\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 5}
\newcommand{\Ch}{Complexe et G\'eom\'etrie}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

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\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{5}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 5}

\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Interprétation géométrique du quotient de deux nombres complexes
\item Connaître et utiliser la forme complexe des translations, rotations et homothéties
\end{enumerate}
\end{center}


\Exoi{\begin{enumerate}
\item  Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec u, \vec v)$.
\\
On pose $a =  3,~ b = 5 - 2\text{i}$ et $c =  5 + 2\text{i}$. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$.
\\
 Soit $M$ un point d'affixe $z$ du plan, distinct des points A et B. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle.
		\item  Donner une interprétation géométrique de l'argument du nombre complexe $\dfrac{z - 3}{ z - 5 + 2\text{i}}$.
		\item  Déterminer alors l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z-3}{ z - 5 + 2\text{i}}$ soit un nombre réel strictement négatif.
	\end{enumerate}
\item  Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle ABC et $\Omega$ le point d'affixe $2 - \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. 
		\item Déterminer l'image $\Gamma '$ de $\Gamma$ par la rotation $r$. Déterminer une équation paramétrique de $\Gamma '$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\hrule

\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Exercice 1)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On a $c -a = 2 + 2\text{i}$ et $b - a = 2 - 2\text{i}$ ; or $c -a = 2 + 2\text{i} = \text{i}(2 - 2\text{i}) = \text{i}(b - a)$. Cette égalité signifie que C est l'image de B dans le quart de tour direct de centre A. Donc le triangle ABC est rectangle en A.
\item On a $\dfrac{z - 3}{z - 5 + 2\text{i}} = \dfrac{z -z_{\text{A}}}{z -z_{\text{B}}}$. Donc arg$\left(\dfrac{z - 3}{z - 5 + 2\text{i}}\right) = \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{B}M}\right)$
\item Le nombre $\dfrac{z - 3}{z - 5 + 2\text{i}}$ est un réel strictement négatif si et seulement si l'un des ses arguments est égal à $\pi$. D'après le b, on a donc $\dfrac{z - 3}{z - 5 + 2\text{i}}~\in~\mathbb{R}^{-} \iff  \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{B}M}\right) = \pi \quad [2\pi] \iff M \in ]\text{A}\text{B}[$. L'ensemble cherché est donc le segment ouvert ]AB[.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Si $z'$ est l'affixe du point image du point d'affixe $z$ dans la rotation $r$  de centre $\Omega$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$, cette affixe vérifie $z' - \omega = - \text{i}\left(z - \omega\right) \iff \\z' =-\mathrm{i}z+\omega(1+\mathrm{i}) \iff z' = z'=-\mathrm{i}z+(2-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})\iff \boxed{z'=-\mathrm{i}z+3+\mathrm{i}}$.
\item ABC étant rectangle isocèle en A, le centre E du cercle circonscrit  $\Gamma$ est le milieu de [BC] d'affixe 5 et son rayon est égal à $2$.\\
Une rotation est une isométrie donc l'image du cercle $\Gamma$ est le cercle $\Gamma'$ dont le centre est E$'$, image de E par $r$ et de même rayon 2.\\
On a alors : $z_{\text{E}'}= z_{\text{E}}'=-\mathrm{i}z_{\text{E}}+3+\mathrm{i}=-5\mathrm{i}+3+\mathrm{i}=3-4\mathrm{i}$.\\
Une équation paramétrique de $\Gamma '$ est alors : $z-z_{E'}=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, $\theta\in[0~;~2\pi[$ donc : $\boxed{z=3-4\mathrm{i}+2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},~\theta\in[0~;~2\pi[}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\pagebreak

\Exoi{
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $(O\vec u, \vec v)$. On prendra pour unité graphique 1~cm.
\begin{enumerate}
\item  \emph{Question de cours}
On rappelle que : \og Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe 
$z$ on a : $|z|= \|\vect{w}\|$ et arg $(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$ \fg.
Soient $M,~ N$ et $P$ trois points du plan, d'affixes respectives $m,~ n$ et $p$ tels que $m \neq n$ et $m \neq p$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que : arg $\left(\dfrac{p - m}{n - m}\right) 	= \left(\vect{MN},~\vect{MP}\right)$.
		\item Interpréter géométriquement le nombre $\left|\dfrac{p - m}{n - m} \right|$
	\end{enumerate}
\item On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives 
 \[z_{\text{A}} = 4 + \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 1+ \text{i}, \quad  z_{\text{C}} = 5\text{i}~ \text{et}~z_{\text{D}} = -3 -\text{i}.\]
Placer ces points sur une figure.
\item Soit $f$ l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel
que :
 \[z' = (1 +2\text{i})z - 2 -4\text{i}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les images des points A et B par $f$.
		\item Montrer que $f$ admet un unique point invariant $\Omega$, dont on précisera l'affixe $\omega$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre complexe $z$, on a :
\[z'-z =  -2\text{i}(2 - \text{i} - z).\]
		\item	En déduire, pour tout point $M$ différent du point $\Omega$, la valeur de $\dfrac{MM'}{\Omega M}$	et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{M \Omega},~\vect{MM'}\right)$
		\item Quelle est la nature du triangle $\Omega MM'$ ?
		\item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} =  - 1 - \text{i}\sqrt{3}$. écrire $z_{\text{E}}$ sous forme exponentielle puis placer le point E sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point E$'$ associé au point E.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\hrule

\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Exercice 2)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule


\begin{enumerate}
\item Cf. cours.
\item Cf  Figure
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On obtient $z_{\text{A}'} =  5\text{i} = z_{\text{C}}$ et $z_{\text{B}'} = - 3 -  3\text{i} = z_{\text{D}}$.
		\item $M(z)$ est invariant par $f$ si et seulement si $z' = z = (1 + 2\text{i})z - 2 - 4\text{i} \iff 2\text{i}z = 2 + 2\text{i} \iff z = 2 - \text{i}$. L'équation ayant une seule solution, $f$ a un seul point invariant $\Omega$ d'affixe $\omega = 2 - \text{i}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $z' - z = 2\text{i}z - 2 - 4\text{i} = -2\text{i}(2 - \text{i} - z)$.
		\item En prenant le module des deux complexes ci-dessus, on obtient $MM' = |-2 \text{i}| \times \Omega M$ et si $\Omega \neq M,~\dfrac{MM'}{\Omega M} = 2$.\\
L'égalité trouvée au a peut, si $\Omega \neq M$, s'écrire $\dfrac{z' - z}{2 - \text{i} - z} = - 2\text{i}$. En prenant les arguments de ces deux complexes, on obtient $\left(\vect{M \Omega},~\vect{MM'}\right) = - \dfrac{\pi}{2}$. 
		\item On en déduit que le triangle $\Omega MM'$ est un triangle rectangle en $M$.
		\item  On a $\left|z_{\text{E}}\right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$.\\
Donc $z_{\text{E}} = 2 \left(- \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right) = 2 \left[\cos  \left(-\dfrac{2\pi}{3} \right) + \text{i}\sin \left(-\dfrac{2\pi}{3} \right)\right] = 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
\\
Pour placer le point E, il suffit de construire le cercle de centre O et de rayon 2. Le point E est le point de ce cercle d'abscisse 1.
\\
D'après les questions b et c on a EE$'$ = 2$\Omega$E et 
$\left(\vect{E \Omega},~\vect{EE'}\right) = - \dfrac{\pi}{2}$. On construit donc la perpendiculaire en E à la droite (E$\Omega$) et on place sur cette droite le point E$'$ tel que EE$'$ = 2$\Omega$E et $\left(\vect{E \Omega},~\vect{EE'}\right) = - \dfrac{\pi}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-8)(6,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-3)(6,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](4,1)(1,1)(0,5)(-3,-1)(-1,-1.732)(2,-1)
\uput[dr](4,1){A} \uput[dr](1,1){B} \uput[dr](0,5){C} \uput[dr](-3,-1){D}
\pscircle(0,0){2} \uput[dr](-1,-1.732){E} \uput[dr](2,-1){$\Omega$}
\psline(2,-1)(-1,-1.732) \uput[dr](0.464102,-7.732){E$'$}
\psline[linecolor=red](2,-1)(4,1)(0,5)
\psline[linecolor=blue](2,-1)(1,1)(-3,-1)
\psline(0.464102,-7.732)(-1,-1.732)
\end{pspicture}
 \end{center}
\end{document}