\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 9}
\newcommand{\Ch}{Complexe et G\'eom\'etrie}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{9}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 9}

\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Calculer une primitive.
\item Calcule une intégrale en utilisant les primitives.
\item Interpréter graphiquement le calcul d'une intégrale.
\item Intégrations par parties.
\end{enumerate}
\end{center}


\Exoi{Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $I$ qui s'annule en $1$ dans les cas suivants (Justifier son existence) :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=e^{2x}$ sur $I=\R$
\item $f(x)=t^2-2t$ sur $I=\R$
\item $f(x)=\dfrac{1}{2x-1}$ sur $I=\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
\item $f(x)=x^5-3x^3+5x$ sur $I=\R$
\item $f(x)=\dfrac{5x^4+2x^3-3x+6}{x^4}$ sur $I=\R^{+*}$
\item $f(x)=\dfrac{7}{(x-1)^4}$ sur $I=]1;+\infty[$.
\item $f(x)=\dfrac{-15x^2-10}{(x^3+2x)^4}$ sur $I=\R^{+*}$
\item $f(x)=\sin x \cos^3 (x)$ sur $I=\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $f(x)=\dfrac{x^2+5x-1}{x+2}$ pour $x\in]-2;+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x \in ]-2;+\infty[$ :
$$ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2}$$
\item En déduire la primitive de $f$ sur $]-2;+\infty[$ qui s'annule en $1$.
\end{enumerate}}

\Exoi{Soit $f(x)=\dfrac{2x^2-3x+4}{(x-1)^2}$ pour $x\in]1;+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x \in ]1;+\infty[$ :
$$ f(x)=a+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{(x-1)^2}$$
\item En déduire la primitive de $f$ sur $]1;+\infty[$ qui vaut $3$ en $2$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{Calculer les intégrales proposées :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\int_{-2}^1 (2x^2-x+1) dx$
\item $ \int_{1}^3 t+\dfrac{1}{t}dt$ (interpréter le résultat graphiquement)
\item $\int_0^1 \dfrac{dx}{ \sqrt{x+2}}$ (interpréter le résultat graphiquement)
\item $\int_3^4 \dfrac{x}{x^2-5}dx$
\item $\int_0^1 te^{t^2} dt $ (interpréter le résultat graphiquement)
\item $\int_0^1 \dfrac{t^3}{ \sqrt{t^4+1}}dt$  (interpréter le résultat graphiquement)
\end{enumerate}
\end{multicols}}


\Exoi{Calculer les intégrales proposées à l'aide d'une intégration par partie :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\int_{1}^e x\ln x dx$
\item $ \int_{1}^3 te^tdt$ 
\item $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} x \cos x dx$ 
\item $\int_1^e \dfrac{\ln t}{t^2}dt$
\item $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin(2x) dx $ 
\item $\int_0^1 \dfrac{t}{ \sqrt{t+1}}dt$  
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\end{document}