\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 5}
\newcommand{\Ch}{Complexe et G\'eom\'etrie}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

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\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{6}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 6}

\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Utiliser les propriétés algébriques du logarithme népérien.
\item Etudier des fonctions dont l'expression comporte du logarithme népérien.
\end{enumerate}
\end{center}


\Exoi{
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ les équations suivantes (on prendra soin de déterminer le domaine de validité de l'équation) :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\ln(x-1)+\ln(x+2)=0$
\item $\ln x+\ln(x+1)=3$
\item $\ln x+\ln(2x-1)=\ln 2$
\item $\ln (x^2-3x+1)=\ln(2x-7$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $10,01^n\geq 1000$
\item $0,99^n\leq 0,0001$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Déterminer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ les nombres suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A=\ln \dfrac{81}{256}$
\item $B=\ln 0,25$
\item $C=\ln 36^2$
\item $D=\ln 4096$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}}

\Exoi{On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\ln(1+e^{-x})$$
On note $\mathscr C_f$ sa représentation graphique dans le repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$ d'unité $4$ cm.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$, puis la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Etudier les variations de $f$.
\item Montrer que pour tout réel $x$, $$ f(x)=-x+\ln(1+e^x)$$
En déduire que $\mathscr C_f$ admet, en $-\infty$ une asymptote $\Delta$. dont on déterminera l'équation.
\item Tracer $\Delta$ et $\mathscr C_f$
\end{enumerate}
}

\Exoi{On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle I = $\left] - 
\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$  par 
\[f(x) =  \ln (1 + 2x).\]
\begin{enumerate} 
\item Justifier que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle I.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\dfrac{1}{2}$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle I par $g(x) = 
f(x) -x$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Etudier les variations de $g$ sur l'intervalle I.
		\item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ admet deux solutions : 0 et une autre, notée $\beta$, appartenant à l'intervalle [1 ; 2].
		\item En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle I.
	\end{enumerate}
\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~\beta[,~f(x)$ appartient aussi à $]0~;~\beta[$.
\end{enumerate}}
\pagebreak
\hrule

\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Exercice 3)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule

\begin{enumerate}
\item Comme $1 + 2x > 0$ sur I, $f$ est définie sur cet intervalle et est dérivable comme fonction composée de fonctions dérivables :

$f'(x) = \dfrac{2}{1 + 2x} > 0$. La fonction est donc croissante sur I.

		\item  Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} (1 + 2x) = 0_{+}, \displaystyle\lim_{x \to - \frac{1}{2}} f(x) = - \infty$.
\item

\begin{enumerate}
\item Sur I, $g(x) = f(x) - x$ ; $g$ est dérivable comme différence de deux fonctions dérivables sur I et $g'(x) = f'(x) - 1 = \dfrac{2}{1 + 2x} - 1 = \dfrac{2 - 1 - 2x}{1 + 2x} = \dfrac{1 - 2x}{1 + 2x}$ qui est du signe de $1 - 2x$ puisque sur I, $1 + 2x > 0$.

$1 - 2x = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$.

Conclusion : $g$ est croissante sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right]$ et décroissante sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right]$.
		\item On a $g\left(\dfrac{1}{2} \right) = \ln 2 - \dfrac{1}{2}> 0$.
		
Cherchons la limite de $g$ au voisinage de $+ \infty$ :

$g(x) = \ln (1 + 2x) - x = \ln x\left(2 + \dfrac{1}{x} \right) - x = \ln x + \ln \left(2 + \dfrac{1}{x} \right) - x =$

$ x \left[\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{\ln \left(2 + \dfrac{1}{x} \right)}{x} - 1\right]$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x}  = 0, {} \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln \left(2 + \dfrac{1}{x} \right)}{x} = 0$, la limite du crochet est donc égale à $-1$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = - \infty$.
		
Sur $\left]-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right],~g$  est croissante de $- \infty$à $\ln 2 - \dfrac{1}{2}> 0$. $f$ Etant continue sur cet intervalle il existe un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$. Il est évident que $\alpha = 0$.
		 
De même sur $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right],~g$ décroit de $\ln 2 - \dfrac{1}{2}> 0$ à $- \infty$ ; $g$ étant continue sur cet intervalle, il existe un réel unique $\beta$ de cet intervalle tel que

 $g(\beta) = 0$.

On vérifie que $g(1) \approx 0,098 > 0$ et que $g(2) \approx - 0,39 < 0$.

Conclusion : $1 < \beta < 2$.
		\item On en déduit le signe de $g$ :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~0\right[,~g(x) < 0$
\item sur $]0~;~\beta[,~g(x) > 0$
\item sur $]\beta~;~+ \infty[,~g(x) < 0$
\item $g(0) = g(\beta) = 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}
\item $0 < x < \beta \Rightarrow f(0) < f(x) < f(\beta)$ par croissance de la fonction $f$.

$f(0) = 0$ et $f(\beta) = g(\beta) + \beta = 0 + \beta = \beta$.

Conclusion : $0 < x < \beta \Rightarrow 0 < f(x) < \beta.$
\end{enumerate}

\end{document}