\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 1}
\newcommand{\Ch}{Etude de fonctions}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{1}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 1}

\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Maitriser la dérivée, et l'étude de son signe.
\item Maitriser limites, asymptotes.
\item Maitriser TVI.
\item Maitriser Maximum, minimum, liens avec la dérivée (cf tableau de variation)
\end{enumerate}
\end{center}


\Exoi{\hfill \\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R \backslash \{2\}$ par 
$$f(x)= \dfrac{3x-4}{x-2} $$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction $f'$ dérivée de $f$.
\item Etudier le sens de variation de la fonction $f$, puis dresser le tableau de variation complet de $f$.
\end{enumerate} }

\Exoi{\hfill *\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=x- \dfrac{2}{x^2+1}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$.
\item \begin{enumerate}
\item Etudier le signe de $f''(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\item En déduire le sens de variation de la dérivée $f'$.
\end{enumerate} 
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée $f'$ s'annule deux fois, en $-1$ et en $\alpha$ avec $-0,3\leq \alpha\leq -0,2$
\item En déduire le signe de la dérivée $f'$, puis les variations de la fonction $f$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}}
\Exoi{\hfill *\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=-x+ \sqrt{x^2+8}$$ et $\mathscr C$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est décroissante sur $\R$ à l'aide du signe de $f'(x)$.
\item Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ et démontrer que $\mathscr C$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=-2x$ et l'axe des abscisses.
\item Tracer $\mathscr C$ dans un repère orthonormal (on prendra $2$ cm pour unité graphique).
\end{enumerate}}
\Exoi{\hfill \\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$ f(x)=x^3-3x^2$$
Dénombrer les solutions des équations suivantes : $$ f(x)=-1\qquad \text{et}\qquad f(x)=-5$$}
\pagebreak
\Exoi{\hfill **\\
Afin de dénombrer les solutions de l'équation  :
$$ x(x^3-6x+1)=-1$$
on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$$ f(x)=x(x^3-6x+1)$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et la dérivée seconde $f''$ de $f$.
\item Dénombrer les solutions de l'équation :
$$ 4x^3-12x+1=0$$
En donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$
\item En déduire le signe de la fonction $f'$, puis le tableau des variations de la fonction $f$.
\item Conclure quant au nombre de solutions de l'équation proposée.
\end{enumerate}}
\Exoi{\hfill **\\
Calculer en utilisant la notion de dérivée, les limites suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \Lim{0} \dfrac{\sqrt{x+4}-2 }{x}$
\item $\Lim{0} \dfrac{\sin x}{x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}
\Exoi{\hfill ***\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x}{1+\mid x\mid}$$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est bornée sur $\R$ par $1$.
\item Etudier la parité de $f$.
\item Etudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
\item Etudier les variations de $f$, en déduire que l'équation $f(x)=\lambda$ pour $\lambda\in]-1;1[$ admet une unique solution dans $\R$
\end{enumerate}}
\end{document}