\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
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\newcommand{\typedoc}{Cours}
\newcommand{\Ch}{R\'esolution d'\'equations}
\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Cl}{1CRSA}
\newcommand{\Annee}{2016-2017}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex

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%\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}


\DocCha

\qquad 
\vspace{1cm}
\qquad 

Dans l'antiquit\'e, les math\'ematiques \'etaient surtout utilis\'ees pour les besoins quotidiens, tels que des calculs d'aires de champs cultivables, 
d'imp\^ots lors des crues du Nil, de constructions ...
Cependant, ils servaient aussi \`a r\'esoudre des probl\`emes dans lesquels figurait une ou plusieurs quantit\'es inconnues \`a trouver. 
Les math\'ematiciens parlaient de ''chose'' et tentaient de r\'esoudre leurs probl\`emes en suivant un discours logique mais parl\'e, et peu clair pour 
nous aujourd'hui.
De plus, ils ne cherchaient qu'\`a r\'esoudre leur probl\`eme particulier, sans essayer de g\'en\'eraliser une m\'ethode, et devaient recommencer 
depuis le d\'epart \`a chaque nouveau probl\`eme.\\

Ce n'est qu'au $VIII^e$ si\`ecle, avec l'introduction de la num\'eration positionnelle, des chiffres arabes et du z\'ero, 
que la th\'eorie prit place peu \`a peu. Le point de d\'epart fut de d\'esigner dans des calculs l'inconnue par un symbole (aujourd'hui souvent la lettre $x$)
 puis de mettre en \'equation les probl\`emes. \\
Rapidement, on comprit l'int\'er\^et d'une m\'ethode g\'en\'erale de r\'esolution d'\'equations 
plut\^ot que de faire du cas par cas, et c'est Al-Khawarizmi qui le premier s'int\'eressa \`a cela. C'est de lui que vient le mot ``algorithme'' 
qui d\'esigne aujourd'hui une proc\'edure \`a suivre, \`a partir d'un \'el\'ement donn\'e, pour arriver \`a une solution unique. Gr\^ace \`a ce principe, 
il suffisait de trouver l'algorithme \`a suivre pour r\'esoudre son probl\`eme et de savoir interpr\'eter la (les) solutions trouv\'ees.\\

Jusqu'au d\'ebut du $XIX^e$ si\`ecle, trouver des algorithmes de r\'esolutions d'\'equations constituent la pr\'eoccupation principale des alg\'ebristes. Ils 
d\'evelopp\`erent la notation symbolique et la conventionn\`erent. Par exemple, au $XVI^e$ si\`ecle Viete s\'epara l'alphabet en deux, le d\'ebut d\'esignant plut\^ot 
les param\`etres, la fin les inconnues, ce qui est encore utiliser de nos jours. On cat\'egorisa les \'equations suivants leurs param\`etres, leur degr\'e et 
leur nombre d'inconnus, afin de g\'en\'eraliser le plus possible leur r\'esolution d\'equations.\\

A travers cette recherche, on fut contraint de s'int\'eresser \`a la nature des nombres, et m\^eme d'en introduire de nouveaux.

Au d\'epart, les gens connaissaient les nombres entiers positifs et les quatre op\'erations. Ils se retrouvaient donc confront\'es \`a des \'equations
dont les param\`etres \'etaient des entiers positifs mais des solutions qui ne l'\'etaient pas forc\'ement $\dots$ Observons cela plus en d\'etails.\\

\tableofcontents

\newpage

\section{Généralités}
\subsection{Vocabulaire}
\begin{defi}
 On appelle \textbf{équation} une égalité entre deux expressions algébriques. appelées ``\textbf{membres}''
\end{defi}

\Expl{$3x+7=4x-9$ \qquad $5x+2y=7$ \qquad $3x^2+4x+1=0$ \qquad $(3x+1)(5-2x)=5$ sont des équations.
\begin{itemize}
 \item La première comporte une seule valeur \textit{inconnue} $x$
 \item La deuxième comporte deux \textit{inconnues} $x$ et $y$
 \item La troisième comporte à nouveau une seule inconnue, mais cette dernière est élevée au carré.
 On parle donc d'\textit{équation du second degré}.
 \item La quatrième comporte une seule inconnue, et si on développe le membre de droite, on trouve 
 $15x-6x^2+5-2x=5$. L'inconnue apparait donc au carré, il s'agit d'une équation du second degré.\\
 Les deux premières équations sont du \textit{premier degré}.
\end{itemize}
}

\Rq{Dans ce chapitre, on ne s'intéressera qu'aux équations à une inconnue.}


\begin{defi}
 \textbf{Résoudre une équation}, c'est trouver toutes les valeurs que l'on peut donner à l'inconnue pour que l'égalité
 soit vraie.\\
 Ces valeurs sont les \textbf{solutions} de l'équation.
\end{defi}

\Rq{
 Ainsi, si l'on remplace l'inconnue dans le membre de droite de l'équation
 de départ par l'une des solutions trouvées et que l'on compte, puis que l'on fait pareil
 avec le membre de gauche, on doit trouver les mêmes valeurs. Ceci permet
 de vérifier nos réponses.
 }
 
 \newpage
\subsection{Règles permises} 
Pour résoudre une équation d'inconnue $x$, on cherche à trouver 
des équations équivalentes à celle-ci (c'est-à-dire avec exactement les mêmes solutions), 
de plus en plus simples, jusqu'à en obtenir une ou plusieurs du type ``$x= ...$'' 



\begin{multicols}{2}
 \Rq{
Visualisons une équation comme une balance en équilibre :
\begin{itemize}
 \item Chacun des membres représente un plateau de la balance 
 \item Le signe ``='' représente la position d'équilibre
\end{itemize}
Pour trouver des équations équivalentes à celle de départ, l'idée est alors 
de faire des modifications dans chacun des plateaux, tout en conservant l'équilibre de la balance.\\
}
\flushright\includegraphics[scale=1]{balance}
\end{multicols}



\Cadre[Modifications permises]{
\begin{center}
 \begin{tabular}{|C{5cm}|C{5cm}|C{6cm}|}
  \hline
  \textbf{Sur une balance} & \multicolumn{2}{c|}{\textbf{Sur une équation}} \tabularnewline\hline
  On peut \textbf{ajouter} ou \textbf{enlever} un même poids aux deux plateaux  
  & On peut \textbf{ajouter} ou \textbf{enlever} un même nombre aux deux membres d'une équation 
  & $\begin{array}{cccl}
  \\  & 2x+5&=&8+x \\ \stackrel{{\red-5}}{\iff} & 2x+5{\red-5}&=&8+x{\red-5} \\ \iff& 2x&=&3+x
     \\ \stackrel{{\red-x}}{\iff}& 2x{\red-x}&=&3+x{\red-x} \\ \iff& x&=&3\\
    \end{array}$\\
 $\begin{array}{rl}
  \text{\textit{Vérification} : } &      2\times 3+5=11 \\
  \text{et}   & 8+3=11 \\
  \end{array}$\\
    3 est donc la seule solution de l'équation.
\tabularnewline\hline
  On peut \textbf{multiplier} ou \textbf{diviser} les poids des deux plateaux par un même nombre non nul
  & On peut \textbf{multiplier} ou \textbf{diviser} les deux membres d'une équation par un même nombre non nul
  & $\begin{array}{clcl}
   \\  & 2x&=&10 \\ \stackrel{{\red\div 2}}{\iff}& \red\dfrac{\black 2x}{2}&\black=&\red\dfrac{\black 10}{2} \\
     \iff& x&=&5 \\
    \end{array}$\\
      \textit{Vérification} : $2\times5=10$\\
    5 est donc une solution de l'équation.\\
\tabularnewline\hline
  \end{tabular}
\end{center}
}
 
 \newpage
\section{Equations du premier degré}

\begin{defi}
 Une équation du premier degré est une égalité du type $ax+b=0$ (ou pouvant s'y ramener), 
 où $a$ et $b$ sont deux nombres connus et $a\neq 0$.
\end{defi}

\Expl{$3x+4=0$, ou encore $3x+4=x-8$ ...
}

\Cadre[Méthode]{
Dans des résolutions d'équations du premier degré, on cherche à combiner les deux 
règles vues précédemment afin d'isoler l'inconnue. En général :
\begin{itemize}
 \item On enlève les parenthèses
 \hfill   \textit{On compte ce que l'on peut}
 \item On sépare les termes qui comportent une variable et les autres, grâce à la 
 \textbf{première règle}
  \begin{tabbing}
   \hspace{11.5cm}\=\hspace{8cm}\=\kill
 \>\textit{On compte ce que l'on peut}
  \end{tabbing}
 \item On isole l'inconnue, grâce à la \textbf{deuxième règle} 
 \hfill   \textit{On compte ce que l'on peut}
 \item \textit{On vérifie la solution trouvée}
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{tabular}{L{8cm}|L{10cm}}
 $\begin{array}{lcccl}
  3x+4=-11 & \stackrel{{\red-4}}{\iff} & 3x+4\red-4 &\black =& -11 \red -4 \\
  & \iff & 3x&=&-15 \\
  & \stackrel{{\red \div 3}}{\iff} & \red \dfrac{\black 3x}{3} &\black=& \red\dfrac{\black -15}{3}\\
  & \iff & x&=&-5
 \end{array}$\\
 \textit{Vérification} : $3\times (-5) + 4= -15+4 = -11$ 
& $ \begin{array}{lcccl}
   1-(2x+3)=4(x+4) & \iff & 1-2x-3&=&4x+16 \\
   & \iff & -2x-2& =& 4x+16 \\
   & \stackrel{{\red+2}}{\iff} & -2x-2\red +2 &\black =&4x+16\red+2\\
   & \iff & -2x&=&4x+18 \\
   & \stackrel{{\red-4x}}{\iff} & -2x\red -4x &\black =&4x+18 \red -4x \\
   & \iff & -6x&=&18 \\
   & \stackrel{{\red \div (-6)}}{\iff} & \red \dfrac{\black -6x}{-6}&\black=&\red\dfrac{\black 18}{-6}\\
   & \iff & x&=&-3
  \end{array}$\\
 \textit{Vérification} : \\
 $1-(2\times (-3)+3)=1-(-6+3)=1-(-3)=1+3=4$\\
 $4(-3+4)=4\times 1=4$
\end{tabular}
}



\begin{ExoC}
 Résoudre les équations suivantes :
 $$x-4=10 \qquad -3x+6=5 \qquad 3x=4 \qquad \dfrac{x}2=5 \qquad 5-x=4 \qquad 2x=0 \qquad \dfrac14 x -2=-\dfrac73$$
 $$  5-x=5 \qquad 5x+9=-2x \qquad 8-4x=72 \qquad 6x+40=121-3x \qquad 2x+8=3(x+2) $$
\end{ExoC}


\newpage
\section{Equation-produit nul}


\begin{defi}
 Une \textbf{équation-produit nul} est une équation à une inconnue où l'un des membres 
 est un produit et l'autre membre vaut 0.
\end{defi}

\begin{propo}
 \begin{itemize}
  \item Dans un produit, si l'un des facteurs vaut 0, alors ce produit vaut 0
  \item Si un produit vaut 0, alors l'un de ses facteurs vaut 0
 \end{itemize}
Ce qui se résume aussi ainsi :
``Un produit est nul si et seulement l'un de ses facteurs est nul.''
\end{propo}

\Cadre[Méthode sur un exemple]{
$(4x+3)(5-x)=0$ est une équation-produit nul.\quad 
On note \quad $A=4x+3$ \quad et \quad $B=5-x$. \\
D'après la proposition ci-dessus, le produit $AB$ vaut 0 si et seulement si $A=0$ ou $B=0$. \\
Ainsi 
$$\begin{array}{lclcl}
 (4x+3)(5-x)=0 &\iff & 4x+3=0 &\quad \text{ ou } \quad & 5-x=0\\
 & \iff & 4x+3{\red-3}=0{\red -3}  &\quad \text{ ou } \quad & 5-x{\red-5}=0{\red-5}\\
 & \iff & 4x=-3  &\quad \text{ ou } \quad & -x=-5\\
 & \iff & {\red\dfrac{\black4x}4\black=\red\dfrac{\black-3}4}  &\quad \text{ ou } \quad & x=5\\
 & \iff & x=-\dfrac{3}4  &\quad \text{ ou } \quad & x=5
\end{array}$$
On vérifie chacune des solutions trouvées :
\begin{itemize}
\item  Si $x=-\dfrac34$ alors \quad
$4x+3=\left(4\times \dfrac{-3}4 +3\right)=-3 + 3=0$ \quad et donc 
$$(4x+3)(5-x)=0\times (3-x)=0$$
\item Si $x=5$ alors \quad $5-x=5-5=0$ \quad et donc 
$$(4x+3)(5-x)=(4x+3)\times 0 = 0$$
\end{itemize}
Dans les deux cas, on a bien l'égalité voulue.
}


\begin{ExoC}
 Résoudre les équations-produit nul suivantes et vérifier les solutions obtenues
 $$(5x+1)(6x-7)=0 \qquad 3x(5x+4)=0 \qquad 3(x+7)(7-x)=0 \qquad x(5-7x)=0
 \qquad (3-x)(6+4x)(5+x)=0$$
\end{ExoC}
\newpage
\section{Equations du second degré}

\begin{defi}
Une \textbf{équation du second degré} est une égalité du type $ax^2+bx+c=0$ (ou pouvant s'y ramener), où $a$, $b$ et $c$ sont trois
nombres connus et $a\neq 0$.
\end{defi}

Les règles énoncées précédemment permettent d'établir le résultat suivant :

\Cadre[Méthode]{
 Soit $ax^2+bx+c=0$ une équation du second degré, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres connus.\\
 On calcule $\Delta = b^2-4ac$.
 \begin{itemize}
  \item Si $\Delta<0$ alors l'équation n'admet pas de solutions dans $\R$.
  \item Si $\Delta\geq 0$ alors l'équation admet deux solutions dans $\R$ (éventuellement confondues),
  notées $x_1$ et $x_2$ qui sont :
  $$\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{ et } \qquad \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$
 \end{itemize}
}


\Expls{
\begin{tabular}{L{6cm}|L{6cm}|L{6cm}}
 $  3x^2+2x+1=0 $\\
 $\Delta=2^2-4\times 3\times 1=4-12=-8<0 $\\
 L'équation n'admet pas de solution réelle.
 & $-3x^2+2x+1=0 $\\
 $\Delta=2^2-4\times (-3)\times 1 = 4+12=16$\\
 L'équation admet deux solutions réelles : \\
 $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{2\times (-3)}=\dfrac{-2-4}{-6}=1$ \\
 $ x_2=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{2\times (-3)}=\dfrac{-2+4}{-6}=-\dfrac{1}{3}$ 
  & $ -3x^2-2x+1=0 $\\
 $\Delta=(-2)^2-4\times (-3)\times 1 = 4+12=16$\\
 L'équation admet deux solutions réelles : \\
 $x_1=\dfrac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\times (-3)}=\dfrac{2-4}{-6}=\dfrac13$ \\
 $ x_2=\dfrac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\times (-3)}=\dfrac{2+4}{-6}=-1$ 
\end{tabular}
}

\begin{ExoC}
 Résoudre les équations suivantes et vérifier les solutions obtenues
 $$8x^2-3x+2=0 \qquad\qquad 8x^2-3x+2=5 \qquad\qquad 3x+1-5x^2=0\qquad\qquad x^2-3x+2=0 $$
 $$ -8x^2+x=0 \qquad\qquad -8x^2-5=0 \qquad\qquad (2x^2+x-4)(5-7x)=0
 \qquad\qquad 3x^2(-7x^2-4x+1)=0$$
\end{ExoC}






\end{document}