\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Exercices}          %%%%%%%%%%%%%%% 1ere ligne du titre de la feuille
\newcommand{\Ch}{La t\^ete dans les \'etoiles}  %%%%%%%%%%%%%%%% 2eme ligne et en haut à droite après
\newcommand{\ch}{Chapitre 3}		 %%%%%%%%%%%%%%% En haut à gauche (numero chapitre)
\newcommand{\Cl}{1CRSA}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}
	
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\num}{0}	
\newcommand{\tps}{2h}	



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\renewcommand{\arraystretch}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

~
\medskip

\begin{ExoF}
  On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $M(2;-4;1)$, $N(0;3;5)$ et $P(-1;2;0)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{NP}$.
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $2\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{NP}$ et 
  $-3\overrightarrow{MP}+4\overrightarrow{PN}$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $A(-1;2;4)$, $B(-3;3;-1)$, $C(-4;0;-9)$ et $D(0;-2;1)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
  \item Que peut-on en déduire sur les droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
  \item Que peut-on en conclure sur les longueurs $AB$ et $CD$ ?
  \item Donner un parallélogramme formé par ces quatre points (attention à l'ordre des points !!)
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
  On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $A(-1;1;3)$, $B(2;1;0)$ et $C(4;-1;5)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
  \item Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles parallèles ?
  \item Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $M(2;0;3)$, $N(-1;3;4)$, $P(4;1;2)$ et $Q(-2;-1;0)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$.
  \item Que peut-on en déduire sur les droites $(MN)$ et $(PQ)$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $A(2;-5;1)$, $B(-1;2;4)$, $C(3;4;-1)$ et $D(-2;3;2)$.\\
 Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[BD]$ et $[AC]$, et $G$ le centre de 
 gravité du triangle $ABC$.\\
 On définit $K$ comme le point tel que $\overrightarrow{DK}=\dfrac34\overrightarrow{DG}$
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des points $I$, $J$, $G$ et $K$.
  \item Justifier que $K$ appartient au segment $[IJ]$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage


 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.55cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt](0,0)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt](0,6)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt](10,0)(14,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt](10,6)(14,2)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](9,2)
\rput[bl](9.2,2.3){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](14,4.5)
\rput[bl](14.2,4.9){{$J$}}
\rput[bl](1.8,2.4){{$O'$}}
\rput[bl](11.6,4.5){{$O$}}
\end{pspicture*}             
\end{center}
\end{minipage}\begin{minipage}{8cm}
Dans les exercices suivants, on considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ ci-contre.

Les points $I$, $J$ sont les milieux des segments
 $[EF]$ et $[FG]$.\\
 Les points $O$ et $O'$ sont les centre respectifs des faces $BCGF$ et $ADHE$.
 \end{minipage}
 
\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AC}$
en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.
\item En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AC}$
dans le repère $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$.
 \item Que peut-on en déduire sur les droites $(IJ)$ et $(AC) ?$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  Identifier les points $R$, $S$, $T$, $U$ et $V$ définis par :
 $$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{HS}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{HA} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{DH} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{BU}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AE}
 \quad ; \quad  \overrightarrow{CV}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}
 $$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item  Identifier les points $M$, $N$ et $P$ définis par :
 $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{EF}+\dfrac12\overrightarrow{BG} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{AN}=\dfrac12\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{AD} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{HP}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GC}+ \overrightarrow{DA}$$
 \item Construire $K$ tel que $\overrightarrow{DK}=\dfrac23\overrightarrow{DF}$
 \item Démontrer que $C$, $K$ et $I$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Décomposer en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}~,~\overrightarrow{AD}$ et 
 $\overrightarrow{AE}$ les vecteurs suivants :
$$\overrightarrow{AC}~;~\overrightarrow{AG}~;~\overrightarrow{AO}~;~\overrightarrow{BH}~;~
\overrightarrow{CO'}~;~\overrightarrow{CO}~;~\overrightarrow{HI}~;~\overrightarrow{IJ}~;~
\overrightarrow{IO'}$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On se place désormais dans le repère $\left(E;\vec i ; \vec j ; \vec k\right)$ et on sait que 
$\overrightarrow{EA}=3\vec i$,  $\overrightarrow{EF}=5\vec j$ et $\overrightarrow{EH}=2\vec k$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonnées de chacun des points de la figure.
 \item Décomposer les vecteurs suivants en fonction des vecteurs $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$
 $$\overrightarrow{AG}~;~\overrightarrow{FA}~;~\overrightarrow{GB}~;~\overrightarrow{OG}~;~
 \overrightarrow{ID}$$
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\newpage


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item On considère deux peluches $A$ et $B$ de poids respectif $a=$500 g et $b=$2 kg. La distance entre les deux masses
 est $AB=50$ cm.
 \begin{enumerate}
                 \item Faire un schéma de la situation.
                 \item Où doit-on placer le point d'équilibre $G$ sur le segment $[AB]$ ?
                  \item Répondre à la même question pour $a=1$ kg et $b=500$ g.
                \end{enumerate}
 \item On a toujours $AB=50$ cm mais cette fois les poids $a$ et $b$ sont inconnus.\\
 On sait que le point d'équilibre $G$ de ces points vérifie : \quad $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec 0$
 \begin{enumerate}
  \item Proposer deux masses $a$ et $b$ possibles.
  \item Démontrer, en décomposant les vecteurs à l'aide de la relation de Chasles que $\overrightarrow{AG}=\dfrac35\overrightarrow{AB}$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans chaque cas, préciser si le barycentre $G$ des points $(A,a)$ et $(B,b)$ existe. \\
 S'il existe, le construire.
 \begin{multicols}{4}
   \begin{itemize}
  \item $a=1$ et $b=1$
  \item $a=3$ et $b=1$
  \item $a=-1$ et $b=2$
  \item $a=2$ et $b=-2$
 \end{itemize}
 \end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 $A$, $B$ et $G$ sont trois points distincts de l'espace.\\ Pour chacune des relations suivantes, 
 dire si le point $G$ peut être le barycentre des points pondérés $A$ et $B$.\\
 Si oui, préciser des coefficients affectés à ces points et construire $G$.
  \begin{multicols}{4}
  \begin{itemize}
  \item $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec 0$
  \item $\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=\vec 0$
  \item $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}$
  \item $3\overrightarrow{GA}=4\overrightarrow{BG}$
  \item $\overrightarrow{AG}=\dfrac13\overrightarrow{AB}$
  \item $\overrightarrow{BG}=\dfrac34\overrightarrow{BA}$
  \item $2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}$
 \end{itemize} 
  \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $A$, $B$ et $C$ sont 3 points alignés de l'espace tels que $\overrightarrow{AC}=\dfrac34\overrightarrow{AB}$
 \begin{enumerate}
  \item Faire un schéma de la situation.
  \item Proposer deux réels $a$ et $b$ tels que $C$ soit le barycentre de $(A,a)$ et $(B,b)$.
   \item Proposer de même deux réels $b$ et $c$ tels que $A$ soit le barycentre de $(B,b)$ et $(C,c)$.    
 \item Exprimer de même $B$ comme barycentre de $A$ et $C$, affectés
 de coefficients à déterminer.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans un repère \Oijk de l'espace, on donne les points $A(1~;~3~;~-2)$ et $B(3~;~-1~;~5)$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ des points $(A,2)$ et $(B,-3)$
  \item Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre $I$ des points $A$ et $B$.
  \footnote{L'isobarycentre de deux points est le barycentre
  de ces points affectés du même coefficient.}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}
 On considère trois points $A$, $B$ et $C$ du plan.\\
 On appelle $G$ le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$ et $(C,2)$ et $H$ le barycentre de $(H,2)$ et $(C,2)$. \\
 Placer les points $A$, $B$ et $C$ au hasard et construire les points $H$ puis $G$. 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Placer trois points $A$, $B$ et $C$ quelconque du plan.\\ Dans chaque cas, construire le barycentre
 $G$ de ces points affectés des coefficients respectifs $a$, $b$ et $c$ suivants :
   \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
  \item $a=b=c=1$
  \item $a=3$, $b=2$ et $c=1$
  \item $a=c=-2$ et $b=2$
  \item $a=3$, $b=-4$ et $c=-2$
 \end{itemize}
   \end{multicols}
\textit{On pourra construire des barycentres partiels en faisant attention aux sommes
nulles de coefficients.}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 $A$, $B$, $C$ et $G$ sont quatre points distincts de l'espace. \\Pour chacune des relations suivantes, 
 dire si le point $G$ peut être le barycentre des points pondérés $A$, $B$ et $C$.\\
 Si oui, préciser des coefficients affectés à ces points et construire $G$.
   \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
  \item $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}+4\overrightarrow{GC}=\vec 0$
  \item $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{GC}=\vec 0$
  \item $-2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0$
  \item $\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{BC}$
  \end{itemize}
   \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans un repère \Oijk de l'espace, on donne les points $A(-2~;~4~;~1)$, $B(3~;~5~;~-1)$
 et $C(0~;~3~;~4)$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ des points $(A,2)$, $(B,-1)$ et $(C,3)$
  \item Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre $I$ des points $A$, $B$ et $C$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\end{document}
