\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 14}
\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie dans l'espace (produit scalaire)}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{14}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 14}



\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Représentation paramétrique de droites
\item Intersection de plans, de droites et de plans, de trois plans, ect...
\item Distance d'un point à un plan.
\end{enumerate}
\end{center}

\Exoi{Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ dans chacun des cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\mathscr D$ passe par $A(-1;2;3)$ et $B(1;-1;1)$.
\item $\mathscr D$ passe par $A(5;6;7)$ et est dirigée par $\vec{d}(0;1;2)$.
\item $\mathscr D$ passe par $A(-1;-5;3)$ et $B(5;-1;1)$.
\item $\mathscr D$ passe par $A(3;-6;7)$ et est dirigée par $\vec{d}(3;-1;-2)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Déterminer une équation du plan $\mathscr P$ dans chacun des cas suivants :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\mathscr P$ passe par $A(-1;2;3)$ et est orthogonal à $\vec{n}(2;3;5)$
\item $\mathscr P$ passe par $A(2;6;7)$, $B(-3;4;6)$ et $C(1;0;0)$.
\item $\mathscr P$ passe par $A(-1;-2;-3)$ et est orthogonal à $\vec{n}(0;1;2)$
\item $\mathscr P$ passe par $A(1;2;3)$, $B(4;5;6)$ et $C(7;8;9)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
}

\Exoi{Déterminer l'intersection éventuelle de la droite $\mathscr D$ et du plan $\mathscr P$ sachant qu'une représentation paramétrique de $\mathscr D$ est  :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} x=2+3t\\ y=1-2t \\ z=3  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$$
 et une équation cartésienne de $\mathscr P$ est :
 $$ 3x-2y+z=3$$
}

\Exoi{On donne $A(5;0;1)$, $B(2;3;4)$, $C(1;1;1)$ et $D(0;0;3)$. \\
Etudier l'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$.}

\Exoi{On considère les plans $\mathscr P$ d'équation :$x+y-2=0$ et $\mathscr Q$ d'équation $-x+2y+z=0$. Déterminer l'éventuelle intersection des plans $P$ et $Q$. }

\Exoi{On considère trois plans $\mathscr P$, $\mathscr Q$ et $\mathscr R$ dont on connaît une équation cartésienne :
$$ P : 2x-y+z=2\quad \text{ et }\quad \mathscr Q : 4x-2y+3z=1\quad \text{ et }\quad R : x+y+z=1$$
Etudier l'intersection des plans $P$, $Q$ et $R$.}

\Exoi{Calculer la distance du point $A$ au plan $\mathscr P$ :
\begin{enumerate}
\item $A(1;0;2)$ et $\mathscr P : 2x-2y=3$
\item $A(2;1;1)$ et $\mathscr P$ est le plan passant par $B(1;0;0)$, de vecteur normal $\vec{n}(2;3;4)$.
\end{enumerate}}
\pagebreak

\section*{Nouvelle calédonie (Mars 2011)}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec i, \vec{j}, \vec{k})$.
 
On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.  
		\item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		\item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. 
\item Soient $\mathscr{P}_{1}$, et $\mathscr{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et $x - 2y + 6z = 0$.

Montrer que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathscr{D}$ dont un système d'équations
paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2\\
y&=& -1 +  3t\\
z&=&t
\end{array}\right.,~t \in  \R$. 
\item Démontrer que la droite $\mathscr{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. 
\item  Soit $\mathscr{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathscr{S}$.
		
\medskip
		 
\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
		\item Etudier l'intersection de la sphère $\mathscr{S}$ et de la droite $\mathscr{D}$. 
		\item Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathscr{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\pagebreak

\hrule
\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Nouvelle Calédonie Mars 2011)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.
On a  $\vect{\text{AB}}(3~;~2~;~-2), \quad \vect{\text{AC}}(0~;~2~;~1)$, d'où $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = 0 + 4 - 2 = 2$.

On a AB$^2 = \vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AB}} = 9 + 4 + 4 = 17$ ; donc AB = $\sqrt{17}$ ;

AC$^2 = \vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{AC}} = 0 + 4 + 1 = 5$, donc AC $ = \sqrt{5}$.
		\item %En d�duire une valeur approch�e arrondie au degr� pr�s de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
On sait que le produit scalaire peut aussi s'écrire :

$\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos \widehat{\text{BAC}}$, soit :

$2 = \sqrt{17} \times \sqrt{5} \times \cos \widehat{\text{BAC}} \iff \cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{2}{\sqrt{85}} \Rightarrow \widehat{\text{BAC}} \approx 77~$\degres. 
		\item %En d�duire que les points A, B et C ne sont pas align�s.
L'angle $\widehat{\text{BAC}}$ n'étant ni nul, ni plat, les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item %V�rifier qu'une �quation cart�sienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$.

On a :  $(-2~;~0~;~1)$ vérifie $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff - 4  - 0 + 2 + 2 = 0$ égalité vraie ;

$(1~;~2~;~-1)$ vérifie $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff 2 - 2 - 2 + 2 = 0$ égalité vraie ;

$(-2~;~2~;~ 2)$ vérifie $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff - 4  - 2 + 4 + 2 = 0$ égalité vraie.

Les coordonnées des trois points non alignés A, B et C vérifient l'équation : cette équation est donc l'une des équations du plan (ABC).
\item %Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'�quations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et

%$x - 2y + 6z = 0$.

%Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont s�cants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un syst�me d'�quations
$\mathcal{P}_{1}$ a pour vecteur normal $\vect{n_{1}}(1~;~1~;~-3)$ ; $\mathcal{P}_{2}$ a pour vecteur normal $\vect{n_{2}}(1~;~- 2~;~6)$.

$\vect{n_{1}}$ et $\vect{n_{2}}$ ne sont manifestement pas colinéaires, donc les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ ne sont pas parallèles et distincts : ils sont donc sécants suivant une droite $\mathcal{D}$ dont les coordonnées vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 3z + 3 &=& 0\\
x - 2y + 6z &=& 0\\
\end{array}\right.$ soit en posant $z = t$ : 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y  + 3 	&=& 3z\\
x - 2y  	&=& -6z\\
z 			&=& t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x + y  + 3 	&=& 3t\\
x - 2y  	&=& -6t\\
z 			&=& t
\end{array}\right. \iff$ 

$(\text{par différence des deux premières équations} \quad  \left\{\begin{array}{l c l}
3y  + 3 	&=& 9t\\
x - 2y  	&=& -6t\\
z 			&=& t
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
y 	&=& 3t - 1\\
x   &=&2y -6t\\
z 	&=& t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y 	&=& 3t - 1\\
x   &=&6t - 2 - 6t\\
z 	&=& t
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x  	&=& - 2\\
y	&=& -1 +  3t\\
z	&=&t
\end{array}\right.,~ t \in  \R$.
 
\item %D�montrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont s�cants et d�terminer les coordonn�es de leur point d'intersection.
$\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vect{u}(0~;~3~;~1)$ et le plan (ABC) apour vecteur normal $\vect{v}(2~;~- 1~;~2)$. Comme $\vect{u} \cdot \vect{v} = - 3 + 2 = - 1 \neq 0$, ces vecteurs ne sont pas orthognaux, donc la droite $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle au plan (ABC).

Le point commun est tel que $x = - 2,~y = 3t - 1,~z = t$ et $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff - 4 - 3t + 1  + 2t + 2 = 0 \iff - 1 = t$.

Le point commun à $\mathcal{D}$ et au  plan (ABC) a pour coordonnées $(- 2~;~- 4~;~- 1)$.
\item  %Soit $\mathcal{S}$ la sph�re de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une �quation cart�sienne de la sph�re $\mathcal{S}$.
$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{S} \iff 	\Omega M^2 = 3^2 = 9 \iff (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 9 \iff x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 6y - 2z + 2 = 0$.	
\medskip
		 
%\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, m�me incompl�te, ou d'initiative m�me non fructueuse, sera prise en compte dans l'�valuation.}

\medskip
 
		\item  %�tudier l'intersection de la sph�re $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
$M(- 2~;~3t - 1~;~t) \in \mathcal{S} \iff  (- 2)^2 + (3t - 1)^2 + t^2 - 2 \times (- 2) + 6(3t - 1) - 2t + 2 = 0 \iff 4 + 9t^2 + 1 - 6t + t^2 + 4 + 18t - 6 - 2t + 2 = 0 \iff 10t^2 + 10t  + 5 = 0 \iff 2t^2 + 2t + 1 = 0$.

On a $\Delta = 4 - 8 = - 4 < 0$ : il n'y a pas de solution : conclusion la droite $\mathcal{D}$ ne coupe pas la sphère.
		\item  %D�montrer que le plan (ABC) est tangent � la sph�re $\mathcal{S}$.
Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$, c'est démontrer que la distance du point $\Omega$ au plan (ABC) est égal au rayon de la sphère.

Or $d(\Omega,~(\text{ABC})) = \dfrac{\left|2\times 1 - (- 3) + 2\times 1 + 2  \right|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{2 + 3 + 2 + 2}{\sqrt{9}} = \dfrac{9}{3} = 3 = r$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}