\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 11}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es discr\`tes}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{12}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 12}



\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Probabilités conditionnelles et Probabilité totale.
\item Loi binomiale.
\end{enumerate}
\end{center}

\Exoi{On lance $n$ pièces de monnaie ($n \geq 1$). On note $A$ l'événement \og obtenir au moins une fois face (sur l'ensemble des $n$ lancers) \fg.
\begin{enumerate}
\item Décrire l'événement  $\overline{A}$ à l'aide d'une phrase.
\item Faire un arbre et calculer $p(A)$ dans le cas où $n = 3$.
\item Dans cette question, on suppose $n$ quelconque. Exprimer $p(A)$
 en fonction de $n$.
 \item Combien de pièces faut-il lancer pour que la probabilité d'obtenir au moins une fois \og face \fg{} soit supérieure à 
$\dfrac{7}{8}$
?
\end{enumerate}}


\Exoi{\hfill (Métropole Juin 2009)\\
\textbf{I.} \emph{Cette question est une restitution organisée de connaissances. }\\
\emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant  n$ alors 	} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$.
\\Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $$\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$$
\\
\textbf{II.}  Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
 \\
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. 
\\
On tire simultanément deux jetons de ce sac. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On note A l'événement \og obtenir deux jetons blancs \fg. 
		\\
 Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à $\dfrac{7}{15}$. 
	\item On note B l'événement \og obtenir deux jetons portant des numéros impairs \fg. 
	\\
Calculer la probabilité de B. 
	\item Les événements A et B sont-ils indépendants ? 
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de' jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
	\item  Calculer l'espèrance mathématique de $X$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate} 
}

\hrule
\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Métropole Juin 2009)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule

\begin{enumerate}
	\item[\textbf{I.}] ${n-1 \choose p-1}+{n-1 \choose p}
	=\frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-1-(p-1))!}+\frac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}
	=\frac{p(n-1)!}{p!(n-p)!}+\frac{(n-p)(n-1)!}{p!(n-p)!}
	=\frac{(n-1)!(p+n-p)}{p!(n-p)!}
	=\frac{n!}{p!(n-p)!}
	={n \choose p} \quad\Box$ \\
	\item[\textbf{II.1.a.}] Les jetons sont indiscernables au toucher donc on peut légitimement supposer qu'on se trouve dans une situation d'équiprobabilité. Il y a ${10 \choose 2}$ manières de choisir $2$ jetons parmi $10$ et il y a ${7 \choose 2}$ manières de choisir $2$ jetons blancs parmi les $7$ jetons blancs. Donc $$p(A)=\frac{{7 \choose 2}}{{10 \choose 2}}=\frac{7}{15}$$
	\item[\textbf{II.1.b.}] De même, $6$ jetons portent des numéros impairs donc
	$
	p(B)=\frac{{6 \choose 2}}{{10 \choose 2}}=\frac{1}{3}
	$.
	\item[\textbf{II.1.c.}] De même, $4$ jetons blancs portent des numéros impairs donc
	$
	p(A\cap B)=\frac{{4 \choose 2}}{{10 \choose 2}}=\frac{2}{15}
	$.
	Ainsi, $p(A)\times p(B)=\frac{7}{15}\times \frac{1}{3}=\frac{7}{45}$ alors que $p(A\cap B)=\frac{2}{15}=\frac{6}{45}$ donc $p(A)\times p(B)\not = p(A\cap B)$ donc \fbox{les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants}.
	\item[\textbf{II.2.a.}] La variable aléatoire $X$ peut valoir $0$, $1$ ou $2$.\\
	$p(X=0)=\frac{{7 \choose 0}\times {3 \choose 2}}{{10 \choose 2}}=\frac{1}{15}$ , \\
	$p(X=1)=\frac{{7 \choose 1}\times {3 \choose 1}}{{10 \choose 2}}=\frac{7}{15}$ , \\
	$p(X=2)=\frac{{7 \choose 2}\times {3 \choose 0}}{{10 \choose 2}}=\frac{7}{15}$ . D'où :\\
	
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline
$k$ & $0$ & $1$ & $2$ \\ \hline
$p(X=k)$ & $\frac{1}{15}$ & $\frac{7}{15}$ & $\frac{7}{15}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\item[\textbf{II.2.b.}] $E(X)=0\times\frac{1}{15}+1\times\frac{7}{15}+2\times\frac{7}{15}=\frac{7}{5}$ : \fbox{$E(X)=\frac{7}{5}$}\\
\end{enumerate}


\Exoi{\hfill (Centre étrangers Juin 2009)
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}\\
\textbf{Prérequis :} On rappelle que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si : $$p( A \cap  B) = p(A) \times p(B)$$
Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
	\item Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Application :} Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux événements indépendants : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $R$ : \og  il n'entend pas son réveil sonner \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $S$ : \og  Son scooter, mal entretenu, tombe en panne \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
II a observé que chaque jour de classe, la probabilité de $R$ est égale $0,1$ et que celle de $S$ est égale à $0,05$. Lorsque qu'au moins l'un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure. 
\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne. 
	\item Calculer la probabilité que Stéphane soit à l'heure au lycée un jour de classe donné. 
	\item Au cours d'une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu'il entende son réveil sonner un jour de classe donné n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants. 
	\\
Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}}

\hrule
\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Centre étranger Juin 2009)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule


\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}
 
 
%\medskip
% 
%\textbf{Pr�requis :} On rappelle que deux �v�nements $A$ et $B$ sont ind�pendants pour la probabilit� $p$ si et seulement si : $p( A \cap  B) = p(A) \times p(B)$. 

%\medskip

%Soient $A$ et $B$ deux �v�nements associ�s � une exp�rience al�atoire 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
		On a $B = (B \cap A) \cup  (B \cap \overline{A})$, et il s'agit d'une réunion disjointe, par conséquent :
		$$ P(B)= P(B\cap A)+P(B\cap \overline{A})$$
	\item %Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
	Comme $A$ et $B$ sont indépendants alors $$ P(A\cap B)=P(A)P(B)$$
	Par conséquent, en utilisant $1.$ $$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(\overline{A})$$
	\end{enumerate}
	
\item %\textbf{Application :} Chaque matin de classe, St�phane peut �tre victime de deux �v�nements ind�pendants : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $R$ : \og  il n'entend pas son r�veil sonner \fg{} ; 
%\item[$\bullet~$] $S$ : \og  Son scooter, mal entretenu, tombe en panne \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%\medskip

%II a observ� que chaque jour de classe, la probabilit� de $R$ est �gale $0,1$ et que celle de $S$ est �gale � $0,05$. Lorsque qu'au moins l'un des deux �v�nements se produit, St�phane est en retard au lyc�e sinon il est � l'heure. 

\begin{enumerate}
	\item %Calculer la probabilit� qu'un jour de classe donn�, St�phane entende son r�veil sonner et que son scooter tombe en panne.
	Il faut calculer $p\left(\overline{R} \cap S\right)$.
	
Les événements $R$ et $S$ étant manifestements indépendants, $\overline{R}$ et $S$ le sont aussi.

Donc $p\left(\overline{R} \cap S\right) = p\left(\overline{R}\right) \times p(S) = (1 - 0,1) \times 0,05 = 0,9 \times 0,05 = 0,045.$ 
	\item %Calculer la probabilit� que St�phane soit � l'heure au lyc�e un jour de classe donn�.
Il faut que Stéphane entende son réveil et que son scooter marche. La probabilité qu'il soit à l'heure est donc égale à $p\left(\overline{R} \cap \overline{S} \right)$.

D'après la propriété démontrée au-dessus $\overline{R}$ et $\overline{S}$ sont indépendants, donc 
\[	p\left(\overline{R} \cap \overline{S} \right) = p\left(\overline{R}\right) \times  p\left(\overline{S}\right) = (1 - 0,1) \times (1 - 0,05) = 0,9 \times 0,95 = 0,855.\] 
	\item %Au cours d'une semaine, St�phane se rend cinq fois au lyc�e. On admet que le fait qu'il entende son r�veil sonner un jour de classe donn� n'influe pas sur le fait qu'il l'entende ou non les jours suivants. 
	
%Quelle est la probabilit� que St�phane entende le r�veil au moins quatre fois au cours d'une semaine ? Arrondir le r�sultat � la quatri�me d�cimale.
Si $X$ est la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où Stéphane entend son réveil, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,9$.

La probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois est :

$p(X = 4) + p(X = 5) = \displaystyle\binom{5}{4}\times 0,9^4 \times 0,1 + 
\displaystyle\binom{5}{5}\times 0,9^5 \times 0,1^0 = 0,5 \times 0,9^4 + 0,9^5 = 0,9^4 \times 1,9 = \nombre{0,91854} \approx \nombre{0,9185}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\Exoi{\hfill (Polynésie Sept. 2008)\\
\emph{On rappelle que la probabilité d'un événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_{B}(A)$.}
\\
 Une urne contient au départ 30~boules blanches et 10~boules noires indiscernables  au toucher.
 \\
 On tire au hasard une boule de l'urne :
 \setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules blanches supplémentaires.
\item[$\bullet~$] si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules noires supplémentaires.
\end{itemize}
 \setlength\parindent{0mm}
On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.
\\
 On note :
  \setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]	$B_{1}$ l'événement : \og on obtient une boule blanche au premier tirage \fg
\item[$\bullet~$] $B_{2}$ l'événement : \og on obtient une boule blanche au second tirage \fg
\item[$\bullet~$]  $A$ l'événement : \og les deux boules tirées sont de couleurs différentes \fg.
\end{itemize}
 \setlength\parindent{0mm}
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $n = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité $p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)$ et montrer que $p\left(B_{2}\right) = \dfrac{3}{4}$.
		\item  Calculer $p_{B_{2}}\left(B_{1}\right)$.
		\item  Montrer que $p(A) = \dfrac{3}{10}$.
	\end{enumerate}
\item	On prend toujours $n = 10$.
Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
\\
On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'événement $A$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $p(X =  3)$. (On donnera la réponse à $10^{-2}$ près).
		\item  Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
\item	Dans cette question $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$.
	Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $p(A) = \dfrac{1}{4}$ ?
\end{enumerate}
}


\hrule
\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Polynésie Sept. 2008)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $n = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilit� $p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)$ et montrer que $p\left(B_{2}\right) = \dfrac{3}{4}$.
		On a l'arbre de probabilités suivant : 
		
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B_{1}$}\taput{$\frac{30}{40}$}}
	  { 
		  \TR{$B_{2}$}\taput{$\frac{40}{50}$}
		  \TR{$\overline{B_{2}}$}\tbput{$\frac{10}{50}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{B_{1}}$}\tbput{$\frac{10}{40}$}}
	  {
		  \TR{$B_{2}$}\taput{$\frac{30}{50}$}
		  \TR{$\overline{B_{2}}$}\tbput{$\frac{20}{50}$} 
	  }	
}
\end{center}

\bigskip


$p\left(B_{1} \cap B_{2}\right) = p\left(B_{1}\right) \times p_{B_{1}}\left(B_{2}\right) = \dfrac{30}{40} \times \dfrac{40}{50} = \dfrac{30}{50} =\dfrac{3}{5} = 0,6$.

On calcule de même $p\left(\overline{B_{1}} \cap B_{2}\right)  = p\left(\overline{B_{1}}\right) \times p_{\overline{B_{1}}}\left(B_{2}\right) = \dfrac{30}{50} \times \dfrac{10}{40} =  \dfrac{3}{20} = 0,15$.

D'après la loi des probabilités totales $p\left(B_{2}\right) = p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)  + p\left(\overline{B_{1}} \cap B_{2}\right) = \dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{20} = \dfrac{12 + 3}{20} =  \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4} = 0,75$. 
		\item  %Calculer $p_{B_{2}}\left(B_{1}\right)$.
On a 	$p_{B_{2}}\left(B_{1}\right) = \dfrac{p\left(B_{1}\cap B_{2} \right)}{p\left(B_{2} \right)} = \dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{3}{4}} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{5} = 0,8.$			\item  %Montrer que $p(A) = \dfrac{3}{10}$.
On a $p(A) = p\left(B_{1} \cap \overline{B_{2}} \right) + p\left(\overline{B_{1}} \cap B_{2} \right) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{20} + \dfrac{3}{20} = \dfrac{3}{20} + \dfrac{3}{20} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0,3$.
	\end{enumerate}
\item	%On prend toujours $n = 10$.

%Huit joueurs r�alisent l'�preuve d�crite pr�c�demment de mani�re identique et ind�pendante.

%On appelle $X$ la variable al�atoire qui prend pour valeur le nombre de r�alisations de l'�v�nement $A$.
	\begin{enumerate}
		\item  %D�terminer $p(X =  3)$. (On donnera la r�ponse � $10^{-2}$ pr�s).
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 8$ et $p = p(A) = \dfrac{3}{10}$

La probabilité d'avoir 3 fois l'événement $A$ est :

\[\binom{8}{3}\left(\dfrac{3}{10} \right)^3 \left(1 - \dfrac{3}{10} \right)^{8 - 3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2}\left(\dfrac{3}{10} \right)^3 \left(\dfrac{7}{10} \right)^{5} \approx 0,254 \approx 0,25.\] 
		\item  %D�terminer l'esp�rance math�matique de la variable al�atoire $X$.
		On a E = $n \times p = 8 \times \dfrac{3}{10}= \dfrac{12}{5}= 2,4$.
	\end{enumerate}
\item	%Dans cette question $n$ est un entier sup�rieur ou �gal � $1$.

%Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $p(A) = \dfrac{1}{4}$.
On reprend l'arbre précédent, mais en ajoutant $n$ boules :

\bigskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B_{1}$}\taput{$\frac{30}{40}$}}
	  { 
		  \TR{$B_{2}$}\taput{$\frac{30+n}{40+n}$}
		  \TR{$\overline{B_{2}}$}\tbput{$\frac{10}{40+n}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{B_{1}}$}\tbput{$\frac{10}{40}$}}
	  {
		  \TR{$B_{2}$}\taput{$\frac{30}{40+n}$}
		  \TR{$\overline{B_{2}}$}\tbput{$\frac{10+n}{40+n}$} 
	  }	
}
\end{center}

Ici $p(A) = \dfrac{30}{40}\times \dfrac{10}{40+n} + \dfrac{10}{40}\times \dfrac{30}{40+n} = \dfrac{15}{40 + n}$.

D'où $p(A) = \dfrac{1}{4} \iff \dfrac{15}{40 + n} = \dfrac{1}{4} \iff 60 = 40 + n \iff n = 20$.
\bigskip
\end{enumerate}

\end{document}