 6~mois. On donnera une valeur arrondie au dixième. \item Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l'âge correspondant à un poids de $12$~kg. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} La température $T$, en degré Celsius, d'une réaction chimique à l'instant $t$ est donnée par $T(t)=(20t+10)e^{-0.5t}$ \begin{enumerate} \item Donner l'ensemble de définition de cette fonction. \item Donner la température initiale. \item Dresser graphiquement le tableau de variation de $T$. \item A l'aide de votre calculatrice, déterminer au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale. \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On suppose qu'un pont suspendu suit une courbe d'une fonction $f$ définie sur $[-180~;~180]$ par $f(x)=e^{\frac{x}{41}}+e^{-\frac{x}{41}}$.\\ On considère le point $A$ de coordonnées $(180~;~0)$. Ce point $A$ représente le pied du deuxième pylône. \begin{enumerate} \item A l'aide de votre calculatrice, dresser le tableau de variations de $f$. \item Quelle est la hauteur du pylône $AB$, $B$ représentant le haut du deuxième pylône ? \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} L'iode 131 est un produit radioactif qui diminue par désintégration. Au bout du temps $t$, exprimé en jours, la masse en grammes est $M(t)=100 \times 0,917^t.$. \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de $M$ et dresser son tableau de variations sur $[0~;~ + \infty[$. \item Résoudre $M(t)=50$ sur $[0~;~+\infty[$. \item Au bout de combien de jours sa masse a-t-elle diminué de moitié (ce résultat s'appelle le temps de demi-vie) ? \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} On lâche à partir du sol un ballon atmosphérique. Pour prédire la hauteur, exprimée en mètres, atteinte par le ballon lorsque s'est écoulé un temps $t$, exprimé en minutes, à partir de son lâcher, un physicien a proposé la fonction $h$ définie par \[h(t) = \np{1200}\left(1 - \text{e}^{-0,1t}\right).\] Lors d'un lâcher par temps calme du ballon, une mesure fournit, minute après minute, la hauteur de ce ballon. Les résultats sont les suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline temps écoulé en minutes&3 &9 &15 &25 & 40\\ \hline hauteur mesurée en mètres& 302 &703 &896 &\np{1082} & \np{1143} \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On veut vérifier si la formule théorique est compatible avec les mesures effectuées. On appelle : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \emph{écart absolu} : la différence entre la valeur calculée avec la fonction $h$ et la valeur mesurée . \item[$\bullet~~$] \emph{écart relatif} : le quotient de l'écart absolu par la valeur mesurée. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On considère que la fonction $h$, est acceptable si, pour chacune des cinq mesures effectuées, l'écart relatif est compris entre $- 5$\,\% et $+ 5$\,\%. \begin{enumerate} \item Compléter le tableau ci-dessous, en arrondissant à l'unité les hauteurs et au dixième de pourcent les écarts relatifs. \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline temps écoulé en minutes &3 &9 &15 &25 &40\\ \hline hauteur mesurée en mètres &302 &703&896&\np{1082} &\np{1143}\\ \hline $h(t)$ & 311 &712&932& &\\ \hline écart absolu &9 &9 & & 19 & \\ \hline écart relatif &3,0\,\%& & &1,8\,\% & \\ \hline \end{tabularx} \item La fonction $h$ est-elle acceptable ? \end{enumerate} \item Étude de la fonction $h$ sur l'intervalle [3~;~60]. \begin{enumerate} \item Établir graphjiquement le tableau de variation de $h$. On fera figurer les images de $3$ et de $60$ dans le tableau. \item À l'aide du tableau de variation, indiquer si les équations suivantes ont une solution dans l'intervalle [3~;~60]. On justifiera la réponse. (1)\quad $h(t) = 500$ \hfill (2)\quad $h(t) = \np{1200}$ \item Déterminer le temps nécessaire au ballon pour atteindre la hauteur de \np{1000}~m, en considérant que cette hauteur est donnée par la fonction $h$. \emph{On arrondira le résultat à la minute.} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Des études statistiques montrent que, pour des intensités acoustiques et des fréquences moyennes, la sensation perçue par l'oreille humaine varie approximativement comme le logarithme de l'intensité acoustique.\\ Le niveau sonore $L$ d'un son, en décibel (dB), est donné en fonction de l'intensité acoustique $I$, en watt par mètre carré (w/m$^2$), par la relation $$L=10\log\dfrac{I}{10^{-12}}$$ Le seuil d'audibilité $L=0$ est obtenu par $I=10^{-12}$ w/m$^2$.\\ Le seuil de douleur (seuil maximum supportable par l'oreille) est $L=130$ dB.\\ On se propose d'installer des éoliennes à 2000m d'une zone d'habitations.\\ A cette distance, le niveau sonore d'une éolienne est $L_1=20$ dB. \begin{enumerate} \item Calculer l'intensité acoustique $I_1$ en w/m$^2$ correspondant à l'installation d'une éolienne. \item Si on installe $n$ éoliennes, l'intensité acoustique correspondante est, en w/m$^2$, $I_n=nI_1$\\ Montrer que le niveau sonore obtenu $L_n$, en dB, est $L_n=20+10\log(n)$ \item On souhaite que le niveau sonore obtenu ne dépasse pas 30 dB.\\ Quel est le nombre maximum d'éoliennes que l'on peut installer ? \end{enumerate} \end{ExoF} \begin{ExoF} Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ est exprimé en heures. Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant $t = 0$, les ailerons, à une température de 5 °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à $-24$~°C. \medskip \textsf {\textbf{\textsc{partie a}}} \medskip La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps $t$ par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $f (t) = 35\mathrm{e}^{-1,6t}-30$. \begin{enumerate} \item Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes. \item Dresser graphiquement le tableau de variations de la fonction $f$. \item Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ? \item Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé. \end{enumerate} \medskip \textsf {\textbf{\textsc{partie b}}} \medskip Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation. La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$, par $g(t) = 40\mathrm{e}^{-1,5t}-35$. \begin{enumerate} \item Justifier que $g(0) = 5$ et vérifier ce résultat par le calcul. \item Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ? \end{enumerate} \end{ExoF} \newpage \begin{ExoF} Un pont à une seule arche d'une longueur de 16~m enjambe une route à double circulation. La figure ci-dessous donne une vue de l'une des deux façades de ce pont (1 unité représente 1 mètre). La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5~m au-dessus de la route. \textbf{La partie de l'axe des abscisses comprise entre -8 et 8 représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.} \begin{center} \psset{unit=1.cm} \begin{pspicture}(-8.5,-2)(8.5,5.5) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-8}{8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 x 0.2 neg mul exp add 0.5 mul sub} \uput[u](1,0){A}\uput[r](0,1){B} \psline{<->}(-8,-1.2)(-5.5,-1.2)\psline{<->}(-5.5,-1.2)(-3.8,-1.2) \psline{<->}(-3.8,-1.2)(0,-1.2) \psline{<->}(0,-1.2)(4,-1.2) \psline{<->}(4,-1.2)(5.5,-1.2) \psline{<->}(5.5,-1.2)(8,-1.2) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psline(-8,5)(8,5) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{8}{-8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 x 0.2 neg mul exp add 0.5 mul sub}} \uput[dl](5.5,3.3){$(\mathcal{C})$}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](-6.75,-1.2){\footnotesize Zone piétons} \uput[d](-4.75,-1.2){\footnotesize Piste cyclable} \uput[d](-2,-1.2){\footnotesize Véhicules motorisés} \uput[d](2,-1.2){\footnotesize Véhicules motorisés} \uput[d](4.75,-1.2){\footnotesize Piste cyclable} \uput[d](6.75,-1.2){\footnotesize Zone piétons} \uput[d](8.3,0){$x$} \uput[l](0,5.3){$y$} \psline[linestyle=dashed](-8,0)(-8,2.5) \psline[linestyle=dashed](-5.5,0)(-5.5,3.36) \psline[linestyle=dashed](-4,0)(-4,3.7) \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,3.7) \psline[linestyle=dashed](5.5,0)(5.5,3.36) \psline[linestyle=dashed](8,0)(8,2.5) \psline(-8,2.5)(-8,5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8.5,-1.5)(8.5,5.5) \end{pspicture} \end{center} \textbf{A-- Étude de la fonction représentée par la courbe}\boldmath $(\mathcal{C})$\unboldmath \medskip Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par \[f(x) = k - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\quad \text{où $k$ désigne un entier naturel fixé.}\] On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O,~A,~B). \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement $f(0)$. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ : \[f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right).\] \item En tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50~cm, quelle doit être la hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour qu'il puisse passer sous le pont ? On arrondira le résultat à $10^{-1}$. \item Dresser graphiquement le tableau de variation de $f$ sur $[-8~;~8]$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B-- Calculs d'aires} \medskip La façade du pont est la partie grisée représentée sur la figure précédente. Son aire exprimée en m$^2$ vaut $5\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{- 1,6}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item On veut peindre les deux façades du pont. En déduire l'aire $S$ exprimée en m$^2$ de la surface totale à peindre ; en donner une valeur en m$^2$ approchée à $10^{-2}$ près. \item La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 5~litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 3 m$^2$ par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette construction ? \end{enumerate} \end{ExoF} \end{document} \begin{ExoF} Lors d'un usinage, la partie active d'un outil, en mouvement relatif par rapport à la pièce travaillée et aux copeaux que l'on désire produire, est soumise à des sollicitations mécaniques et thermiques très importantes. On usine ici des barres cylindriques (en alliage d'aluminium). Le volume $V$, exprimé en centimètres cubes, de copeaux obtenus avant la mort de l'outil est modélisé par la relation : \[V = \np{36000}\left(\text{e}^{-0,002v} - \text{e}^{- 0,004v}\right) \] où $v$ désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute $\left(\text{m.min}^{- 1}\right)$. \medskip Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. \medskip \textbf{Partie A} \medskip L'objectif de cette partie est de déterminer la vitesse de coupe conduisant à une production maximale de copeaux avant la mort de l'outil. \medskip \begin{enumerate} \item Calculs préliminaires. \begin{enumerate} \item Calculer le volume, en cm$^3$, de copeaux obtenus avant la mort de l'outil lorsque la vitesse de coupe est de \np{1200}~mètres par minute ; on donnera la valeur approchée arrondie au cm$^3$. \item Calculer $V$ lorsque $v$ égale $0$~m.min$^{-1}$ ; pouvait-on prévoir ce résultat ? \end{enumerate} \item Étude de fonction numérique On considère la fonction numérique $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}] par \[f(x) = \np{36000}\left(\text{e}^{-0,002x} - \text{e}^{-0,004x}\right).\] On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}]. \begin{enumerate} \item Vérifier que $f^{\prime}(x) = 72\text{e}^{-0,002x}\left(2\text{e}^{-0,002x} - 1\right)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}]. Soit $g$ la fonction numérique, définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~\np{1200}] par : \[g(x) = 2\text{e}^{-0,002x} - 1.\] La courbe représentative de la fonction $g$ est donnée en annexe. \item Vérifier que la fonction $g$ s'annule en $500\ln (2)$. \item À l'aide de la question b. et du graphique réalisé, déterminer le signe de $g(x)$ sur l'intervalle [0~;~\np{1200}]. \item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ sur cet intervalle. \item Dresser alors le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~\np{1200}]. \item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan (unités : 1~cm pour 100 unités en abscisses et 1~cm pour \np{1000}~unités en ordonnées). Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans ce repère orthogonal. \end{enumerate} \item Bilan. \begin{enumerate} \item Déduire de l'étude précédente le volume maximal, en centimètres cubes, de copeaux que l'on peut obtenir lors de l'usinage d'une pièce, avant la mort de l'outil. \item Donner alors une valeur approchée, arrondie au mètre par minute, de la vitesse de coupe correspondante. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'objectif de cette partie est, à vitesse de coupe donnée, de déterminer le nombre d'outils nécessaires à l'obtention de \np{10000} cm$^3$ de copeaux. \begin{enumerate} \item On considère désormais que la vitesse de coupe $v$ est de 350~mètres par minute, et que la section d'usinage $s$ est de $0,004$~centimètres carrés. \begin{enumerate} \item Le temps d'usinage $T_{0}$ (exprimé en minutes), nécessaire pour obtenir \np{10000}~cm$^3$ de copeaux est donné par la relation : \[T_{0} = \dfrac{\np{10000}}{v \times 100 \times s} = \dfrac{100}{v \times s}\] où $v$ désigne la vitesse de coupe, exprimée en mètres par minute $\left(\text{m.min}^{- 1}\right)$ et $s$ est la section d'usinage exprimée en centimètres carrés. Déterminer une valeur approchée (par excès à la minute près) de ce temps d'usinage $T_{0}$. \item Le temps effectif de coupe d'un outil (exprimé en minutes), est donné par la relation \[T_{\text{eff}} = C \times x^n\] où $x$ désigne la vitesse de coupe exprimée en mètres par minute. Dans le cas d'une usure maximale possible de 0,3~millimètre, on obtient expérimentalement les valeurs suivantes : $C \approx 1,8 \times 10^7$ et $n \approx -2,25$. Déterminer une valeur approchée (par défaut à la minute près) de ce temps effectif de coupe d'un outil, noté $T_{\text{eff}}$ pour une vitesse de coupe de $350$~mètres par minute. \item En déduire le nombre d'outils nécessaires à l'obtention de \np{10000}~cm$^3$ de copeaux. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte.} L'exposant \emph{négatif} dans la relation $T_{\text{eff}} = 1,8 \cdot 10^7 \times x^{-2,25}$ obtenue expérimentalement paraît-il conforme à l'intuition ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE : courbe représentative de} \boldmath $g$ \unboldmath \vspace{2cm} \psset{xunit=0.009cm,yunit=5cm} \begin{pspicture}(-50,-1)(1300,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=400]{->}(0,0)(0,-1)(1300,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=400](0,0)(1300,1.1) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{1200}{2 2.71828 0.002 x mul exp div 1 sub} \uput[d](1290,0){$x$} \uput[l](0,1.08){$y$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \end{ExoF} \begin{ExoF} \parbox{0.4\linewidth}{L'organisateur d'une compétition de skateboard souhaite construire une piste dont le profil dans un plan est schématisé ci-contre dans un repère orthonormal, en convenant qu'une unité dans le repère correspond à 1~mètre.}\hfill \qquad\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(-6,-1.5)(4,8) \psaxes(0,0)(-6,0)(4,8) \psline[linewidth=1.5pt](0,4)(-6,7)(-6,0)(4,0)(4,7.437) \psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.5pt]{0}{4}{x dup mul 4 div x sub 2 add 2.71828 x 4 div exp mul 2 add} \uput[ur](-6,7){A}\uput[ur](0,4){B}\uput[ul](4,7.437){C} \end{pspicture}} Sur ce profil, on considère que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] la piste entre les points A et B est rectiligne, elle est donc modélisée par un segment ; \item[$\bullet~~$] la piste entre les points B et C est modélisée par la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~4] par : $f(x) = 2 + \left(\dfrac{1}{4}x^2 - x + 2\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Partie A - Modélisation de la piste} \medskip Dans le repère, les coordonnées des points A et B sont respectivement A$(-6~;~7)$ et B(0~;~4). \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Détermination graphique d'une équation de la droite (AB)} La droite (AB) a une équation du type $y = a x + b$, où $a$ et $b$ sont des réels que l'on va déterminer dans cette question. \begin{enumerate} \item À partir des données de l'énoncé, donner la valeur du nombre $b$. \item En utilisant les coordonnées du point A, déterminer la valeur du nombre $a$. \end{enumerate} \item \textbf{Raccordement de la droite (AB) avec la courbe représentative de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath On note $f^{\prime}$ la dérivée de $f$ et $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout nombre réel $x :\quad f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{16}\left(x^2 + 4x - 8\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}$. \item Vérifier que le point B est situé sur la courbe $\mathcal{C}_{f}$ puis que la droite (AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point B. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Étude des variations et du signe de la fonction} \boldmath $f$\unboldmath \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $x^2 + 4x - 8 = 0$. \item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ sur l'intervalle [0~;~4]. \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. Préciser les valeurs, arrondies au dixième, du maximum et du minimum de la fonction $f$ sur cet intervalle. \item En déduire que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~4], $f(x) > 3,5$. \end{enumerate} \item \textbf{Calcul d'une intégrale} Soit $F$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~4] par: \[F(x) = 2x + \left(x^2 - 12x + 56\right)\text{e}^{\frac{x}{4}}.\] \begin{enumerate} \item Démontrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. \item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^4 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Calcul d'une aire plane} \medskip Pour déterminer le volume de béton nécessaire à la construction de la piste, l'organisateur doit connaître, sur le profil plan, l'aire de la surface située sous la piste. Pour cela, il découpe cette surface en deux parties. \medskip \begin{enumerate} \item On note O et E les points de coordonnées respectives O(0~;~0) et E$(- 6~;~0)$, et $\mathcal{S}_{1}$ l'aire en m$^2$ du quadrilatère ABOE. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère ABOE ? \item En déduire la valeur exacte de $\mathcal{S}_{1}$. \end{enumerate} \item On note $\mathcal{S}_{2}$ l'aire en m$^2$ de la surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 4$. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{S}_{2}$, puis sa valeur arrondie au dm$^2$. En déduire l'aire totale du profil de la piste, en m$^2$. \end{enumerate} \end{ExoF}