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\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 15}
\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie dans l'espace (produit scalaire)}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{15}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 15}



\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Représentation paramétrique de droites
\item Intersection de plans, de droites et de plans, de trois plans, ect...
\item Distance d'un point à un plan.
\end{enumerate}
\end{center}

\section{Métropole Sept. 2010}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
 
Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'équation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une représentation paramétrique est 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& - t + 1\\ 
y& =&2t \\
z& =& -t + 2
\end{array}\right. 
\text{où}~ t~ \text{désigne un nombre réel.}\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier. 
		\item  Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(\mathcal{Q})$. 
		\item Calculer les coordonnées du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$. 
		\item Montrer que CI $= \sqrt{3}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $t,~ \text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$. 
		\item Montrer que CI est la valeur minimale de C$M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\hrule
\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Métropole septembre 2010)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule

%L'espace est rapport� � un rep�re orthonormal \Oijk.
 
%Soit $(\mathcal{P})$ le plan d'�quation : $3x + y - z -1 = 0$ et $(\mathcal{D})$ la droite dont une repr�sentation param�trique est 

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x& =& - t + 1\\ 
%y& =&2t \\
%z& =& -t + 2
%\end{array}\right. 
%\text{o�}~ t~ \text{d�signe un nombre r�el.}\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Le point C(1~;~3~;~2) appartient-il au plan $(\mathcal{P})$ ? Justifier.
C(1~;~3~;~2)$ \in (\mathcal{P}) \iff 3 \times 1 + 3 - 2 - 1 = 0 \iff 3 = 0$, faux. Le point C n'appartient pas au plan $(\mathcal{P})$.		 
		\item  %D�montrer que la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$.
Soit $M$ un point de $(\mathcal{D})$.

$M \in (\mathcal{P}) \iff 3 (-t + 1) + 2t - (- t + 2) - 1 = 0 \iff  -3t + 3 + 2t + t - 2 - 1 = 0$, vrai quel que soit $t$.

Tout point de $(\mathcal{D})$ est un point de $(\mathcal{P})$, donc la droite $(\mathcal{D})$ est incluse dans le plan $(\mathcal{P})$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point C et orthogonal � la droite $(\mathcal{D})$. 
	\begin{enumerate}
		\item %D�terminer une �quation cart�sienne du plan $(\mathcal{Q})$.
Un vecteur normal au plan  $(\mathcal{Q})$ est un vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ ; d'après la représentation paramétrique les coordonnées d'un vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ sont $(-1~;~2~;~-1)$.

Une équation du plan $(\mathcal{Q})$ est donc :

$M(x~;~y~;~z) \in (\mathcal{Q}) \iff -x + 2y - z + d = 0$.

Or C(1~;~3~;~2)$ \in (\mathcal{Q}) \iff - 1 + 2 \times 3 - 2 + d = 0 \iff 3 + d = 0 \iff d = - 3$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\mathcal{Q}) \iff -x + 2y - z - 3 = 0$.
		\item %Calculer les coordonn�es du point I, point d'intersection du plan $(\mathcal{Q})$ et de la droite $(\mathcal{D})$.
Soit $M(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$ un point de $(\mathcal{D})$.

$M \in   (\mathcal{Q}) \iff - (- t + 1) + 2 \times 2t - (- t + 2) - 3 = 0 \iff t - 1 + 4t + t - 2 - 3 = 0 \iff 6t  - 6 = 0 \iff t = 1$.

Donc le point commun I à $(\mathcal{Q})$ et à la droite $(\mathcal{D})$ a pour coordonnées $\left(- 1 + 1~;~2 \times 1~;~- 1 + 2\right) = \left(0~;~2~;~1\right)$.
		\item %Montrer que CI $= \sqrt{3}$.
On a $\vect{\text{CI}}\left(- 1~;~- 1~;~- 1\right)$.
		
Donc CI$^2	 = 	\vect{\text{CI}} \cdot \vect{\text{CI}} = 1 + 1 + 1 = 3$. 

Conclusion CI $ = \sqrt{3}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $t$ un nombre réel et $M_{t}$ le point de la droite $(\mathcal{D})$ de coordonnées $(- t + 1~;~2t~;~- t + 2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %V�rifier que pour tout nombre r�el $t,~ \text{C}M_{t}^2 = 6t^2 - 12t + 9$.
On calcule les coordonnées de $\vect{\text{C}M_{t}}(- t + 1 - 1~;~2t - 3~;~- t + 2 -2)$ soit $(- t~;~2t - 3~;~t)$.
 
On a $\text{C}M_{t}^2 = \vect{\text{C}M_{t}} \cdot \vect{\text{C}M_{t}} = (- t)^2 + (2t - 3)^2 + t^2 = t^2  + 4t^2 + 9 - 12t + t^2 = 6t^2 - 12t + 9$.
		\item %Montrer que CI est la valeur minimale de C$M_{t}$ lorsque $t$ d�crit l'ensemble des nombres r�els.
$\text{C}M_{t}^2  = 6t^2 - 12t + 9 = 6\left(t^2 - 2t + \dfrac{9}{6}\right) = 6\left[(t^2 - 2t + 1) - 1 + \dfrac{3}{2} \right] = 6\left[(t - 1)^2 + \dfrac{1}{2} \right]$.

Le minimum de ce trinôme somme de deux carrés est obtenue lorsque le premier carré est nul soit pour $t = 1$ et la valeur minimale de trinôme est égale à  $\text{C}M_{t}^2 = 6 \times \dfrac{1}{2} = 3  \Rightarrow \text{C}M_{t} = \sqrt{3}$. CI est bien la valeur minimale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section{QCM type}

\emph{Dans cet exercice, les questions sont indépendantes.}

\emph{Pour chaque question, une seule des trois 
propositions a), b) ou c) est exacte. On demande d'indiquer laquelle 
sans justification.}


\emph{A chaque question est affecté un certain nombre de 
points. Pour chaque question, une réponse  exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la  moitié du nombre de points affectés.}

\emph{Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n'en enlèvent aucun.}
 
\emph{Si le total est négatif, la note est ramenée à} 0.

 L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

\begin{enumerate} 
\item	L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\| 
\vect{M\text{A}}\| = \|\vect{M\text{B}}\|$ est :

\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item l'ensemble vide
\item un plan
\item une sphère
\end{enumerate}
\end{multicols}


\item	On considère les points A(0 ; 1 ; $-2$) et B(2 ; 1 ; 0).

 Les coordonnées du barycentre $G$ de (A ; 1) et (B ; 3) sont :
 
 \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item  G(6 ; 4 ; -2)
\item G(1,5 ; 1 ; -0,5)
\item G(0,5 ; 1 ; 1,5)
\end{enumerate}
\end{multicols}
	

	
\item La droite $d$ a pour représentation paramétrique $x=2-t~;~y 
=3t~;~z = -3,~ t \in \R$.

 On considère les points A(2 ; 3; $-3$), B(2; 0 ; $-3$) et 
C(0 ; 6; 0). On a :


 \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $d$ = (AB)
\item $d$ = 
(BC)
\item $d \neq$ (AB) et $d \neq $ (BC) et $d \neq $ (CA)
\end{enumerate}
\end{multicols}

	
\item Les droites de représentations paramétriques respectives :

$$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2+t\\
y& =& 1-t\\
z&=&1 +t, t \in R,\end{array}\right.
	~~~\qquad \text{et}\qquad~\qquad~\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -t'\\
y& =& 2-1,5t'\\
z& =& 3+t',~ t' \in R\end{array}\right.$$
	admettent comme point commun :
	
	 \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item I(3 ; 0 ; 2)
\item  J(2 ; 1 ; 1)
\item K(0 ; 2 ; $-3$)
\end{enumerate}
\end{multicols}


	
\item Les droites de représentations paramétriques respectives :

$$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1\\
y &=& 1+2t\\
z &=& 1+t,~ t \in R,\end{array}\right.~~\qquad \text{et} \qquad~ \qquad~
\left\{\begin{array}{l c l}
x &= &3-2t'\\
y &=& 7-4t'\\
z &=& 2-t',~ t' \in R\end{array}\right.$$

 sont :
 
 	 \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item parallèles
\item sécantes
\item non coplanaires
\end{enumerate}
\end{multicols}
	


\item	La droite de représentation paramétrique $x = -4t~ ;~ y =  
1 + 3t~ ;~ z  = 2 + 2t,~ t \in \R$ et le plan d'équation $x - 2y + 5z - 
1 = 0$ sont :

 	 \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item orthogonaux
\item parallèles
\item ni orthogonaux ni
parallèles
\end{enumerate}
\end{multicols}
 

\item	L'ensemble des points tels que $x - y + 2z - 1 = 
0$ et $-2x + 4y - 4z + 1 = 0$ est :

 	 \begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item l'ensemble vide
\item une droite
\item un plan
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\end{document}