\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} \newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 14} \newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie dans l'espace (produit scalaire)} \newcommand{\Cl}{TS} \newcommand{\Annee}{2010-2011} \newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle \newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Package %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_dwicky_final.tex \geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm} \setcounter{NumLecon}{12} %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra} \usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes} \usepackage[upright]{fourier} \let\danger\undefined \DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}% \DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}% \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{varioref} \usepackage[matrix,arrow]{xy} \usepackage{graphics,graphicx} \usepackage{epic,eepic} \usepackage{pstricks,pst-plot} \usepackage{ecltree} \newcommand{\arbre}[8]{\unitlength 1cm \begin{picture}(11.4,7.5)(-0.5,-7) \put(2.8,-1.75){\makebox(0,0){\small #2}} \thinlines \path(2.2667,-2.0047)(2.4,-2)(2.3374,-2.1177) \path(0.8,-3)(2.4,-2) \path(2.3374,-4.3823)(2.4,-4.5)(2.2667,-4.4953) \path(0.8,-3.5)(2.4,-4.5) \put(2.8,-4.75){\makebox(0,0){\small $\overline{#2}$}} \put(1.2,-2.25){\makebox(0,0){\small #1}} \put(1.2,-4.25){\makebox(0,0){\small #6}} \put(5.2,-2.75){\makebox(0,0){\small $\overline{#4}$}} \put(5.2,-3.75){\makebox(0,0){\small #4}} \path(4.6678,-0.8995)(4.8,-0.9167)(4.7191,-1.0226) \path(3.2,-1.5833)(4.8,-0.9167) \path(4.7191,-2.4774)(4.8,-2.5833)(4.6678,-2.6005) \path(3.2,-1.9167)(4.8,-2.5833) \path(4.6678,-3.8995)(4.8,-3.9167)(4.7191,-4.0226) \path(3.2,-4.5833)(4.8,-3.9167) \path(4.7191,-5.4774)(4.8,-5.5833)(4.6678,-5.6005) \path(3.2,-4.9167)(4.8,-5.5833) \put(5.2,-0.75){\makebox(0,0){\small #4}} \put(5.2,-5.75){\makebox(0,0){\small $\overline{#4}$}} \put(3.6,-0.75){\makebox(0,0){\small #3}} \put(3.6,-2.75){\makebox(0,0){\small #5}} \put(3.6,-3.75){\makebox(0,0){\small #7}} \put(3.6,-5.25){\makebox(0,0){\small #8}} \end{picture} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Premiere page \begin{document} \setcounter{NumLecon}{14} \debutAiDav \Cr{Tutorat-séance 14} \begin{center} \textit{\textbf{Objectifs}} : \begin{enumerate} \item Représentation paramétrique de droites \item Intersection de plans, de droites et de plans, de trois plans, ect... \item Distance d'un point à un plan. \end{enumerate} \end{center} \Exoi{Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ dans chacun des cas suivants : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\mathscr D$ passe par $A(-1;2;3)$ et $B(1;-1;1)$. \item $\mathscr D$ passe par $A(5;6;7)$ et est dirigée par $\vec{d}(0;1;2)$. \item $\mathscr D$ passe par $A(-1;-5;3)$ et $B(5;-1;1)$. \item $\mathscr D$ passe par $A(3;-6;7)$ et est dirigée par $\vec{d}(3;-1;-2)$. \end{enumerate} \end{multicols}} \Exoi{Déterminer une équation du plan $\mathscr P$ dans chacun des cas suivants : \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\mathscr P$ passe par $A(-1;2;3)$ et est orthogonal à $\vec{n}(2;3;5)$ \item $\mathscr P$ passe par $A(2;6;7)$, $B(-3;4;6)$ et $C(1;0;0)$. \item $\mathscr P$ passe par $A(-1;-2;-3)$ et est orthogonal à $\vec{n}(0;1;2)$ \item $\mathscr P$ passe par $A(1;2;3)$, $B(4;5;6)$ et $C(7;8;9)$. \end{enumerate} \end{multicols} } \Exoi{Déterminer l'intersection éventuelle de la droite $\mathscr D$ et du plan $\mathscr P$ sachant qu'une représentation paramétrique de $\mathscr D$ est : $$ \left\{ \begin{array}{l} x=2+3t\\ y=1-2t \\ z=3 \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$$ et une équation cartésienne de $\mathscr P$ est : $$ 3x-2y+z=3$$ } \Exoi{On donne $A(5;0;1)$, $B(2;3;4)$, $C(1;1;1)$ et $D(0;0;3)$. \\ Etudier l'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$.} \Exoi{On considère les plans $\mathscr P$ d'équation :$x+y-2=0$ et $\mathscr Q$ d'équation $-x+2y+z=0$. Déterminer l'éventuelle intersection des plans $P$ et $Q$. } \Exoi{On considère trois plans $\mathscr P$, $\mathscr Q$ et $\mathscr R$ dont on connaît une équation cartésienne : $$ P : 2x-y+z=2\quad \text{ et }\quad \mathscr Q : 4x-2y+3z=1\quad \text{ et }\quad R : x+y+z=1$$ Etudier l'intersection des plans $P$, $Q$ et $R$.} \Exoi{Calculer la distance du point $A$ au plan $\mathscr P$ : \begin{enumerate} \item $A(1;0;2)$ et $\mathscr P : 2x-2y=3$ \item $A(2;1;1)$ et $\mathscr P$ est le plan passant par $B(1;0;0)$, de vecteur normal $\vec{n}(2;3;4)$. \end{enumerate}} \pagebreak \section*{Nouvelle calédonie (Mars 2011)} L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec i, \vec{j}, \vec{k})$. On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC. \item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. \item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. \item Soient $\mathscr{P}_{1}$, et $\mathscr{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et $x - 2y + 6z = 0$. Montrer que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathscr{D}$ dont un système d'équations paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-2\\ y&=& -1 + 3t\\ z&=&t \end{array}\right.,~t \in \R$. \item Démontrer que la droite $\mathscr{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. \item Soit $\mathscr{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. \begin{enumerate} \item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathscr{S}$. \medskip \emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip \item Etudier l'intersection de la sphère $\mathscr{S}$ et de la droite $\mathscr{D}$. \item Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathscr{S}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \pagebreak \hrule \vspace*{3mm} \begin{center} \textbf{Eléments de correction (Nouvelle Calédonie Mars 2011)} \end{center} \vspace*{3mm} \hrule \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC. On a $\vect{\text{AB}}(3~;~2~;~-2), \quad \vect{\text{AC}}(0~;~2~;~1)$, d'où $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = 0 + 4 - 2 = 2$. On a AB$^2 = \vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AB}} = 9 + 4 + 4 = 17$ ; donc AB = $\sqrt{17}$ ; AC$^2 = \vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{AC}} = 0 + 4 + 1 = 5$, donc AC $ = \sqrt{5}$. \item %En d�duire une valeur approch�e arrondie au degr� pr�s de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. On sait que le produit scalaire peut aussi s'écrire : $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos \widehat{\text{BAC}}$, soit : $2 = \sqrt{17} \times \sqrt{5} \times \cos \widehat{\text{BAC}} \iff \cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{2}{\sqrt{85}} \Rightarrow \widehat{\text{BAC}} \approx 77~$\degres. \item %En d�duire que les points A, B et C ne sont pas align�s. L'angle $\widehat{\text{BAC}}$ n'étant ni nul, ni plat, les points A, B et C ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item %V�rifier qu'une �quation cart�sienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. On a : $(-2~;~0~;~1)$ vérifie $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff - 4 - 0 + 2 + 2 = 0$ égalité vraie ; $(1~;~2~;~-1)$ vérifie $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff 2 - 2 - 2 + 2 = 0$ égalité vraie ; $(-2~;~2~;~ 2)$ vérifie $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff - 4 - 2 + 4 + 2 = 0$ égalité vraie. Les coordonnées des trois points non alignés A, B et C vérifient l'équation : cette équation est donc l'une des équations du plan (ABC). \item %Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'�quations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et %$x - 2y + 6z = 0$. %Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont s�cants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un syst�me d'�quations $\mathcal{P}_{1}$ a pour vecteur normal $\vect{n_{1}}(1~;~1~;~-3)$ ; $\mathcal{P}_{2}$ a pour vecteur normal $\vect{n_{2}}(1~;~- 2~;~6)$. $\vect{n_{1}}$ et $\vect{n_{2}}$ ne sont manifestement pas colinéaires, donc les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ ne sont pas parallèles et distincts : ils sont donc sécants suivant une droite $\mathcal{D}$ dont les coordonnées vérifient : $\left\{\begin{array}{l c l} x + y - 3z + 3 &=& 0\\ x - 2y + 6z &=& 0\\ \end{array}\right.$ soit en posant $z = t$ : $\left\{\begin{array}{l c l} x + y + 3 &=& 3z\\ x - 2y &=& -6z\\ z &=& t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x + y + 3 &=& 3t\\ x - 2y &=& -6t\\ z &=& t \end{array}\right. \iff$ $(\text{par différence des deux premières équations} \quad \left\{\begin{array}{l c l} 3y + 3 &=& 9t\\ x - 2y &=& -6t\\ z &=& t \end{array}\right. \iff$ $ \left\{\begin{array}{l c l} y &=& 3t - 1\\ x &=&2y -6t\\ z &=& t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} y &=& 3t - 1\\ x &=&6t - 2 - 6t\\ z &=& t \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} x &=& - 2\\ y &=& -1 + 3t\\ z &=&t \end{array}\right.,~ t \in \R$. \item %D�montrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont s�cants et d�terminer les coordonn�es de leur point d'intersection. $\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vect{u}(0~;~3~;~1)$ et le plan (ABC) apour vecteur normal $\vect{v}(2~;~- 1~;~2)$. Comme $\vect{u} \cdot \vect{v} = - 3 + 2 = - 1 \neq 0$, ces vecteurs ne sont pas orthognaux, donc la droite $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle au plan (ABC). Le point commun est tel que $x = - 2,~y = 3t - 1,~z = t$ et $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff - 4 - 3t + 1 + 2t + 2 = 0 \iff - 1 = t$. Le point commun à $\mathcal{D}$ et au plan (ABC) a pour coordonnées $(- 2~;~- 4~;~- 1)$. \item %Soit $\mathcal{S}$ la sph�re de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. \begin{enumerate} \item %Donner une �quation cart�sienne de la sph�re $\mathcal{S}$. $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{S} \iff \Omega M^2 = 3^2 = 9 \iff (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 9 \iff x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 6y - 2z + 2 = 0$. \medskip %\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, m�me incompl�te, ou d'initiative m�me non fructueuse, sera prise en compte dans l'�valuation.} \medskip \item %�tudier l'intersection de la sph�re $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. $M(- 2~;~3t - 1~;~t) \in \mathcal{S} \iff (- 2)^2 + (3t - 1)^2 + t^2 - 2 \times (- 2) + 6(3t - 1) - 2t + 2 = 0 \iff 4 + 9t^2 + 1 - 6t + t^2 + 4 + 18t - 6 - 2t + 2 = 0 \iff 10t^2 + 10t + 5 = 0 \iff 2t^2 + 2t + 1 = 0$. On a $\Delta = 4 - 8 = - 4 < 0$ : il n'y a pas de solution : conclusion la droite $\mathcal{D}$ ne coupe pas la sphère. \item %D�montrer que le plan (ABC) est tangent � la sph�re $\mathcal{S}$. Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$, c'est démontrer que la distance du point $\Omega$ au plan (ABC) est égal au rayon de la sphère. Or $d(\Omega,~(\text{ABC})) = \dfrac{\left|2\times 1 - (- 3) + 2\times 1 + 2 \right|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{2 + 3 + 2 + 2}{\sqrt{9}} = \dfrac{9}{3} = 3 = r$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}