\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}



\newcommand{\ch}{Tutorat-s\'eance 10}
\newcommand{\Ch}{Complexe et G\'eom\'etrie}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex

\geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{10}
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}
\usepackage{picins,fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat,pro-courbes}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr}

\usepackage[french]{varioref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{10}
\debutAiDav

\Cr{Tutorat-séance 10}

\begin{center}
\textit{\textbf{Objectifs}} : 
\begin{enumerate}
\item Révisions type BAC.
\item Suites et intégrales.
\item Calcul d'intégrales.
\end{enumerate}
\end{center}

\Exoi{Calculer les intégrales suivantes : (dans certains cas il pourra être utile d'utiliser une IPP)
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \int_1^e x\ln xdx$
\item $ \int_0^1 \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2} dx$
\item $ \int_{\frac{\pi}{2}}^x t\sin t dt$
\item $ \int_0^1 xe^{x^2} dx$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Exoi{Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies, pour tout $x\in\R$ par :
$$ f(x)=-x^2+2\qquad \text{et} \qquad g(x)=x^2-2x-2$$
On note $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ les courbes représentatives respectivement des fonctions $f$ et $g$ dans $(O;\vec i, \vec j)$, un repère orthonormé du plan d'unité $3$ cm.
\begin{enumerate}
\item Représenter $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ sur un même graphique.
\item Etudier la position de $\mathscr C_f$ par rapport à $\mathscr C_g$ sur $[-1;1]$.
\item Calculer l'aire $\mathscr A'$ (en cm$^2$) de la partie du plan délimitée par les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ et les droites d'équation $x=-1$ et $x=2$.
\end{enumerate}}
\Exoi{\hfill \textbf{Amérique du nord 2009}\\
 \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}\\
On supposera connus les résultats suivants : 
\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. 
\\
 \textbf{Partie B}
\\
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$  et on définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : 
\[\left\{\begin{array}{l}
u_{0} =\int_{0}^1f(x)\:\text{d}x= \int_{0}^1 \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ 
\text{pour tout entier naturel}~ n~ \text{non nul},~ u_{n} = \int_{0}^1 x^n f(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 x^n \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1],~ \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant  f(x) \leqslant  1.$ 
	\item En déduire que  $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant  1$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $u_{1}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n}$. 
	\item Etudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leqslant  \dfrac{1}{n+1}$. 
	\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\hrule
\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Amérique du nord 2009)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule


\vspace*{3mm}
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}



%On supposera connus les r�sultats suivants : 

%Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
%\item[$\bullet~$] Pour tous r�els $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b %u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{5mm}

%\medskip

%D�montrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. 
Voir le cours pour les détails, voici la démarche :

Par linéarité de l'intégrale (second rappel) :
$\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \Longleftrightarrow \displaystyle\int_{a}^b (f-g)(x)\:\text{d}x \leqslant 0$.

Or, pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$, donc $f-g \leqslant 0$ et le premier rappel assure le résultat.

\textbf{Partie B}

%On consid�re la fonction $f$ d�finie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$  et on d�finit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : 

%\[\left\{\begin{array}{l}
%u_{0} =\int_{0}^1f(x)\:\text{d}x= \int_{0}^1 \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ 
%\text{pour tout entier naturel}~ n~ \text{non nul},~ u_{n} = \int_{0}^1 x^n f(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 x^n \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\
%\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %D�montrer que, pour tout r�el $x$ de l'intervalle $[0~;~1],~ \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant  f(x) \leqslant  1.$
		$f$ est la composée de la fonction $x \longmapsto -x^2$, décroissante sur $[0~;~1]$, suivie de la fonction exponentielle croissante sur $\R$. $f$   est donc décroissante sur $[0~;~1]$.
		
	\textit{On peut bien sur argumenter sur la dérivabilité de $f$ puis le signe de sa dérivée.}
	
	On en déduit que, pour tout x de $[0~;~1]$, $f(1) \leqslant f(x) \leqslant f(0) \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant  f(x) \leqslant  1$
		
		  
	\item %En d�duire que  $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant  1$.
	Par croissance de l'intégrale, on déduit de la question précédente :
	
	$\int_{0}^1 \dfrac{1}{\text{e}} \:\text{d}x \leqslant \int_{0}^1 f(x) \:\text{d}x \leqslant \int_{0}^1 1 \:\text{d}x \Longleftrightarrow \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant  1$
	\end{enumerate} 
\item %Calculer $u_l$. 
$u_1 = \int_{0}^1 xf(x)  \:\text{d}x =  \int_{0}^1 x \text{e}^{-x^2} \:\text{d}x$

On pose $u(x) = - x^2$, ainsi $u'(x) = -2x$ et $(u' \text{e}^u)(x) = -2xf(x) \Longleftrightarrow xf(x)= - \dfrac{1}{2} u'(x) \text{e}^{u(x)}$.

On a donc : $ u_1 = \left[ - \dfrac{1}{2}\text{e}^{-x^2} \right]_0^1 = - \dfrac{1}{2 \text{e}} +  \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{\text{e}} \right).$

\item
	\begin{enumerate}
		\item  %D�montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n}$. 
		Comme la fonction exponentielle est positive sur $\R$, pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $x^n f(x) \geqslant 0$. Enfin, comme les bornes sont dans le bon ordre, par positivité de l'intégrale, on a bien le résultat.
	\item %�tudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	Pour tout $n$ dans $\N$, $u_{n+1} - u_n = \int_0^1 x^{n+1} f(x) - x^n f(x)  \:\text{d}x = \int_0^1 (x - 1) x^n f(x)  \:\text{d}x \leqslant 0$ car la fonction intégrée est clairement négative sur $[0~;~1]$. 
	
	La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
	\item %En d�duire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
La suite	$\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par $0$ donc elle converge.
	\end{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate}
		\item  %D�montrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leqslant  \dfrac{1}{n+1}$. 
		
		D'aprè!s la question 1. a., pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $f(x) \leqslant 1$, par croissance de l'intégrale :
		
		$\int_0^1 x^n f(x) \:\text{d}x \leqslant \int_0^1 x^n \:\text{d}x \Longleftrightarrow \int_0^1 x^n f(x) \:\text{d}x \leqslant \left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 \Longleftrightarrow \int_0^1 x^n f(x) \:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{n+1}$ 
	\item  %En d�duire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	D'après les questions 3. a. et 4. a., on a $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n+1}$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n+1} = 0 $
	
	Avec le théorème des gendarmes la suite converge vers 0.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Exoi{\hfill \textbf{Polynésie Juin 2009}\\
Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$.
\\
\textbf{Partie A}
\\
La courbe $(\mathcal{C})$, donnée ci-dessous, est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, de fonction dérivée $f'$ continue sur $[0~;~+\infty[$.
 \\
La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points O et A$\left(1 ~ ;~\dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ et, sur [0~;~1], elle est au dessus du segment [OA]. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer que  $\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2\text{e}}$
\item Montrer que 	$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant  \dfrac{1}{4\text{e}}$
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
\\
On sait désormais que la fonction $f$ considérée dans la partie A est définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 
\[f(x) = \dfrac{x \text{e}^{-x}}{x^2 + 1}.  \]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $g(x) = x^3 + x^2 + x - 1$.\\
Etablir que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~ f'(x)$ et $g(x)$ sont de signes contraires.
		\item En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour  tout entier naturel $n$ par : 
\[u_{n} = \int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x$  de $[0~;~+\infty[,~ 0 \leqslant \dfrac{x}{x^2 + 1}  \leqslant \dfrac{1}{2}$.
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)$. 
	\item En déduire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}}


\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=15cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.05)(3,0.35)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.05)(3,0.35) \uput[ur](1,0.184){A}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.184)\psdots(1,0.184)
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.5,0.1){$\mathscr{C}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{3}{x x dup mul 1 add 2.71828 x exp mul div}
\end{pspicture}
\end{center}
\hrule
\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (Polynésie 2009)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule


\vspace*{3mm}


\textbf{Partie A}

\medskip
 
%La courbe $(\mathscr{C})$, donn�e en annexe, est la courbe repr�sentative d'une fonction $f$ d�rivable sur $[0~;~+\infty[$, de fonction d�riv�e $f'$ continue sur $[0~;~+\infty[$.
 
%La courbe $(\mathscr{C})$ passe par les points O et A$\left(1 ~ ;~\dfrac{1}{2\text{e}}\right)$ et, sur [0~;~1], elle est au dessus du segment [OA]. 

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que  $\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{2\text{e}}$� 
$f'$ \'etant d\'efinie et continue sur [0~;~1] est int\'egrable sur cet intervalle et 

$\displaystyle\int_{0}^1 f'(x)\:\text{d}x = \left[f(x)\right]_{0}^1 = f(1) - f(0) =  \dfrac{1}{2\text{e}} - 0 =  \dfrac{1}{2\text{e}}.$
\item %Montrer que 	$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant  \dfrac{1}{4\text{e}}$�
On sait que sur [0~;~1], la courbe $(\mathscr{C})$ est au dessus du segment [OA] ; l'int\'egrale de $f$ sur [0~;~1] \'egale \`a l'aire de la surface limit\'ee par $(\mathscr{C})$ et les droites $y = 0,~ x = 0$ et $x  = 1$, est sup\'erieure \`a l'aire du triangle OIA (avec I(1~;~0)). Cette aire est \'egale \`a $\dfrac{\text{OI} \times \text{IA}}{2} = \dfrac{1 \times \frac{1}{2\text{e}}}{2} = \dfrac{1}{4\text{e}}.$

Donc $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant  \dfrac{1}{4\text{e}}$.
\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

%On sait d�sormais que la fonction $f$ consid�r�e dans la partie A est d�finie sur $[0~;~+\infty[$ par : 
\[f(x) = \dfrac{x \text{e}^{-x}}{x^2 + 1}.  \]

\begin{enumerate}
\item %D�terminer la limite de $f$ en $+\infty$. Interpr�ter graphiquement le r�sultat obtenu. 
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^n\text{e}^{-x} = 0$,{} quel que soit $n \in \N$.

De plus $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

L'axe des abscisses est donc asymptote horizontale \`a $\mathscr{C}$ au voisinage de plus l'infini.
\item %On consid�re la fonction $g$ d�finie sur $[0~;~+\infty[$ par : $g(x) = x^3 + x^2 + x - 1$.
 
%�tablir que l'�quation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
$g$ fonction polyn\^ome est d\'erivable sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle $g'(x) = 3x^2 + 2x + 1$.

Or $3x^2 + 2x + 1 = 3\left(x^2 + \dfrac{2}{3}x \right) + 1 = 3\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 - \dfrac{1}{3} + 1 = 3\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 + \dfrac{2}{3} > \dfrac{2}{3} > 0$

Conclusion $g'(x) > 0 \Rightarrow g$  est croissante sur $[0~;~+ \infty[$.

On a $g(0) = -1$ et $g(1) = 2$. Comme la fonction est croissante sur [0~;~1], l'\'equation $g(x) = 0$ a une solution unique sur [0~;~1], donc sur $[0~;~+ \infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~ f'(x)$ et $g(x)$ sont de signes contraires.
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec $u = x \text{e}^{-x}$ et $v = x^2 + 1$. De $u' = \text{e}^{-x}(1 - x),~v' = 2x$ et $f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, on en d\'eduit que 

$f'(x) = \dfrac{\text{e}^{-x}(1 - x)\left(x^2 + 1\right) - x \text{e}^{-x}\times 2x}{\left(x^2 + 1 \right)^2}$ qui est du signe du num\'erateur donc de $\text{e}^{-x}(1 - x)\left(x^2 + 1\right) - x \text{e}^{-x}\times 2x = \text{e}^{-x}\left(x^2 + 1 - x^3 - x -2x^2 \right) =$

$ \text{e}^{-x}\left(-x^3 - x^2 - x + 1\right)$ ou encore de $-x^3 - x^2 - x + 1 = - \left(x^3 + x^2 + x - 1 \right) = - g(x)$.

$f'$ et $g$ ont donc des signes contraires. 
		\item %En d�duire les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
On a vu que sur $[0~;~\alpha], g(x) < 0$, donc $f'(x) > 0 \Rightarrow f$ est croissante sur $[0~;~\alpha]$ et sur $[\alpha~;~+ \infty[,~g(x) > 0$, donc $f'(x) < 0 \Rightarrow f$ est d\'ecroissante sur $[\alpha~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item %On consid�re la suite $\left(u_{n}\right)$ d�finie pour  tout entier naturel $n$ par : 
%\[u_{n} = \int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout $x$  de $[0~;~+\infty[,~ 0 \leqslant \dfrac{x}{x^2 + 1}  \leqslant \dfrac{1}{2}$.
Il est \'evident que quel que soit $x \in [0~;~+\infty[,~(x - 1)^2 \geqslant 0 \iff x^2 + 1 - 2x \geqslant 0 \iff x^2 + 1 \geqslant 2x \iff \dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{x}{x^2 + 1} \iff \dfrac{x}{x^2 + 1}\leqslant \dfrac{1}{2}$.
	\item %Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)$.
On a $x \geqslant 0 \iff - x \leqslant 0 \iff \text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^0~(\text{par croissance de la fonction}$

 $\text{exponentielle}) \iff  \text{e}^{-x} \leqslant 1 \iff \dfrac{x\text{e}^{-x}}{x^2 + 1} \leqslant \dfrac{x}{x^2 + 1}$.

En posant $u(x) = x^2 + 1,~u~\text{est d\'erivable et}~u'(x) = 2x$.

Donc $\dfrac{x}{x^2 + 1} = \dfrac{1}{2}\dfrac{u'}{u}.$

On a donc $u_{n} = \displaystyle\int_{n}^{2n} f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{n}^{2n} \dfrac{x\text{e}^{-x}}{x^2 + 1}\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{n}^{2n} \dfrac{1}{2}\text{e}^{-x}\:\text{d}x$. (d'apr\`es la question \textbf{4. a.})

Or $\displaystyle\int_{n}^{2n} \dfrac{1}{2}\text{e}^{-x}\:\text{d}x =  \left[-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-x}  \right]_{n}^{2n} = \dfrac{1}{2}\left[-\text{e}^{2n} + \text{e}^{-n}\right]$.

Conclusion $u_{n} \leqslant \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{-n} - \text{e}^{-2n}\right)$.
	\item %En d�duire la limite de $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
	Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\text{e}^{-n} = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}\text{e}^{-2n} = 0 $, on en d\'eduit par application du th\'eor\`eme des  gendarmes  :
	
	\[\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0.\] 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\Exoi{\hfill \textbf{France sept. 2008}\\
On considère la suite numérique $\left(J_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par
\[ J_{n}  = \int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t.\]
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante.
\item   \emph{Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.}\\
On définit la suite $\left(I_{n}\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par :
\[ I_{n} =  \int_{1}^n (t + 1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que, pour tout $t \geqslant  1$, on a $\sqrt{t + 1} \leqslant  t + 1$.
		\item  En déduire que $J_{n}  \leqslant I_{n}$.
		\item  Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que la suite $\left(J_{n}\right)$ est majorée par un nombre réel (indépendant de $n$).
		\item  Que peut-on en conclure pour la suite $\left(J_{n}\right)$ ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}}

\hrule
\vspace*{3mm}
\begin{center}
\textbf{Eléments de correction (France 2008)}
\end{center}
\vspace*{3mm}
\hrule


\vspace*{3mm}


%On consid�re la suite num�rique $\left(J_{n}\right)$ d�finie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par
%\[ J_{n}  = \int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item  
%D�montrer que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante.
On calcule $J_{n+1} - J_{n}  = \int_{1}^{n+1}  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t - \int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t = \int_{n}^{n+1}  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t$.

Pour $t \in [n~;~n+1],~\sqrt{1 + t} > 0$ et $\text{e}^{-t} > 0$.

L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle o\`u $n < n+1$ est positive, donc $J_{n+1} - J_{n} \geqslant 0 \iff J_{n+1}  J_{n} \geqslant  J_{n}$, ce qui montre que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante.
\item   %\emph{Dans cette question, le candidat est invit� � porter sur sa copie les �tapes de sa d�marche m�me si elle n'aboutit pas.}

%On d�finit la suite $\left(I_{n}\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par :
%\[ I_{n} =  \int_{1}^n (t + 1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que, pour tout $t \geqslant  1$, on a $\sqrt{t + 1} \leqslant  t + 1$.
Posons $u = t + 1$, donc $u \geqslant 2$ ; or $0 \leqslant \sqrt{u} \leqslant u,~\text{sur}~[2~;~+ \infty]$, car $0 \leqslant u \leqslant u^2$.

Remarque : en fait relation est vraie pour $t \geqslant 0$.
		\item  %En d�duire que $J_{n}  \leqslant I_{n}$.
$\sqrt{t + 1} \leqslant  t + 1 \iff \sqrt{t + 1}\text{e}^{-t}  \leqslant  (t + 1)\text{e}^{-t}$ ce qui entra\^{\i}ne que $\displaystyle\int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{1}^n  \text{e}^{-t}(1 + t)\:\text{d}t \iff J_{n} \leqslant I_{n}$.
		\item  %Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. En d�duire que la suite $\left(J_{n}\right)$ est major�e par un nombre r�el (ind�pendant de $n$).
Intégrons par parties :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u(t) &=& t + 1\\
\text{d}v(t) &=& \text{e}^{-t}\\
\end{array}\right. \quad 
\left\{\begin{array}{l c l}
\text{d}u(t)&=&1\\
v(t)&=&- \text{e}^{-t}\\
\end{array}\right. \]

Les fonctions dérivées ci-dessus étant continues $I_{n}= \left[-(t + 1)\text{e}^{-t}  \right]_{1}^n - \displaystyle\int_{1}^n -\text{e}^{-t}dt  = \left[-(t + 1)\text{e}^{-t}  \right]_{1}^n + \left[\text{e}^{-t}  \right]_{1}^n = \left[- (t + 2) \text{e}^{-t}  \right]_{1}^n = - (n + 2)\text{e}^{-n} +3 \text{e}^{-1}$.

Comme $(n + 2)\text{e}^{-n} \geqslant 0,~I_{n}$ est donc majorée par $3\text{e}^{-1}$
		\item  %Que peut-on en conclure pour la suite $\left(J_{n}\right)$ ?
L'inégalité démontrée au \textbf{b.} montre que $J_{n} \leqslant 3\text{e}^{-1}.$

La suite $\left(J_{n}\right)$ est donc majorée et croissante : elle a donc une limite inférieure ou égale à $3\text{e}^{-1}.$
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}