\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 8}
\newcommand{\Ch}{Complexe et G\'eom\'etrie}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{8}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 8}

\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Utiliser les propriétés algébriques du logarithme népérien.
\item Etudier des fonctions dont l'expression comporte du logarithme népérien.
\end{enumerate}
\end{center}


\Exoi{
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
\[ f(x) = x (1 - \ln x).\]
La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie). 
\begin{enumerate}
\item Etudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées. 
		\item Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.6)(5.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-2.6)(5.25,2.25)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.01}{4.65}{x 1 x ln sub mul}
\uput[d](1.7,0){$a$}\uput[l](0,0.7979){$f(a)$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1.7,0.7979){A} \uput[ur](2.5,0.4){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,0.7979)(0,0.7979)
\end{pspicture}
\end{center}
\pagebreak


\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Exercice 1)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule

\begin{enumerate}
\item %�tudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre r�el $x$.
Comme $x$ est supérieur à zéro, le signe de $f(x)$ est celui de $1 - \ln x$.

Or $1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \ln \text{e} > \ln x \iff \text{e} >  x$ par croissance de la fonction ln.

On a donc :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $f(x) > 0 \iff 0 <  x < \text{e}$ ;
\item[ ] $f(x) = 0 \iff x = \text{e}$ ;
\item[ ] $f(x) < 0 \iff x > \text{e}$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item %D�terminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de d�finition.
$\bullet~$ Au voisinage de zéro : $f(x) = x - x\ln x$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\ln x = 0$, donc  $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.

$\bullet~$ Au voisinage de plus l'infini :

On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} 1 - \ln x = - \infty$. Par produit des limires on obtient : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.

\emph{Remarque} : la lecture de l'annexe correspond bien à ces résultats. 
\item %D�terminer la d�riv�e de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
$f$ produit de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :

$f'(x) = 1 - \ln x + x \times \left(- \dfrac{1}{x} \right) = 1 - \ln x - 1 = - \ln x$.

Or $- \ln x  > 0 \iff \ln x < 0 \iff \ln x < \ln 1 \iff x < 1$ par croissance de la fonction ln.

De m\^eme  $- \ln x  > 0 \iff x > 1$.

Conclusion : la fonction est croissante sur $]0~;~1]$ et décroissante sur $[1~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
%\psgrid
\psframe(7,3)
\psline(0,2)(7,2) \psline(0,2.5)(7,2.5) \psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.1,2.5){0} \uput[u](4,2.5){1} \uput[u](6.4,2.5){$+ \infty$}
\psline(1.075,0)(1.075,2.5)\psline(1.125,0)(1.125,2.5)
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$}\rput(5.5,2.25){$-$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\rput(4,2.25){$0$}
\psline{->}(1.4,0.4)(3.4,1.8) \psline{->}(4.4,1.8)(6.4,0.4)
\uput[u](1.2,0){$0$}\rput(4,1.8){1}\uput[u](6.4,0){$- \infty$}
\uput[u](5.5,2.5){e}\rput(5.5,1){$0$}\psline[linestyle=dashed](5.5,1.1)(5.5,2.5) 
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Soit $a$ un nombre r�el strictement positif. On consid�re la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$.

	\begin{enumerate}
		\item %D�terminer, en fonction du nombre r�el $a$, les coordonn�es du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonn�es.
On a $M(x~;~y) \in  \left(T_{a}\right) \iff y - f(a) = f'(a)(x - a) \iff y - a + a\ln a = - \ln a(x - a) \iff$

$ y = -x\ln a + a$.

Le point d'intersection de  la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle, d'o\`u $y = a$, ordonnée du point A$'$.

Conclusion : A$'(0~;~a)$. 
		\item %Expliciter une d�marche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 (� rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A plac� sur la figure.
Il suffit de tracer le quart de cercle centré en O de rayon $a$ qui coupe l'axe des ordonnées au point A$'(0~;~a)$

Du point $(a~;~0)$ donné sur la figure on trace la verticale qui coupe $\mathcal{C}$ au point A$(a~;~f(a))$.

La tangente est la droite (AA$'$). Voir à la fin la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak
\Exoi{
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \ln \left(1 +\text{e}^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x.\] 
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
	\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = \dfrac{1}{3}x$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$. Tracer (D).
	\item Etudier la position relative de (D) et de $(\mathcal{C})$. 
	\item Montrer que pour tout réel $x,~ f(x) = \ln \left(\text{e}^x + 1\right) -\dfrac{2}{3}x$. 
	\item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$. 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		\\
	Montrer que pour tout $x$ réel, $f'(x) =  \dfrac{\text{e}^x - 2}{3\left(\text{e}^x + 1\right)}$. 
	\item En déduire les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}

\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Exercice 2)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm, algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-5,-0.3)(5,3.5)
\psgrid[subgriddiv=0,%
 	gridlabels=0,
 	xunit=0.5, yunit=0.25,
 	gridwidth=0.2pt,%
 	gridcolor=gray,
   subgridwidth=0.1pt,%
   subgridcolor=gray](0,0)(-10,0)(10,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-0.3)(5,3.5)
\uput[u](4.8,0){$x$} \uput[l](0,3.4){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{-5}{5}{ln(1+2.71828^(-x))+1/3*x}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=5000]{-5}{5}{1/3*x}
\psplot[linecolor=green,plotpoints=5000]{-5}{5}{-1/6*x+0.693147}
\uput[u](4,1.4){$\mathcal{C}$}
\uput[d](2.5,0.76){(D)}
\uput[d](-1,0.85){(T)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On a $\lim{+\infty} e^{-x} = 0$, donc $\lim{+\infty} 1 + e^{-x} = 1$ donc $\lim{+\infty} \ln(1 + e^{-x}) = 0$ donc $\lim{+\infty}f(x)=+\infty$
	\item Comme $f(x) -\dfrac{1}{3}x = \ln \left(1 + e^{-x}\right)$ et que $\lim{+\infty} \ln \left(1 + e^{-x}\right) = 0$, on en déduit que la droite (D) est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de $+\infty$.
	\item Comme $f(x) -\dfrac{1}{3}x = \ln(1 + e^{-x})$ et que $\forall x \in \R, \{-x\} > 0$, on a $1 + e^{-x} >1$ et donc $\ln \left(1 + e^{-x}\right) > 0$, dont on déduit que l'asymptote (D) est en dessous de la courbe $(\mathcal{C})$ sur $\R$.
	\item Soit $x$ un réel. On a $f(x) = \ln \left(1 + e^{-x}\right) + \dfrac{1}{3}x = 
	\ln\left({1 + \dfrac{1}{e^x}}\right)+ \dfrac{1}{3}x = 
	\ln\left({ \dfrac{e^x + 1}{e^x}}\right)+ \dfrac{1}{3}x = 
	\ln(e^x + 1) - \ln(e^{x}) + \dfrac{1}{3}x = 
	\ln(e^x + 1) - x + \dfrac{1}{3}x$\\
	soit $f(x) = \ln(e^x + 1) - \dfrac{2}{3}x $
	\item On a $\lim{-\infty} e^x = 0$ donc $\lim{-\infty}e^x + 1 = 1$, donc $\lim{-\infty} \ln \left(e^x + 1\right) = 0$ et comme par ailleurs, $\lim{-\infty} -\dfrac{2}{3}x = +\infty$, on en déduit $\lim{-\infty} f(x) = +\infty$
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $f$ est dérivable en tant que composée d'une fonction $x \longmapsto e^x + 1$, définie et dérivable sur $\R$ et à valeurs dans $\R^+$,où la fonction $\ln$ est dérivable : cette composée est donc dérivable sur $\R$, la fonction linéaire que l'on y ajoute pour obtenir $f(x)$ étant elle même dérivable sur $\R$, la fonction $f$ est bien dérivable sur $\R$.\\
		Sa dérivée est : $f'(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3e^x}{3(e^x + 1)} - \dfrac{2(e^x + 1)}{3(e^x + 1)} = \dfrac{3 e^x - 2(e^x + 1)}{3(e^x + 1)} = \dfrac{e^x - 2}{3(e^x + 1)}$.
	\item Le dénominateur de $f'$ est strictement positif, donc $f'$ est du signe de son numérateur, et $e^x - 2 > 0 \Longleftrightarrow x > \ln(2)$.
	On en déduit donc que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; \ln 2]$ puis strictement croissante sur $[\ln 2 ; +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}



\Exoi{On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par:
\[u_{n}=\left(1+\dfrac1n\right)^n.\]
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par:
\[f(x) = x -\ln(1 + x).\]
	\begin{enumerate}
		\item En étudiant les variations de la fonction $f$, montrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $\ln(1+x)\leqslant x$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$  non nul, $\ln(u_{n})\leqslant 1$.
		\item La suite $(u_{n})$ peut-elle avoir pour limite $+\infty$~?
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par: $v_{n}=\ln(u_{n})$.
	\begin{enumerate}
		\item On pose $x=\dfrac1n$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $x$.
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$~? Aucune justification n'est demandée. \\[2ex]
		\\
Calculer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_{n}$.
		\item En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Exercice 3)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule

\begin{enumerate}
\item 
%On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $[0;+\infty[$ par:
%$$f(x)=x-\ln(1+x).$$
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $\R^+$ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et pour tout réel $x\geqslant 0$: $f'(x)=1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{1+x}>0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R^+$, et pour tout $x\geqslant 0$ on a alors $f(x)\geqslant f(0)$, c'est-à-dire $x-\ln(1+x)\geqslant 0$, d'où:
$\ln(1+x)\leqslant x$.
%En �tudiant les variations de la fonction $f$, montrer que, pour tout r�el $x$ positif ou nul, $\ln(1+x)\leqslant x$.
\item Soit $n\in\N^*$, $\ln(u_{n})=n\ln\left(1+\dfrac1n\right)$ et $\dfrac1n\in\R^+$, donc d'après la question précédente:
$\ln(u_{n})\leqslant n\times \dfrac1n$, c'est-à-dire $\ln(u_{n})\leqslant 1$.
%En d�duire que, pour tout entier naturel $n$  non nul, $\ln(u_{n})\leqslant 1$.
\item Pour tout $n\in\N^*$, $\ln(u_{n})\leqslant 1$, donc $u_{n}\leqslant \text{e}$ et la suite $(u_{n})$ est majorée par e, elle ne peut donc pas diverger vers $+\infty$.
%La suite $(u_{n})$ peut-elle avoir pour limite $+\infty$~?
\end{enumerate}
\item 
%On consid�re la suite $(v_{n})$ d�finie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par: $v_{n}=\ln(u_{n})$.
\begin{enumerate}
\item $v_{n}=\ln(u_{n})=n\ln\left(1+\dfrac1n\right)$, en posant $x=\dfrac1n$ on a donc: $v_{n}=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$.
%On pose $x=\dfrac1n$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $x$.
\item $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ d'après une limite du cours. Quand $n\to+\infty$, on a $x\to 0$, donc:
 $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_{n}=1$.
\item $v_{n}=\ln(u_{n})$, donc $u_{n}=\text{e}^{v_{n}}$, et comme $(v_{n})$ converge vers 1, on en déduit que $(u_{n})$ converge vers e.
%En d�duire que la suite $(u_{n})$ est convergente et d�terminer sa limite.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}