\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
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\newcommand{\Ch}{Calcul vectoriel et Barycentres}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\DocCha



\section{Rappels sur les vecteurs}
\subsection{Vocabulaire}
Un vecteur est un objet géométrique représentant un trajet en ligne droite. Autrement dit, il est caractérisé par :
\begin{itemize}
 \item Une \textbf{direction} (celle de la ligne droite)
 \item Un \textbf{sens} (celui où l'on parcourt la droite, ce qui revient à ne s'intéresser qu'à une demi-droite)
 \item Une \textbf{longueur} (celle du trajet, ce qui revient à ne s'intéresser qu'à un segment orienté)
\end{itemize}


\noindent\begin{minipage}{10cm}
\Expl{
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-3)(9,7)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-3)(9,7)
\psline{->}(2,1)(5,3)
\psline{->}(2,1)(0,6)
\psline{->}(5,-2)(8,0)
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](2,1)
\rput[bl](2.,0.5){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](5,3)
\rput[bl](5.08,3.2){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=xdxdff](0,6)
\rput[bl](0.08,6.12){\blue{$C$}}
%\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](5,-2)
%\rput[bl](5.08,-1.8){\blue{$D$}}
%\psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=x,linecolor=blue](8,0)
\rput[bl](6.5,-1.5){\blue{$\vec u$}}
\end{pspicture*}
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{enumerate}
  \item Quels vecteurs sur la figure sont les mêmes ? Pourquoi ? 
   \item Tracer un vecteur opposé à $\overrightarrow{AC}$. Proposer deux notations.
  \item Tracer un trajet correspondant à cumuler celui de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$.\\
  Proposer une notation
  \item Tracer un trajet correspondant à cumuler celui de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{BC}$.\\
  Que constatez-vous ?
  \item Placer $M$ tel que $$\overrightarrow{OM}= 2\overrightarrow{AB}-\dfrac12\overrightarrow{AC}$$
  \end{enumerate}

\end{minipage}

\Rqs{
\item On les représente par des flèches et on les note en mettant une flèche de gauche à droite au dessus de leur nom.\\
$\overrightarrow{AB}$ est donc le trajet allant de $A$ vers $B$ en ligne droite.\\
$\overrightarrow{BA}$ est donc le trajet allant de $B$ vers $A$ en ligne droite.
\item Le trajet consistant à rester sur place est symbolisé par un vecteur nul et est noté $\vec 0$.
\item L'\textbf{opposé} d'un vecteur est le vecteur décrivant le même trajet mais dans le sens oppposé. Ainsi 
$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$
\item Les vecteurs n'ont pas de position fixe dans le plan ou l'espace (peu importe leur point de départ, on
ne s'intéresse qu'au trajet qu'ils représentent).
\item On peut les ajouter, les soustraire, les multiplier par un réel : concrètement, cela revient à cumuler les trajets ou 
les retrancher ou encore les allonger.
}

\begin{theo}[Relation de Chasles]
 Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan ou de l'espace. On a 
 $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$
\end{theo}

\subsection{Coordonnées}

\begin{theo}
Soit un repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ de l'espace. 
\begin{itemize}
\item Si deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ont pour coordonnées $\vec u\left(\begin{array}{c}
                             x \\ y \\ z   \end{array} \right)$ \quad ,
 \quad  $\vec v\left(\begin{array}{c}
                             x' \\ y' \\ z'   \end{array} \right)$ \quad et \,  $\lambda \in\R$ , \,  alors :
$$\vec u+\vec v\left(\begin{array}{c}
                             x+x' \\ y+y' \\ z+z'   \end{array} \right) \qquad \text{ et } \qquad 
\lambda\vec u\left(\begin{array}{c}
                             \lambda x \\ \lambda y \\ \lambda z   \end{array} \right)$$
\item Soient deux points $A(x_A;y_A;z_A)$ \, et \,  $B(x_B;y_B;z_B)$ \,  alors  \quad : \quad
$ \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                             x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A   \end{array} \right)$
\begin{itemize}
\item Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :
$$I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$$
\item Si de plus $C$ a pour coordonnées $C(x_C, y_C, z_C)$ alors le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ a pour coordonnées :
$$G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3};\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$$
\textit{Dans les deux cas, on fait la moyenne des coordonnées des points concernés.}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{theo}

\begin{ExoF}
  On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $M(2;-4;1)$, $N(0;3;5)$ et $P(-1;2;0)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{NP}$.
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $2\overrightarrow{MN}+3\overrightarrow{NP}$ et 
  $-3\overrightarrow{MP}+4\overrightarrow{PN}$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $A(-1;2;4)$, $B(-3;3;-1)$, $C(-4;0;-9)$ et $D(0;-2;1)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
  \item Que peut-on en déduire sur les droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
  \item Que peut-on en conclure sur les longueurs $AB$ et $CD$ ?
  \item Donner un parallélogramme formé par ces quatre points (attention à l'ordre des points !!)
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $A(-1;1;3)$, $B(2;1;0)$ et $C(4;-1;5)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
  \item Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont-elles parallèles ?
  \item Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $M(2;0;3)$, $N(-1;3;4)$, $P(4;1;2)$ et $Q(-2;-1;0)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{PQ}$.
  \item Que peut-on en déduire sur les droites $(MN)$ et $(PQ)$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On se place dans un repère de l'espace et on considère 
 les points $A(2;-5;1)$, $B(-1;2;4)$, $C(3;4;-1)$ et $D(-2;3;2)$.\\
 Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[BD]$ et $[AC]$, et $G$ le centre de 
 gravité du triangle $ABC$.\\
 On définit $K$ comme le point tel que $\overrightarrow{DK}=\dfrac34\overrightarrow{DG}$
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les coordonnées des points $I$, $J$, $G$ et $K$.
  \item Justifier que $K$ appartient au segment $[IJ]$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\subsection{Décomposition d'un vecteur dans une base}

\begin{act}
 $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle de centre $O$, tel que $AB=3$, $AD=6$ et $AE=4$. \\
 On appelle $I$ le centre du rectangle $ABCD$ et $J$ le milieu de l'arête $[EH]$.
 \begin{enumerate}
  \item Faire un schéma de la situation
  \item \begin{enumerate}
         \item Placer le point $K$ tel que : $$\overrightarrow{DK}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{HJ}$$         
         \item Démontrer que $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CB}$$
        \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}$$
        On dit que l'on a \textbf{décomposé le vecteur} $\overrightarrow{BD}$ \textbf{en fonction des vecteurs} $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$
        \item En utilisant la question 2, décomposer le vecteur 
        \begin{itemize}
         \item $\overrightarrow{DK}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{HE}$
         \item $\overrightarrow{CF}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{CB}$
        \end{itemize}
        \item Décomposer les vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{BI}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{BA}$
        et $\overrightarrow{BC}$
        \item Peut-on décomposer le vecteur $\overrightarrow{BF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{BA}$
        et $\overrightarrow{BC}$ ?
       \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Placer les points $M$, $N$ et $P$ tels que 
 $$\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AE} \qquad ; \qquad \overrightarrow{AN}= \dfrac12\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}
 \qquad ; \qquad \overrightarrow{BP}= -\dfrac12\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$$
 \item Décomposer les vecteurs $\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{CO}$ et $\overrightarrow{GI}$ en fonction des 
 vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{act}

\newpage



 \begin{multicols}{2}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.55cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt](0,0)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt](0,6)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt](10,0)(14,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 4pt](10,6)(14,2)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](9,2)
\rput[bl](9.2,2.3){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](14,4.5)
\rput[bl](14.2,4.9){{$J$}}
\rput[bl](1.8,2.4){{$O'$}}
\rput[bl](11.6,4.5){{$O$}}
\end{pspicture*}\\
Dans les exercices suivants, on considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ ci-dessus.\\

Les points $I$, $J$ sont les milieux des segments
 $[EF]$ et $[FG]$.\\
 Les points $O$ et $O'$ sont les centre respectifs des faces $BCGF$ et $ADHE$.
 
\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AC}$
en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.
\item En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{AC}$
dans le repère $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}~;~\overrightarrow{AE}\right)$.
 \item Que peut-on en déduire sur les droites $(IJ)$ et $(AC) ?$
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{multicols}

\begin{ExoF}
  Identifier les points $R$, $S$, $T$, $U$ et $V$ définis par :
 $$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{HS}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{HA} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{DH} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{BU}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{AD}+\dfrac12\overrightarrow{AE}
 \quad ; \quad  \overrightarrow{CV}=-\dfrac12\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}
 $$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item  Identifier les points $M$, $N$ et $P$ définis par :
 $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{EF}+\dfrac12\overrightarrow{BG} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{AN}=\dfrac12\overrightarrow{AE}+\dfrac12\overrightarrow{AD} \quad ; \quad 
 \overrightarrow{HP}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GC}+ \overrightarrow{DA}$$
 \item Construire $K$ tel que $\overrightarrow{DK}=\dfrac23\overrightarrow{DF}$
 \item Démontrer que $C$, $K$ et $I$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Décomposer en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}~,~\overrightarrow{AD}$ et 
 $\overrightarrow{AE}$ les vecteurs suivants :
$$\overrightarrow{AC}~;~\overrightarrow{AG}~;~\overrightarrow{AO}~;~\overrightarrow{BH}~;~
\overrightarrow{CO'}~;~\overrightarrow{CO}~;~\overrightarrow{HI}~;~\overrightarrow{IJ}~;~
\overrightarrow{IO'}$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On se place désormais dans le repère $\left(E;\vec i ; \vec j ; \vec k\right)$ et on sait que 
$\overrightarrow{EA}=3\vec i$,  $\overrightarrow{EF}=5\vec j$ et $\overrightarrow{EH}=2\vec k$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonnées de chacun des points de la figure.
 \item Décomposer les vecteurs suivants en fonction des vecteurs $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$
 $$\overrightarrow{AG}~;~\overrightarrow{FA}~;~\overrightarrow{GB}~;~\overrightarrow{OG}~;~
 \overrightarrow{ID}$$
\end{enumerate}

\end{ExoF}



\begin{ExoL}
 Delagrave : exos 3 à 6 p 132\\
 Foucher : TP 1 p 270 (géogébra) + exos 1 à 6 p 273 (calculs de coordonnées)\\
 \textbf{Trouver des exos où on doit lire des coordonnées de points/vecteurs sur un pavé droit, etc}
\end{ExoL}

\includegraphics[scale=1.25]{ExosDecompositionDelagrave}

\newpage

\section{Barycentres}
\begin{act}
 Amener des peluches, du fil et des bâtons pour construire des mobiles plus ou moins complexes.\\
 Intuiter l'importance du poids et les barycentres successifs.
\end{act}

\subsection{Barycentres de deux points pondérés}

\begin{defi}
 On considère deux points $A$ et $B$ du plan ou de l'espace, affectés de \og poids \fg $a$ et $b$ ($a$ et $b$ sont des nombres réels avec $a+b\neq 0$)\\
 On appelle \textbf{barycentre de deux points pondérés} $(A,a)$ et $(B,b)$ l'unique point $G$ tel que 
 $$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec 0$$
\end{defi}

\Rq{Le barycentre de deux points pondérés est en fait le point d'équilibre du segment.\\
Si $A\neq B$, $G$ appartient donc à la droite $(AB)$.
De plus, si $a=b$ alors $G$ est le milieu du segment $[AB]$}

\begin{prop}
 Pour tout point $M$ on a \quad $a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b) \overrightarrow{MG}$\\
 En particulier si $M=A$, on a $$\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b}\,\overrightarrow{AB}$$
\end{prop}

\begin{theo}
  Soient $A(x_A~;~y_A~;~z_A)$ et $B(x_B~;~y_B~;~z_B)$ deux points de l'espace. \\
  Alors le barycentre $G$ des points $(A,a)$ et $(B,b)$ (avec ($a+b\neq 0$)
 a pour coordonnées :
 $$G\left(\dfrac{ax_A+bx_B}{a+b} ~;~ \dfrac{ay_A+by_B}{a+b}~;~ \dfrac{az_A + bz_B}{a+b}\right)$$
 Dans le plan, on a $G(x_G;y_G)$
\end{theo}


\begin{ExoL}
 Delagrave : 7 à 10 p 132\\
 Nathan : 11 + (14?)  p 129
\end{ExoL}

\newpage

\subsection{Barycentres de plusieurs points pondérés}

\begin{defi}
 On peut définir de manière analogue le barycentre d'autant de points que l'on veut. \\
 Par exemple, le barycentre de trois points pondérés $(A,a)$, $(B,b)$ et $(C,c)$ (avec $a+b+c\neq 0$) est 
 l'unique point $G$ tel que 
 $$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec 0$$
\end{defi}

\Rq{Le barycentre de trois points pondérés est en fait le point d'équilibre du triangle.\\
Ainsi, si $a=b=c$ alors $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$}

\begin{prop}
 Pour tout point $M$ on a $a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} +c\overrightarrow{MC}= (a+b+c) \overrightarrow{MG}$\\
 En particulier si $M=A$ on a 
 $$\overrightarrow{AG}=\dfrac{b}{a+b+c}\,\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\,\overrightarrow{AC}$$
\end{prop}


\begin{theo}
 Si $H$ est le barycentre de trois points pondérés $(A,a)$ , $(B,b)$ et $(C,c)$ (avec $a+b+c\neq 0$) \\
 Et si 
 $G$ est le barycentre de deux points $(A,a)$ et $(B,b)$ (avec $a+b\neq 0$) \\
 Alors $H$ est le barycentre des points $(G,a+b)$ , $(C,c)$ 
\end{theo}

\begin{theo}
  Soient $A(x_A~;~y_A~;~z_A)$, $B(x_B~;~y_B~;~z_B)$  et $C(x_C~;~y_C~;~z_C)$ trois points de l'espace. 
  Alors le barycentre $G$ des points $(A,a)$, $(B,b)$ et $(C,c)$ (avec ($a+b+c\neq 0$)
 a pour coordonnées :
 $$G\left(\dfrac{ax_A+bx_B+cz_C}{a+b+c} ~;~ \dfrac{ay_A+by_B+cz_C}{a+b+c}~;~ \dfrac{az_A + bz_B+cz_C}{a+b+c}\right)$$
   Dans le plan, on a $G(x_G;y_G)$
\end{theo}


\begin{ExoL}
 Delagrave : 11 à 14 p 133 + TP1 p 130\\
 Nathan : 12 + 13 + (15?) p 129
\end{ExoL}

\end{document}