\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}



\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 11}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es discr\`tes}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{11}
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{11}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 11}

\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Probabilités conditionnelles.
\item Utiliser la formule des probabilités totales à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Utiliser les coefficients binomiaux pour dénombrer.
\end{enumerate}
\end{center}

\Exoi{Marcel est distrait. Quand il part travailler, il oublie parfois de s'habiller et prend le tramway entièrement dévêtu. Quand il a
voyagé la veille nu, il voyage nu une fois sur cinq le jour même; sinon, une fois sur deux.
\\
On note $N_n$ l'événement \og~il voyage le $n^{\text{ième}}$ jour
nu~\fg et $p_n$ sa probabilité.
\begin{enumerate} \item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $p_{n+1}=1/2-3p_n/10$}\end{flushright}
\item On pose $u_n=p_n-5/13$ \begin{enumerate} \item Exprimer $u_{n+1}$ en
fonction de $u_n$, puis de $u_1$ et $n$.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $u_n=u_1(-3/10)^{n-1}$}\end{flushright}
\item Exprimer alors $p_n$ en fonction de $n$. \item Montrer que
la suite $(p_n)$ est convergente et calculer sa limite.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 5/13}\end{flushright}
\end{enumerate} \end{enumerate}
}


\Exoi{\begin{enumerate}
\item
 Des études morphologiques de la Vénus de Milo montrent qu'il y a cinq chances sur sept pour qu'elle soit droitière et deux
chances sur sept pour qu'elle soit gauchère. Si elle est droitière, il y a trois chances sur cinq pour qu'elle épluche des carottes et
deux chances sur cinq pour qu'elle dénoyaute des olives.  Si elle est gauchère, il y a une chance sur deux pour qu'elle épluche des
carottes et une chance sur deux pour qu'elle dénoyaute des olives.
\\
 Calculer la probabilité pour qu'elle dénoyaute des
olives.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 3/7}\end{flushright}
\item Les noyaux trouvés sur le site archéologique de la statue
permettent d'affirmer sans hésiter qu'elle dénoyaute des olives.
\\
Calculer la probabilité pour qu'elle soit gauchère.
\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 1/3}\end{flushright}
\end{enumerate}}


\Exoi{Rastatopoulos, célèbre poète grec du XX$^e$ siècle avant GC, nous rapporte l'anecdote suivante.
\\
 La Vénus de Milo rangeait ses
olives dans trois amphores. Dans la première, il y avait 30 olives
vertes et 20 olives noires. Les deux autres amphores contenaient,
l'une quatre olives vertes (Rastatopoulos ne sait plus laquelle),
l'autre quatre olives noires (Rastatopoulos ignore évidemment de
quelle amphore il s'agit).
\\
 Un jour d'éclipse totale du soleil, la
Vénus de Milo prend, au hasard, une olive de la première amphore,
puis la place dans une des deux autres amphores. Elle prend
ensuite dans celle-ci une olive au hasard et le soleil
réapparait~: l'olive est verte.
\\
Calculer la probabilité pour que la dernière amphore visitée
contienne plusieurs olives vertes.\\
\textsl{On pourra considérer les événements suivants
\begin{itemize}
\item $V_1$~: \og la première olive est verte \fg \item $A$~: \og la
deuxième amphore contenait les quatre olives vertes \fg \item
$V_2$~: \og la deuxième olive est verte \fg
\end{itemize}}
\begin{flushright}\rotatebox{180}{
Réponse~: 23/26}
\end{flushright}}


\Exoi{
On dispose d'un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.\\
\noindent  On dispose également d'une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).
\\
\noindent Un joueur fait une partie en deux étapes :
\\
\textbf{ Première étape} : il jette le dé et note le numéro obtenu.
 \\
  \textbf{Deuxième étape} :
  \\
$\bullet~$  si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l'urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\\
$\bullet~$	si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\\
$\bullet~$	si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
\\
\noindent A la fin de chaque partie, il remet dans l'urne la ou les boules tirée(s).
\\
\noindent  On définit les év\`enements suivants :
\\
\noindent  D$_{1}$ : \og le dé indique 1 \fg\hspace{1cm}  	D$_{2}$ : \og le dé indique 2 \fg \\
\noindent  D$_{3}$ : \og le dé indique 3 \fg  \hspace{1cm} G : \og la partie est gagnée \fg.
\\
\noindent  A et B étant deux év\`enements tels que $p$(A) $\neq 0$, on note $p_{\text{A}}(\text{B})$ la probabilité de B sachant que A est réalisé.
\begin{enumerate}\item \begin{enumerate}\item Déterminer les probabilités $p_{\text{D}_{1}}(\text{G}),~ p_{\text{D}_{2}}(\text{G})$,  et $p_{\text{D}_{3}}(\text{G})$
\item Montrer alors que $p$(G) = $\cfrac{23}{180}$.
\end{enumerate}
\item Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le
dé.
\end{enumerate}
}

\Exoi{
On considère trois urnes U$_{1}$,~ U$_{2}$, et U$_{3}$.
\\
\noindent  L'urne U$_{1}$ contient deux boules noires et trois boules rouges ; l'urne U$_{2}$ contient une boule noire et quatre boules rouges  ; l'urne U$_{3}$ contient trois boules noires et quatre boules rouges.
\\
\noindent   Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U$_{1}$ et une boule de U$_{2}$, à les mettre dans U$_{3}$, puis à tirer au hasard une boule de U$_{3}$.
\\
\noindent    Pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par N$_{i}$, (respectivement R$_{i}$) l'év\`enement \og on tire une boule noire de l'urne U$_{i}$ \fg (respectivement  \og on tire une boule rouge de l'urne U$_{i}$ \fg).
\begin{enumerate}\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :
\begin{center}\begin{pspicture}(6,7)
\psline{->}(0,3.5)(1.9,1.5) \psline{->}(0,3.5)(1.9,5.5)
\psline{->}(2.3,1.5)(3.9,0.5)  \psline{->}(2.3,1.5)(3.9,2.5)
\psline{->}(2.3,5.5)(3.9,4.5)   \psline{->}(2.3,5.5)(3.9,6.5) 
\psline{->}(4.3,6.5)(6,7)   \psline{->}(4.3,6.5)(6,6) 
\psline{->}(4.3,4.5)(6,5)   \psline{->}(4.3,4.5)(6,4) 
\psline{->}(4.3,2.5)(6,3)   \psline{->}(4.3,2.5)(6,2) 
\psline{->}(4.3,0.5)(6,1)   \psline{->}(4.3,0.5)(6,0) 
\rput(2.1,1.5){R$_{1}$}  \rput(2.1,5.5){N$_{1}$} 
\rput(4.1,0.5){R$_{2}$}  \rput(4.1,2.5){N$_{2}$}   
\rput(4.1,4.5){R$_{2}$}   \rput(4.1,6.5){N$_{2}$} 
\rput(6.2,0){R$_{3}$}   \rput(6.2,1){N$_{3}$}  
\rput(6.2,2){R$_{3}$}  \rput(6.2,3){N$_{3}$}  
\rput(6.2,4){R$_{3}$}  \rput(6.2,5){N$_{3}$}  
\rput(6.2,6){R$_{3}$}  \rput(6.2,7){N$_{3}$}                 
\end{pspicture} \end{center}
\item \begin{enumerate}\item Calculer la probabilité des év\`enements N$_{1}  \cap \text{N}_{2}~\cap  \text{N}_{3}$, et N$_{1}  \cap \text{R}_{2}~\cap  \text{N}_{3}$.
\item En déduire la probabilité de l'év\`enement $\text{N}_{1} \cap  \text{N}_{3}$.
\item Calculer de façon analogue la probabilité de l'év\`enement $\text{R}_{1} \cap  \text{N}_{3}$.
\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente la probabilité de l'év\`enement N$_{3}$.
\item Les év\`enements N$_{1}$ et N$_{3}$ sont-ils indépendants ?
\item Sachant que la boule tirée dans U$_{3}$ est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U$_{1}$ soit rouge ?
\end{enumerate}
}

\Exoi{\textsl{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement  la lettre correspondant à la réponse choisie.}
\\
\noindent Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies.
Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.
\\
\noindent 40\,\% des écrivains de romans policiers sont français et 70\,\% des \'ecrivains de biographies sont français.
\\
\noindent Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
\begin{enumerate}\item La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
\[\textbf{a.}\quad 0,4\qquad \qquad	\textbf{b.}\quad 0,75 \qquad \qquad \textbf{c.}\quad \cfrac{1}{150}\]
\item Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :
\[\textbf{a.}\quad 0,3 \qquad \qquad \textbf{b.}\quad 0,8 \qquad\qquad \textbf{c.}\quad  0,4\]
\item La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est
\[\textbf{a.}\quad 1,15 \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad 0,4 \qquad\qquad \textbf{c.}\quad  0,3\]
\item La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est :
\[\textbf{a.}\quad 0,9 \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad 0,7\qquad \qquad \textbf{c.}\quad  0,475\]
\item La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est  français est :
\[\textbf{a.}\quad \cfrac{4}{150} \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad \cfrac{12}{19}\qquad \qquad \textbf{c.}\quad  0,3\]
\item Le lecteur est venu 3 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu'il ait choisi au moins un roman policier est :
\[\textbf{a.}\quad 1-(0,25)^{3} \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad  3\times 0,75  \qquad \qquad \textbf{c.}\quad 0,75\times(0,25)^{3}\]
\end{enumerate}
}

\Exoi{\begin{enumerate}
\item Donnez une expression simple de $\binom{n}{0}$, de $\binom{n}{1}$, de $\binom{n}{n}$, de $\binom{n}{n-1}$. Utilisez des
simplifications pour calculer à la main $\binom{20}{3}$.
\item On donne $\binom{13}{5}=1287$ et $\binom{13}{6}=1716$. Calculez alors à la main $\binom{13}{8}$ et $\binom{14}{9}$
\end{enumerate} }

\Exoi{ Une main au poker est constituée de 5 cartes tirées d'un jeu de 52
 cartes.\\
Combien y a-t-il de mains contenant des carrés (XXXXY) ? des fulls (XXXYY) ? des brelans (XXXYZ) ? des doubles paires (XXYYZ) ? des
paires (XXYZA) ?
\\
Deux lettres identiques (par exemple XX) correspondent à deux cartes de même hauteur (par exemple deux dames).
\begin{flushright}\rotatebox{180}{
$123\,552$ doubles
paires, $1\,098\,240$ paires.}
\end{flushright}
\begin{flushright}\rotatebox{180}{
Réponse~: 624 carrés, 3744 fulls, $54\,912$ brelans}
\end{flushright}
}

\Exoi{On considère 7 boules num\'erot\'ees de 1 à 7.
\begin{enumerate} \item On en tire simultan\'ement 3. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
\item Soit $k$ un entier v\'erifiant $3 \leqslant k \leqslant 7$. Combien y a-t-il de
 tirages de 3 boules dont le plus grand num\'ero est $k$ ?
\item En d\'eduire une expression de $\sum\limits_{k=3}^{7}
\binom {x- 1} {2}$   sous forme d'un unique coefficient binomial.
\end{enumerate}}
\end{document}