\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\typedoc}{Cours}
\newcommand{\Ch}{Fonctions de r\'ef\'erence 2}
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Cl}{1CRSA}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}
\newcommand{\num}{4}	


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}


%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\DocCha

\section{Les fonctions trigonométriques}
Le cercle trigonométrique\\
Les fonctions cos et sin : périodicité, tableaux de variations, courbes et symétrie\\
Valeurs remarquables + Configuration du rectangle ?\\
Résolutions d'équations trigonométriques sur des exemples ``concrets'' : exos 48-50-51-52 p 65 du livre Intervalle 
de 1STI2D



\section{Les fonction logarithmes}
\subsection{La fonction ln}
\begin{act}
Votre calculatrice possède une touche $\ln$ pour calculer l'image d'un nombre par la fonction appelé \og logarithme népérien \fg
(du nom de John Napier, XVIII$^e$ qui découvrit les fonctions logarithmes).
\begin{enumerate}
 \item Vérifiez que $\ln(5) \simeq 1.609$
 \item Testez la fonction $\ln$ avec un nombre négatif de votre choix. Que constatez-vous ?
 \item Observez la représentation graphique de la fonction $\ln$ sur votre calculatrice puis 
 conjecturez graphiquement les réponses aux questions suivantes :
 \begin{enumerate}
  \item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $\ln$ ?
  \item Quel est le sens de variation de la fonction $\ln$ ?\\
  En déduire le signe de sa fonction dérivée.
  %\item La fonction $\ln$ possède-t-elle des asymptotes ? Si oui, préciser les équations.
   \end{enumerate}
    \item  \begin{enumerate}
            \item Avec le tableau de valeurs de votre calculatrice, compléter le tableau suivant :
  \begin{center}
   \begin{tabular}{|C{2cm}|*{8}{C{1.4cm}|}}\hline
    $x$ & 0,1 & 0,2 & 0,5 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \tabularnewline\hline
    $\ln(x)$ &  & & & & & & &\tabularnewline\hline
    $\dfrac1x$ & & & & & & & & \tabularnewline\hline
   \end{tabular}
  \end{center}
  \item Dans le repère ci-dessous, placer les points de coordonnées $\big(x~;~\ln(x)\big)$ obtenus
 et tracer l'allure de la représentation graphique $\mathscr C$ de la fonction $\ln$.
 \item Sur ce même graphique, tracer les droites passant par les points de coordonnées $\big(x~;~\ln(x)\big)$ et de 
 coefficient directeur $\dfrac1x$.
 \item Que représentent ces droites pour la courbe $\mathscr C$ ?
 \item On rappelle que le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un réel $x$ est le coefficient
 directeur de la tangente à la courbe représentant $f$ au point d'abscisse $x$.\\
 Quelle conjecture peut-on faire entre la fonction $\ln$ et la fonction inverse sur $]0~;~+\infty[$  ?
    \item D'après la courbe représentative de la fonction ln, quelles semblent être les limites
   de cette fonction aux bornes de son ensemble de définition ?
 \begin{center}
  \psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2.5)(6,2)
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.2cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=lightgray, subgriddiv=1](0,0)(-10,-25)(60,20)
\psaxes[xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-1,-2.5)(6,2)
%\psplot[plotpoints=200]{2.5772678181790686E-8}{10.652572233967579}{ln(x)}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 \item Compléter alors le tableau suivant :
 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=10,lgt=3]{$x$/1, Signe de $ \dfrac{1}{x} $/1, Variation  de $\ln $/3, 
  Signe de $\ln(x)$/1} {$0$  ,  $+\infty$}%
  %\tkzTabLine {,,}%
  %\tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + /$+\infty$ }
  %\tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.3} {$1$} {$0$}
  %\tkzTabVal[draw] {1}{2} {0.7} {$e$} {$1$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{act}

\begin{defi}
 On appelle fonction logarithme népérien, notée $\ln$, la fonction définie sur $]0;+\infty[$
 qui a pour fonction dérivée la fonction inverse et qui s'annule pour $x=1$.\\
 Ainsi, la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ et
 pour tout $x>0$ on a $$\big(\ln(x)\big)'=\dfrac1x \quad \text{ et } \quad  \ln(1)=0$$
\end{defi}

\Rqs{
\item Ainsi chaque nombre de $]-\infty;+\infty[$ possède un unique antécédent par
la fonction $\ln$. 
\item De plus, si $a$ et $b$ sont des réels positifs, alors :
$$\ln(a)=\ln(b) \iff a=b$$
$$\ln(a)<\ln(b) \iff a<b$$
$$\ln(a)>\ln(b) \iff a>b$$
En particulier $\ln(x)<0 \iff 0<x<1$ et $\ln(x)>0 \iff x>1$ 
}

\Expls{$\ln(3x+4)=0 \iff 3x+4=1 \iff 3x=-3 \iff x=-1$\\
$\ln(x-3)>0 \iff x-3>1 \iff x>4$\\
%$\ln(3x+4)=1 \iff 3x+4=e \iff 3x=e-4 \iff x=\dfrac{e-4}{3}$\\
$\ln(x^2)=\ln(4) \iff x^2=4 \iff x=2 \text{ ou } x=-2$ \\
$\ln(x^2-3)=\ln(2x) \iff x^2-3=2x \iff x^2-2x-3=0 \iff ... \iff x=-1 \text{ ou } x=3$\\
\hfill Attention ! Vérifier que $x^2-3>0$ pour les deux solutions !\\\\
%$\ln(1-x)>1 \iff 1-x>e \iff 1-e>x$\\
$\ln(x+3)>\ln(2x)$ ...
}



\subsection{Propriétés algébriques des logarithmes}
\begin{act}
 Compléter un tableau de valeurs de la fonction $\ln$ 
 et tenter de trouver la relation $\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)$.\\
 Parler du côté historique : avant l'apparition de la calculatrice, on se servait
 de cette formule et de tables de logarithmes pour obtenir le résultat des 
 multiplications de nombres écrits avec ``beaucoup'' de chiffres, puisque l'on transformait
 ces multiplications en additions, bien plus simples à faire à la main.
\end{act}

\begin{theo}
La fonction $\ln$ transforme les produits en sommes, ie pour tout $a>0$ et $b>0$ on a :
$$ \ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$$  
\end{theo}

\Expl{$\ln(6)=\ln(2)+\ln(3)$
}
\Rq{Les fonctions qui possèdent cette propriétés sont toutes appelées ``Logarithmes'', d'où la 
précision ``Népérien'' pour celui qui nous a intéressé pour l'instant.
}

\begin{coro}
Pour tous $a$ et $b$ strictement positif et pour $n\in\Z$ on a :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln \left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln b$
\item $ \ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$
\item $\ln \left(a^n\right)=n \ln (a)$
\item $\ln \left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln a$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{coro}

\Expls{$\ln\left(\dfrac12\right)=-\ln(2)$ \quad , \quad $\ln(8)=3\ln(2)$ \quad , \quad 
$\ln(64)=\ln(2^6)=6\ln(2)$ \quad et \quad $\ln(0.01)=-2\ln(10)$\\
\textbf{Application} : Résoudre $(1.07)^n\geq 2$ \qquad et \qquad $\ln(0.8^n)\geq 0.3$\\

 Résoudre $(0.9)^n\leq 0.5$ \qquad et \qquad $\ln(1.2^n)\geq 15$
}



\subsection{Le nombre $e$}

\begin{act}
    \begin{enumerate}
     \item Combien de solutions l'équation $\ln(x)=1$ possède-t-elle ? Pourquoi ?
 \item En utilisant un tableau de valeurs à la calculatrice, résoudre cette équation
 à $10^{-3}$ près. 
\item Votre calculatrice contient également une touche $e^x$. 
\begin{enumerate}
 \item Calculer $\ln(e^1)$.
 \item En déduire la valeur de $e^1$  à $10^{-3}$ près puis vérifier à la calculatrice.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\begin{defi}
 On appelle $e$ l'unique antécédent de $1$ : $\ln(e)=1$. Pour information $e\simeq 2.718$.
\end{defi}

\Rq{
Ainsi, on peut aussi dire que $\ln$ est la fonction logarithme en base $e$ pour la différencier des autres
fonctions Logarithmes.
}

\Expls{Résoudre les (in)équations suivantes :\\
$\ln(3x+4)=1 \iff 3x+4=e \iff 3x=e-4 \iff x=\dfrac{e-4}{3}$\\
$\ln(1-x)>1 \iff 1-x>e \iff 1-e>x$\\
}


\subsection{Les fonctions Logarithmes en base $a$, avec $a>0$}
\begin{act}
 En fait, la fonction logarithme népérien n'est pas la seule à transformer les produits en sommes.\\
Toutes les fonctions logarithmes le font, en particulier la fonction logarithme décimal, notée Log,
définie sur $]0; +\infty[$ par Log : $x \longmapsto \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}$.\\
Faire un tableau de valeur pour observer cela avec les puissance de 10, faire observer sa courbe à la TI
\end{act}

\begin{defi}
 Les fonctions logarithmes en base a ...
\end{defi}

\begin{prop}
 les mêmes propriétés algébriques que ln
\end{prop}

\begin{ExoL}
 Foucher Analyse : 53-54-55-56 p 86
\end{ExoL}

\begin{ExoF}
 Des études statistiques montrent que, pour des intensités acoustiques et des fréquences moyennes, 
la sensation perçue par l'oreille humaine varie approximativement comme le logarithme de l'intensité
acoustique.\\
Le niveau sonore $L$ d'un son, en décibel (dB), est donné en fonction de l'intensité
acoustique $I$, en watt par mètre carré (w/m$^2$), par la relation 
$$L=10\log\dfrac{I}{10^{-12}}$$
Le seuil d'audibilité $L=0$ est obtenu par $I=10^{-12}$ w/m$^2$.\\
Le seuil de douleur (seuil maximum supportable par l'oreille) est $L=130$ dB.\\
On se propose d'installer des éoliennes à 2000m d'une zone d'habitations.\\
A cette distance, le niveau sonore d'une éolienne est $L_1=20$ dB.
\begin{enumerate}
 \item Calculer l'intensité acoustique $I_1$ en w/m$^2$ correspondant à l'installation
 d'une éolienne.
 \item Si on installe $n$ éoliennes, l'intensité acoustique correspondante est, en w/m$^2$, $I_n=nI_1$\\
 Montrer que le niveau sonore obtenu $L_n$, en dB, est $L_n=20+10\log(n)$
 \item On souhaite que le niveau sonore obtenu ne dépasse pas 30 dB.\\
 Quel est le nombre maximum d'éoliennes que l'on peut installer ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}






\section{Les fonctions exponentielles}
\subsection{Définition}
En généralisant la démarche qui nous a permis d'introduire le nombre $e$, on peut montrer
que pour tout nombre réel $a$, il existe un unique nombre $b>0$ tel que $\ln(b)=a$.\\
Ainsi pour $a=1$, on a $b=e$.\\
Pour $a=2$ ? Notons que $\ln(e^2)=2\ln(e)=2\times 1 = 2$. Donc $b=e^2$ convient.\\
Pour $a=3$, $a=-1$, ...

\begin{defi}[Proposition]
 Pour tout nombre réel $x$ et pour tout nombre réel strictement positif $y$,
 $$y=e^x \iff x=\ln(y)$$
\end{defi}

\Rqs{
\item Pour tout $x\in\R$, $e^x>0$
\item Pour tout $x\in\R$, $\ln(e^x)=x$
\item Pour tout $x\in\R^{+*}$, $e^{\ln(x)}=x$
}

\begin{defi}
 La fonction \textbf{exponentielle}, notée exp, définie sur $\R$ et à valeurs dans $\R^{+*}$ est la fonction
 qui à tout nombre réel $x$ associe le nombre $e^x$ .\\
 \end{defi}

\subsection{Propriétés}

\begin{theo}
 La fonction exponentielle transforme les sommes en produits, ie pour tous nombres réels $a$ 
 et $b$, on a :
 $$e^{a+b}=e^a \times e^b$$
\end{theo}

\begin{coro}
 Pour tous nombres réels $a$ et $b$,  on a :
 $$e^{-a}=\dfrac1{e^a} \qquad \text{ et } \qquad e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$$
 Et pour tout nombre réel $a$ et pour tout entier relatif $n$ on a  \quad $\big(e^a\big)^n=e^{na}$
\end{coro}


\Rq{Résultats que vous connaissiez déjà sur les puissances entières.
}

\subsection{Courbe et variations}

 \begin{ExoL}
  Foucher Analyse : 50-51-52 p 85
 \end{ExoL}

\subsection{Le nombre $a^b$}
\begin{defi}
 Soit $a>0$ et $b$ un nombre réel. \\
 On définit le nombre $a^b$ par $a^b=e^{b\ln(a)}$.\\
 La fonction exponentielle de base $a$ est la fonction définie sur $\R$ 
 et qui à $x$ associe $a^x=e^{x\ln(a)}$
\end{defi}

\subsection{Les fonctions puissances}
\begin{defi}
 Soit $\alpha\in\R$.\\
 On appelle fonction ``puissance $\alpha$'' la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ et qui à $x$
associe $x^{\alpha}=e^{\alpha\ln(x)}$
 \end{defi}

 
 \Expl{Si $\alpha=\dfrac12$ alors on retrouve la fonction racine carrée.
 }



\end{document}