\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 7}
\newcommand{\Ch}{Complexe et G\'eom\'etrie}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{7}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 7}

\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Utiliser les propriétés algébriques du logarithme népérien.
\item Etudier des fonctions dont l'expression comporte du logarithme népérien.
\end{enumerate}
\end{center}


\Exoi{\textbf{Transformer une suite g\'eom\'etrique en une suite arithm\'etique }\newline
On consid\`ere la suite $u$ d\'efinie sur $\N$ par 
$\left\{\begin{array}{l}
         u_0=5 \\ u_{n+1}=\dfrac{3}{2}u_n
        \end{array}\right.$
\begin{enumerate}
 \item D\'eterminer la nature de la suite $u$
 \item \'Ecrire $u_n$ en fonction de $n$ et pr\'eciser le signe de $u_n$, pour tout entier naturel $n$
\item D\'eterminer \`a l'aide d'une calculatrice graphique le plus petit entier naturel $n_0$ tel que $u_n>100$
\item On pose $v_n=\ln(u_n)$.
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire $v_n$ en fonction de $n$
\item En d\'eduire la nature de la suite $(v_n)$
\item R\'esoudre l'in\'equation $v_n>\ln(100)$ et expliquer comment on peut retrouver le r\'esultat de la question 3.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{
Soit $f$ et $g$ les fonction d\'efinies sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x-1)$ et $g(x)=\dfrac{x-2}{x-1}$. On note respectivement $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ leur courbe repr\'esentative dans le plan muni d'un rep\`ere orthonormal (unit\'e graphique : 2 cm).\newline
\textbf{Partie A : \'Etude du sens de variation de $f$ et de celui de $g$}
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f'(x)$ et $g'(x)$
 \item \'Etudier le sens de variation de chacune des fonctions $f$ et $g$; dresser leur tableau de variations.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : \'Etude des positions relatives de $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ }\newline
On consid\`ere la fonction $d$, d\'efinie sur $]1;+\infty[ $ par $d(x)=f(x)-g(x)$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Calculer $d'(x)$
 \item \'Etudier le sens de variation de $d$ et donner son tableau de variations
\item Calculer $d(2)$
\subitem En d\'eduire le signe de $d(x)$, lorsque $x\in]1;+\infty[$
\end{enumerate}
\item En utilisant les r\'esultats pr\'ec\'edents :
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ ont un seul point commun, not\'e $A$, dont on donnera les coordonn\'ees
 \item Montrer que $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ admettent au point $A$ la m\^eme tangente $\mathcal T$, dont on donnera l'\'equation r\'eduite
\item \'etudier la position de $\mathcal C_f$ par rapport \`a  $\mathcal C_g$ 
\end{enumerate}
\item Tracer, avec pr\'ecision, la droite $\mathcal T$ et les courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$ 
\end{enumerate}
}


\Exoi{
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par :
\[f (x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\]
La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est donnée sur le document annexe 2 que l'on complètera et que l'on rendra avec la copie.
\\
\textbf{Partie A : Etude de certaines propriétés de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}$\unboldmath
\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f '(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.
\item  Pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$, on pose $N(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$.
\\
Vérifier que l'on définit ainsi une fonction strictement croissante sur $]- 1~;~+ \infty[$.
\\
Calculer $N(0)$. En déduire les variations de $f$.
\item  Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x$.
Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Etude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction} $f$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $x \in [0~;~4]$, alors $f(x) \in [0~;~ 4]$.
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{l cl}
 u_{0}& =&4 ~\text{et}\\
 u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)~ \text{pour tout}~ n~ \text{de}~ \N.\\
\end{array}\right.\]
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de l'annexe 2, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $u_{0}~, u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.
		\item Démontrer que pour tout $n$ de $\N$ on a :  $u_{n} \in [0~;~ 4]$.
		\item Etudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On désigne par $\ell$ sa limite.
		\item Utiliser la partie A pour donner la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}



\begin{center}

\textbf{ANNEXE}


\psset{unit=1.45cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-1)(6,5.5)
\psgrid[gridcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](-2,-1)(6,5)
\uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](6.2,0){$x$} \uput[r](0,5.5){$y$}
\uput[dr](5.4,5){$\mathcal{C}$} \uput[ul](5,5){$\mathcal{D}$}
\psline(-1,-1)(5.5,5.5)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-0.76}{5.7}{x 1 x add ln 1 x add div sub}
\end{pspicture}
\end{center}


\vspace*{3mm}
\hrule

\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Exercice 3)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule

On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par :
\[f (x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\]

\textbf{Partie A}\\

\begin{enumerate}
\item $f$ est d\'erivable comme compos\'ee, quotient et somme de fonctions d\'erivables sur $]-1~;~+\infty[$.\\
$f=u-\dfrac{\ln v}{v}$ en posant $u(x)=x$ et $v(x)=1+x$. $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$.\\
$f'=u'-\left(\dfrac{\ln v}{v}\right)'=u'-\dfrac{\dfrac{v'}{v}\times v-v'\ln v}{v^2}=u'-\dfrac{1-v'\ln v}{v^2}$.\\
Par cons\'equent, pour tout $x$ de $]-1~;~+\infty[$, $f'(x)=1-\dfrac{1-\ln(1+x)}{(1+x)^2}=\dfrac{(1+x)^2-1+\ln(1+x)}{(1+x)^2}$.
\item On pose $N(x)=(1+x)^2-1+\ln(1+x)$. $N$ est d\'erivable comme somme et compos\'ee de fonctions d\'erivables.\\
$N'(x)=2\times 1\times (1+x)+\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{2(1+x)^2+1}{1+x}$. Comme $x$ appartient \`a $]+1~;~+\infty[$, $1+x>0$. Le num\'eratuer est positif comme somme de nombres strictement positifs. Par cons\'equent, $N(x)>0$ pour tout $x$. On en d\'eduit que $N$ est croissante sur $]-1~;~+\infty[$.\\
$N(0)=0$ donc $N(x)<0$ pour tout $x$ de $]-1~;~0[$ et $N(x)>0$ pour tout $x>0$.\\
$f'(x)=\dfrac{N(x)}{(1+x)^2}$ qui est du signe du num\'erateur $N(x)$ car $(1+x)^2>0$ pour tout $x$.\\
Par cons\'equent, $f'(x)<0$ sur $]-1~;~0[$, $f'(0)=0$ et $f'(x)>0$ pour $x>0$.\\
On en d\'eduit le tableau de variations de $f$ : 
\begin{center}
$\begin{array}{|c||lc*{3}r|}
\hline
x&-1&&0&&+\infty\\
\hline
f'(x)&&-&0&+&\\
\hline
&&&&&\\
f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\
&&&0&&\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
$\mathcal{D}$ est la droite d'\'equation $y=x$. Pour avoir les coordonn\'ees du point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de $\mathcal{C}$, on r\'esout l'\'equation $f(x)=x$.\\
$f(x)=x\Leftrightarrow -\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}=0\Leftrightarrow \ln(1+x)=0\Leftrightarrow 1+x=1\Leftrightarrow x=0$.\\
Comme $f(0)=0$, $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$ se coupent \`a l'origine.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $[0~;~4]$, $f$ est croissante donc pour tout $x$ de $[0~;~4]$, $0=f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(4)$ ; or $f(4)=4-\dfrac{\ln5}{5}<4$ donc $f(x)\in[0~;~4$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Voir courbe.

\item Montrons par r\'ecurrence sur $n$, que, pour tout $n$, $u_{n}\in[0~;~4]$.
\begin{enumerate}
\item Amor\c cage : $u_{0}=4\in[0~;~4]$ donc c'est vrai au rang 0.

\item H\'er\'edit\'e : supposons que $u_{n}\in[0~;~4]$ pour un entier $n$. Alors $u_{n+1}=f(u_{n})\in[0~;~4]$ d'apr\`es 1.
\end{enumerate}
Par cons\'equent, $u_{n}\in[0~;~4]$ pour tout $n$.

\item Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=f(u_{n})-u_{n}=u_{n}-\dfrac{\ln(1+u_{n})}{1+u_{n}}-u_{n}=-\dfrac{\ln(1+u_{n})}{1+u_{n}}\leqslant 0$ car $1+u_{n}\geqslant 1$ d'o\`u $\ln(1+u_{n})\geqslant 0$.\\
Par cons\'equent, la suite $(u_{n})$ est d\'ecroisssante.

\item La suite $(u_{n})$ est d\'ecroissante et minor\'ee par 0 : elle est convergente vers un r\'eel $\ell$.

\item Comme $f$ est continue, on sait que $\ell$ est solution de l'\'equation $f(x)=x$. On en d\'eduit que $\ell=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.45cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-1)(6,5.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](-2,-1)(6,5)
\uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](6.2,0){$x$} \uput[r](0,5.5){$y$}
\uput[dr](5.4,5){$\mathcal{C}$} \uput[ul](5,5){$\mathcal{D}$}
\psline(-1,-1)(5.5,5.5)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-0.76}{5.7}{x 1 x add ln 1 x add div sub}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,3.68)
\psline[linestyle=dashed](4,3.68)(3.68,3.68)
\psline[linestyle=dashed](3.68,3.68)(3.68,0)
\psline[linestyle=dashed](3.68,3.35)(3.35,3.35)
\psline[linestyle=dashed](3.35,3.35)(3.35,0)
\psline[linestyle=dashed](3.35,3.01)(3.01,3.01)
\psline[linestyle=dashed](3.01,3.01)(3.01,0)
\uput[d](4,0){$\small{u_{0}}$}
\uput[d](3.68,0){$\small{u_{1}}$}
\uput[d](3.35,0){$\small{u_{2}}$}
\uput[d](3.01,0){$\small{u_{3}}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}