\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} \title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S } \author{D. Zancanaro} \date{2010-2011} \newcommand{\ch}{Objectif BAC} \newcommand{\Ch}{R.O.C} \newcommand{\Cl}{Terminale S} \newcommand{\Annee}{2010-2011} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Package %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_dwicky_final.tex \geometry{hmargin=2cm,vmargin=2.5cm} \begin{document} \pagestyle{styleDav} \lhead{\ch} \rhead{\Ch} \hrule \begin{huge} \vspace{1cm} R.O.C : Restitution Organisée des Connaissances\\ \\ \begin{center}\Cl\\ \textit{Extrait d'annales} \end{center} \vspace{1cm} \end{huge} \hrule %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages \tableofcontents \thispagestyle{empty} \clearpage \section{Géométrie} \subsection{Nombres Complexes} \Propc{\textbf{Prrequis} \\ Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels. \\ On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$. \\ \textbf{Questions} \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z,~ \overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$. \end{enumerate}} \Dem{\begin{enumerate} \item $$ \overline{z \times z'} = \overline{(a+ib)(c+id)}=\overline{ac-bd+i(bc+ad)}=ac+bd-i(bc+ad)$$ D'autre part, $$ \overline{z} \times \overline{z'}=(a-ib)(c-id)=ac-bd-i(bc+ad) $$ \item On vient de démontrer que la propriété pour $n=2$\\ Supposons que $ \overline{z^{n-1}} = \left(\overline{z} \right)^{n-1}$, on a alors : $$\overline{z^n}=\overline{z^{n-1}\times z}= \overline{z^{n-1}} \times \overline{z}=\left(\overline{z} \right)^{n-1}\times \overline{z}=\left(\overline{z} \right)^n$$ \end{enumerate}} \Propc{\begin{enumerate} \item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{z} = -z$. \item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}= z$. \item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a l'égalité : $z\overline{z} = |z|^2$. \end{enumerate}} \Dem{\begin{enumerate} \item et 2. Notons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux réels. Ainsi : $$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\Re e(z) \text{ et }z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\Im m(z)$$ On en déduit immédiatement que : $$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow \Im m(z)=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$ $$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow \Re e(z)=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$ \item $z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy-i^2y=x^2+y^2=|z|^2$ \end{enumerate} } \Propc{Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\ Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. \\ On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$. \\ On rappelle que $\left(\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$. \\Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. } \Dem{ \begin{align*} \left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right) &= \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{e_1}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right) = -\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)\\ &= -\text{arg}(b - a)+\text{arg}(c - a) = \text{arg}\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\qquad [2\pi] \end{align*}} \Propc{\begin{minipage}{1\textwidth}\textbf{Prérequis} : On rappelle les deux résultats suivants :\\ \textbf{i.} Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante : \[\left\{\begin{array}{lcl} |z|&=&r\\ \text{arg}~z &=& \theta~[2\pi]\\ \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{lcl}z&=&r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta)\\ r & > & 0\\ \end{array}\right.\] \textbf{ii.} Pour tous nombres rels $a$ et $b$ : \[\left\{\begin{array}{l cl} \cos (a + b)&=&\cos a\cos b - \sin a\sin b\\ \sin (a + b)&=&\sin a\cos b + \sin b \cos a\\ \end{array}\right.\] \end{minipage} Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations : \[\left|zz'\right| = \left|z\right|\left|z'\right|~\text{et arg}\left(zz'\right) = \text{arg}\left(z) + \text{arg}(z'\right)~[2\pi]\]} \Dem{$$|zz'|^2=zz'\overline{zz'}=zz'\overline{z}\overline{z'}=z \overline{z} z' \overline{z'}= |z|^2|z'|^2$$ Comme un module est positif on obtient : $|zz'|=|z||z'|$\\ Soit $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$, alors $$zz'=rr'[(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')]$$ Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition (vu en première), vous en déduisez que $$zz'=z=rr'(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta'))$$ Ainsi, nous arrivons au résultat capital : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') [2\pi]$ } \Propc{Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\ Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si: \[ \left\{ \begin{array}{rclc} \Omega M'&=&\Omega M & (1)\\ \left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{ }2k\pi\text{ prs }(k\in\Z) &(2) \end{array} \right. \] \begin{enumerate} \item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$. \\ Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments. \item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$ \end{enumerate}} \Dem{\begin{enumerate} \item La relation (1) se traduit par $|z'-\omega|=|z-\omega|$ ou encore $ \dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=1$ \\ La relation (2) se traduit par : $arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\theta[2\pi]$ \item Le nombre complexe $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module $1$ et pour argument $\theta$, on peut donc écrire, en utilisant la forme exponentielle, que : $$ \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$$ On en déduit alors que : $z'-\omega= e^{i\theta}(z-\omega)\Longleftrightarrow z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega$ \end{enumerate}} \Propc{On suppose connus les résultats suivants : \begin{enumerate} \item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$ et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$. \\ Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}} \right) = \left(\overrightarrow{CA},~\overrightarrow{CB} \right) \quad (2\pi)$. \item Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel : \\ $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif. \end{enumerate} \emph{Démonstration de cours} : démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que \[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]} \Dem{On a : $\Omega M=\Omega M'\Longleftrightarrow \dfrac{\Omega M}{\Omega M'}=1\Longleftrightarrow \dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=1$\\ De plus arg$\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega} \right) = \left(\overrightarrow{\Omega M'},~\overrightarrow{\Omega M} \right) \quad (2\pi)$, par conséquent le nombre complexe $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module $1$ et pour argument $\theta$, on peut donc écrire, en utilisant la forme exponentielle, que : $$ \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$$ On en déduit alors que : $z'-\omega= e^{i\theta}(z-\omega)$} \subsection{Espace (Produit Scalaire et Barycentre)} \Propc{ \begin{enumerate} \item Soit $\mathscr S$ la sphère de centre $\Omega(x_0;y_0;z_0)$ et de rayon $r$, démontrer que $\mathscr S$ admet une équation de la forme : $$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$$ \item Déterminer l'équation de la sphère $\mathscr S$ de diamètre $[AB]$ avec $A(0;0;1)$ et $B(1;2;3)$. Préciser son centre $\Omega$ et son rayon $r$. \end{enumerate}} \Sol{\begin{enumerate} \item $M(x;y;z)\in \mathscr S\Longleftrightarrow \Omega M^2=r^2\Longleftrightarrow (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$. \item Le centre $\Omega $ de cette sphère a pour coordonnées $(0,5;1;2)$. De plus le rayon $$r=\Omega A=\sqrt{0,5^2+1^2+1^2}=\sqrt{2,25}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$$ D'où : $$ \mathscr S : (x-0,5)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=\dfrac{9}{4}$$ \end{enumerate}} \Propc{ Soit $A$ le point de coordonnées $(x_a;y_a;z_a)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls. \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathscr P$. \item On note $H(x_H;y_H;z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr P$ déterminer de deux manières différentes $ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}$. \footnote{On utilisera la définition dans un premier temps, puis la formule faisant intervenir le cosinus} \item Montrer finalement que : $$ d(A;\mathscr P)=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ \end{enumerate}} \Sol{\begin{enumerate} \item $\vec{n}(a;b;c)$ est normal à $\mathscr P$. \item \begin{multicols}{2} Notons $H(x_H ; y_H ; z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $P$. \\ Nous savons que le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est normal à $P$.\\ Donc les vecteurs $\vec{n}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires.\\ Il existe un réel $t$ tel que : $$ \overrightarrow{AH}=t\vec{n}$$ Par conséquent $$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=\pm AH\times \left|\left|\vec{n}\right|\right|$$ \begin{center} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-0.48,0.54)(5.6,4.12) \psline[linewidth=2.4pt](1,1)(4,1) \psline[linewidth=2.4pt](4,1)(5,2) \psline(1,1)(2,2) \psline(2,2)(5,2) \psline{->}(3,3)(3,4) \rput[tl](2.7,3.78){$\vec n$} \rput[tl](1.35,1.32){P} \rput[tl](3.69,1.71){H} \psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](3.55,3.62)(3.55,1.62) \rput[tl](3.74,3.05){$d(A,P)= ?$} \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.55,3.62) \rput[bl](3.62,3.66){$A$} \end{pspicture*} \end{center} \end{multicols} Mais encore, (notons que $H\in P\Longrightarrow ax_H+by_H+cz_H+d=0$) $$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=a(x_H-x_A)+b(y_H)-y_A)+c(z_H-z_A)=-(ax_A+by_A+cz_A+d)$$ \item Au final : $$ AH\times \left|\left|\vec{n}\right|\right|=\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|\Longleftrightarrow AH=\dfrac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\left|\left|\vec{n}\right|\right|}=\dfrac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$ \end{enumerate}} \Propc{On considère l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ Montrer l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ et un point $A(x_0;y_0;z_0)$ est de la forme : $$ ax+by+cz+d=0$$ } \Dem{\begin{multicols}{2} On a, pour tout point $M$ du plan $P$, $$ \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$$ Réciproquement, si $M$ est un point de l'espace tel que $ \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$, alors $M\in P$ On a donc le résultat suivant : $$ M(x;y;z)\in P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$$ i.e $$ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\Longleftrightarrow ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0=0$$ En posant $d=-ax_0-by_0-cz_0$ on obtient le résultat désiré \begin{center} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.92,-1.12)(4.58,3.82) \psline(-0.12,1.88)(-1.18,0.28) \psline[linewidth=2pt](-1.18,0.28)(3,0.24) \psline(-0.12,1.88)(4.06,1.84) \psline[linewidth=2pt](4.06,1.84)(3,0.24) \psline{->}(0.68,1.3)(0.7,2.88) \psline(0.7,2.88)(0.7,3.44) \psline[linestyle=dotted](0.67,0.26)(0.68,1.3) \psline(0.67,0.26)(0.66,-0.52) \psline{->}(1.52,1.02)(3.02,1.42) \rput[tl](-1.56,0.52){$P$} \rput[tl](0.32,2.8){$\vec{n}$} \rput[tl](3.12,1.7){$M$} \rput[tl](1.24,1.26){$A$} \end{pspicture*} \end{center} \end{multicols}} \section{Analyse} \subsection{Suites} \Propc{Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.\\ \textit{\textbf{Définition}} : Deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est dcroissante et la diffrence des deux converge vers $0$.\\ \textit{\textbf{Propriété}} : Si deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes avec $\left(u_{n}\right)$ croissante et $\left(v_{n}\right)$ décroissante alors pour tout entier naturel $n,~ v_{n} \geqslant u_{n}$.\\ \textit{\textbf{Propriété}} : Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.} \Dem{On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ adjacentes, avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante.\\ Montrons tout d'abord que $u_n\leq v_n$, pour cela notons $w_n=v_n-u_n$, on a : $$ w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)\leq 0$$ Par conséquent $(w_n)$ est une suite décroissante, on a donc pour tout $m>n$, $w_m\leq w_n$, et par passage à la limite lorsque $m\longrightarrow +\infty$ on obtient : $$ 0\leq w_n\Longleftrightarrow u_n\leq v_n$$ Et aussi : $$ u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0$$ Comme $(u_n)$ est une suite croissante majorée, elle converge vers un certain réel $l$.\\ De même comme $(v_n)$ est une suite décroissante minorée, elle converge vers un certain réel $l'$\\ Enfin $\lim\limits_{n \to +\infty} (v_n-u_n)=l'-l=0$\\ Par unicité de la limite on obtient : $l=l'$} \Propc{Si une suite $(u_n)$ converge alors sa limite $l$ est unique} \Dem{Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite $(u_n)$ admet deux limites $l_1$ et $l_2$ telles que $l_10$) alors : \begin{itemize} \item Si $q \in [0;1[$ la suite $(u_n)$ est convergente vers $0$ \item Si $q=1$ alors la suite $(u_n)$ est constante et donc convergente vers $1$ \item Si $q>1$ alors la suite $(u_n)$ est divergente (vers $+\infty$). \end{itemize}} Pour cette démonstration nous allons utiliser le résultat suivant \footnote{un résultat servant une démonstration est usuellement appelé Lemme} \Lemc[Inégalité de Bernoulli]{Pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$} \Dem[du lemme]{Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $(1+x)^n\geq 1+nx$ est vraie\newline $\mathscr P(0)$ et $\mathscr P(1)$ sont évidentes\newline Montrons que $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$.\newline On suppose donc que $(1+x)^n\geq 1+nx$ et on souhaite montrer que : $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$\newline On a alors, pour tout $x\geq0$ : \begin{eqnarray*} && (1+x)^n\geq 1+nx \\ &\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x) \qquad \text{en multipliant membre à membre par }(1+x)>0\\ &\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^2\\ & \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^2 \\ & \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \qquad \text{puisque }nx^2\geq 0\\ \end{eqnarray*} Résumons : On a donc $\mathscr P(0)$ mais aussi, $\forall n\in \N$, $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$, par conséquent on a : pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$} \Dem[du théorème]{ \begin{itemize} \item $q>1$\newline Posons $x=q-1$, on a alors $x>0$, et d'après l'inégalité de Bernoulli : $$ q^n=(1+x)^n \geq 1+nx$$ Or, $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+nx=+\infty$, par comparaison on en déduit : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$$ La suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$ \item $q\in [0;1[$\newline Si $q=0$ le résultat est évident, sinon posons $q'=\dfrac{1}{q}$, dans ce cas $q' \in ]1;+\infty[$\newline D'après le résultat précédent : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q'^n=+\infty$$ Par passage à l'inverse nous obtenons donc : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$$ La suite $(u_n)$ converge donc vers $0$ \item $q=1$, le résultat est alors évident. \end{itemize}} \Propc{\textbf{Prérequis} : définition d'une suite tendant vers plus l'infini. \\ \og \emph{une suite tend vers $ + \infty $ si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à $A$} \fg. \\ Démontrer le théoréme suivant : une suite croissante non majorée tend vers $ + \infty $.} \Dem{ Soit $A$ un réel, puisque $(u_n)$ est une suite non majorée alors il existe un certain entier, disons $n_0$ tel que : $$ u_{n_0}\geq A$$ Puisque $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n\geq n_0$ on a: $$ u_n\geq u_{n_0}\geq A$$ ainsi pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang $n_0$, supérieurs à $A$ ce qui, par définition, nous permet de conclure que $(u_n)$ tend vers $+\infty$} \subsection{Exponentielle} \Propc{\textsc{Pr\'e-requis}\\ Les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y'=-\lambda y$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x}$ o\`u $C$ est une constante r\'eelle. Le but de cette question est de d\'emontrer l'existence et l'unicit\'e de la solution $z$ de l'\'equation diff\'erentielle (E'$_{\lambda}$)~:\\ \noindent $z'=-(\lambda z+ 1)$ telle que $z(0) = 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$ f(x)=-\dfrac{1}{\lambda}$$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$. \item Montrer que $z$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$ est équivalent à $z-f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$. \item En déduire l'ensemble des solutions $z$ de l'équation différentielle $z'=-(\lambda z+1)$. \item En déduire l'existence et l'unicité de la solution de (E'$_{\lambda}$) dont on donnera l'expression $z_0$ \end{enumerate}} \Dem{\begin{enumerate} \item On pour tout $x\in\R$ $$ f'(x)=0\qquad \text{et}\qquad -\left(\lambda \times \dfrac{-1}{\lambda}+1\right)=0$$ Par conséquent $f$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$. \item On a la série d'équivalence suivante : \begin{eqnarray*} & \text{$z$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$} \\ \Longleftrightarrow & z'=-(\lambda z+1) \\ \Longleftrightarrow & z'-f'=-(\lambda z+1)-[-(\lambda f+1)] \qquad \text{en effet on vient de démontrer que} f'=-(\lambda f+1)\\ \Longleftrightarrow & (z-f)'=-\lambda z+\lambda f\\ \Longleftrightarrow & (z-f)'=-\lambda( z- f)\\ \Longleftrightarrow & \text{$z-f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$}\\ \end{eqnarray*} \item D'après la première question, il existe au moins une solution à l'équation différentielle $z'=-(\lambda z+1)$, de plus on vient de montrer que pour $z$ solution de cette équation différentielle, la fonction $z-f$ est solution de $y'=-\lambda y$, équation dont on connaît les solutions d'où : $$ (z-f)(x)=C\mathrm{e}^{-\lambda x}$$ où $C$ est une constante.\\ Ainsi pour tout $x\in\R$ on a : $$ z(x)=C\mathrm{e}^{-\lambda x}-\dfrac{1}{\lambda}$$ Si on ajoute, de plus, la condition $z(0)=1$ alors : $$ 1=C-\dfrac{1}{\lambda}\Longleftrightarrow C=1+\dfrac{1}{\lambda}$$ Ainsi (E'$_{\lambda}$) admet une unique solution qui est $$ z_0(x)=\left(1+\dfrac{1}{\lambda}\right)\mathrm{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}$$ \end{enumerate}} \Propc{On suppose connu le résultat suivant :\\ La fonction $x \mapsto \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$. \\ Soit $a$ un réel donné. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$. \item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante. (On montrera $h'=0$) \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' = ay$. \end{enumerate}} \Dem{ \begin{enumerate} \item Montrons que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.\\ On a $$ f'(x)=ae^{ax}=af(x)$$ Par conséquent $f$ est solution de l'équation $y'=ay$. \item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = g(x)\text{e}^{-ax}$. \\ On a pour tout $x\in\R$, $$ h'(x)=g'(x)e^{-ax}-ag(x)e^{-ax}=e^{-ax}(g'(x)-ag(x))=e^{-ax}\times 0=0$$ Par conséquent, pour tout $x\in\R$, $h(x)=K$ avec $K\in\R$. \item D'après la question précédente si $g$ est une solution de $y'=ay$ alors, pour tout $x\in\R$ $$g(x)e^{-ax}=K\Longleftrightarrow g(x)=Ke^{ax}$$ \end{enumerate}} \Propc{L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\ On suppose connu le résultat suivant : $$ \forall x\in\R^{+*}\qquad e^x\geq x$$ \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\ Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$. (On étudiera la fonction $g$ pour cela). \item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$ \end{enumerate}} \Dem{\begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\ Pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ on a : $$ g'(x)=e^x-\dfrac{2x}{2}=e^x-x\geq 0$$ Ainsi la fonction $g$ est strictement croissante et donc pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ : $$ g(x)\geq g(0)=1\geq 0\Longrightarrow e^x\geq \dfrac{x^2}{2}\Longrightarrow \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{2}$$ \item Comme $ \dfrac{x}{2}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ on en déduit immédiatement par comparaison que : $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$$ \end{enumerate}} \Propc{\begin{enumerate} \item Montrer que $e^x>x$, pour cela étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^x-x$. \item En utilisant l'égalité précédent pour $X=\dfrac{x}{2}$ démontrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ on a $$ \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{4}$$ \item En déduire la limite de $ \dfrac{e^x}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate}} \Dem{\begin{enumerate} \item Montrons pour cela que $\forall x\in\R$ on a : $$ e^x\geq x$$ On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$ f(x)=e^x-x$$ $f$ est une fonction dérivable sur $\R$ et $f'(x)=e^x-1$\\ $f'(x)=0\Longleftrightarrow e^x=1\Longleftrightarrow e^x=e^0\Longleftrightarrow x=0$ \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f’(x)$/1,$f$/2}{$ -\infty$,$0$,$+\infty $}% \tkzTabLine{ , - , z , + , }% \tkzTabVar{+/ $ $ , -/$1$ , +/$ $ } \end{tikzpicture} \end{center} Par conséquent $f(x)\geq 1$ pour tout $x\in\R$ i.e : $$ e^x-x\geq 1>0\Longrightarrow e^x>x$$ \item On a donc, pour tout $x\in\R^{+*}$ : \begin{eqnarray*} & e^{\frac{x}{2} }\geq \frac{x}{2} \\ \Longleftrightarrow & \left(e^{\frac{x}{2} }\right)^2\geq \frac{x^2}{4}\\ \Longleftrightarrow & e^{\frac{2x}{2} } \geq\frac{x^2}{4}\\ \Longleftrightarrow & e^{x } \geq\frac{x^2}{4}\\ \Longleftrightarrow & \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{4}\\ \end{eqnarray*} \item Par comparaison, comme $\Lim{+\infty} \dfrac{x}{4}=+\infty$ on en déduit que : $$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$$ \end{enumerate}} \subsection{Logarithme népérien} \Propc{\textbf{Pr\'erequis :} On rappelle que pour tout $a>0$ et pour tout $b>0$ on a : $$ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$$ Utiliser le r\'esultat pr\'ec\'edent pour d\'emontrer que \[ \ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b) \qquad \textrm{ et que }\qquad\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b) \] } \Dem{ On a donc : $$ 0=\ln 1=\ln \left(\dfrac{b}{b}\right)=\ln \left(b\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln b+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)\Longleftrightarrow \ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b)$$ Puis : $$ \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln a +\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln a-\ln b$$ } \Propc{ On suppose connue la propri\'et\'e :\\ \og Pour tout couple $(x~;~ y)$ de nombres r\'eels strictement positifs, on a \\$\ln (xy) = \ln (x)+ \ln (y)$. \fg\\ En d\'eduire que, pour tout nombre r\'eel $m$ strictement positif, on a \\$\ln \left(\sqrt{m}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(m)$. } \Dem{ en appliquant la propriété à $\ln m = \ln \left(\sqrt{m} \times \sqrt{m}\right)$, on obtient : $$\ln m = \ln \sqrt{m} + \ln \sqrt{m} = 2\ln \sqrt{m} \iff \ln \sqrt{m} = \dfrac{1}{2}\ln m\qquad \text{(avec $m > 0$).}$$ } \Propc{\textbf{Prérequis} : on rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. \begin{center} \begin{footnotesize} On pourra effectuer un changement de variable en posant $X=e^x$ \end{footnotesize} \end{center} \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$. \end{enumerate}} \Dem{\begin{enumerate} \item Commencons par démontrer que $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ en utilisant le fait que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\Longleftrightarrow \Lim{+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0$$ Posons $X=e^x\Longleftrightarrow \ln X=x$ on a alors $$ \displaystyle\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$$ \item On en déduit alors pour $n\geq 2$ que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=\Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}\times \dfrac{\ln x}{x}=0$$ car $ \Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}=0$ et $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$. \end{enumerate}} \Propc{On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, positive sur $[1~;~+\infty[$, et vérifie : \[\left\{ \begin{array}{l} \ln 1 = 0\\ \text{Pour tous réels strictement positifs}~x~\text{et}~y,~~\ln (xy) = \ln x + \ln y\\ \text{Pour tout réel strictement positif} x, ~\left[\ln (x)\right]' = \dfrac{1}{x}\\ \ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{près} \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \sqrt{x} - \ln x.\] \begin{enumerate} \item Etudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$. \item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~ 0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$. \item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\] En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$. \begin{center} \begin{small} On posera $X=x^{\frac{1}{n}}$ et on en déduire que $\ln X=\dfrac{\ln x}{n}$ \end{small} \end{center} \end{enumerate}} \Dem{\begin{enumerate} \item %On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $]0�~;~ +\infty[$ par \[f(x) = \sqrt{x} - \ln x.\] \begin{enumerate} \item %�tudier les variations de $f$ et en d�duire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$. La fonction est une différence de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$, elle est donc dérivable et \\ $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2x}$ qui est du signe du numérateur puisque $x > 0$. \\ $f'(x) = 0 \iff \sqrt{x} = 2 \iff x = 4$ ; \\ $f'(x) < 0 \iff 0 < x < 4$ ; $f$ est décroissante sur cet intervalle \\ $f'(x) > 0 \iff x > 4$ ; $f$ est croissante sur cet intervalle. \\ Il en résulte que $f$ a un minimum pour $x = 4$ et $f(4) = \sqrt{4} - \ln 4 2 - 2\ln 2 \approx 0,62$. \item %En d�duire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~ 0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$. Le minimum de $f$ étant supérieur à zéro, $f(x) > 0$ quel que soit \\ $x \in ]0~;~+ \infty[$. \\ Donc $f(x) > 0 \iff \sqrt{x} - \ln x \iff \sqrt{x} > \ln x \iff \dfrac{\sqrt{x}}{x} > \dfrac{\ln x}{x} \iff$ \\ $\dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$, car $x > 0$. \item %En d�duire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Comme $\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$, on obtient par application du théorème des \og gendarmes \fg{} que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. \end{enumerate} \item %Soit $n$ un entier naturel non nul. %On consid�re la fonction $f_{n}$ d�finie sur $]0~;~+\infty[$ par�: \[ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\] %En utilisant la question 1., d�terminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$. On peut \'ecrire $f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{\ln x^{n \times \frac{1}{n}}}{x^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{\ln \left(x^{\frac{1}{n}}\right)^n}{x^{\frac{1}{n}}} = n \dfrac{\ln \left(x^{\frac{1}{n}}\right)}{x^{\frac{1}{n}}}$. \\ En posant $X = x^{\frac{1}{n}}$, $f_{n}(x) = n\dfrac{\ln X}{X}$. \\ Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} X = + \infty$ et par composition, $\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{\ln X}{X} = 0$ \\ (\text{d'apr\`es la question pr\'ec\'edente)} $\Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{n}(x) = 0.$ %On a $n > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \geqslant 1 \iff $ d'o� pour tout $x$ sup�rieur � z�ro, $\dfrac{1}{x^{\frac{1}{n}}} \leqslant \dfrac{1}{x} \iff \dfrac{\ln x }{x^{\frac{1}{n}}} \leqslant \dfrac{\ln x}{x}$. % %D'apr�s la question pr�c�dente et par application du th�or�me des \og gendarmes \fg, on obtient $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{n}(x) = 0$. \end{enumerate}} \subsection{Intégration} \Propc{On supposera connus les résultats suivants : \\ Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$. \begin{itemize} \item[$\bullet~$] Si $u \geqslant 0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant 0$. \item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$. \end{itemize} Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si,\\ pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$.} \Dem{$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ donc $g - f$ est continue sur $[a~;~b]$ Pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ donc $g(x) - f(x) \geqslant 0$ donc $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) - f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$ \\ $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) - f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$ et $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) - f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$ donc $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0 $ soit $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.} \Propc{Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$.} \Dem{On sait que pour tout $t\in [a;b]$ on a : $$ (uv)'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)$$ En intégrant membre à membre, sur le segment $[a;b]$, on obtient : $$ \int_a^b (uv)'(t)dt=\int_a^b u'(t)v(t)+u(t)v'(t)dt=\int_a^b u'(t)v(t)dt+\int_a^b u(t)v'(t)dt$$ Ainsi : $$ [u(t)v(t)]_a^b=\int_a^b u'(t)v(t)dt+\int_a^b u(t)v'(t)dt$$ i.e : $$\int_a^b u(t)v'(t)dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)dt $$} \pagebreak \section{Probabilités} \subsection{Probabilités discrètes} \Propc{ \textbf{Prérequis :} On rappelle que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si : $$p( A \cap B) = p(A) \times p(B)$$ Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire \begin{enumerate} \item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. \item Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. \end{enumerate}} \Dem{\begin{enumerate} \item %Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. On a $B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A})$, et il s'agit d'une réunion disjointe, par conséquent : $$ P(B)= P(B\cap A)+P(B\cap \overline{A})$$ \item %Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. Comme $A$ et $B$ sont indépendants alors $$ P(A\cap B)=P(A)P(B)$$ Par conséquent, en utilisant $1.$ $$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(\overline{A})$$ \end{enumerate}} \Propc{\emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant n$ alors} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$. \\ Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $$\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$$} \Dem{$\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\dfrac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}+\dfrac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}=\dfrac{(n-1)!p+(n-1)!(n-p)}{p!(n-p)!}=\dfrac{(n-1)![p+n-p]}{p!(n-p)!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}=\binom{n}{p} $} \subsection{Probabilités continues} \Propc{On rappelle que pour tout $t \geqslant 0, ~P(X \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. \\ La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$. \item Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$. \end{enumerate}} \Dem{ \begin{enumerate} \item On a, $\forall t \in \R$: $$ R(t)=P(X>t)=1-P(X\leq t)=1- \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x=1-\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t=1+e^{-\lambda t}-1= \text{e}^{- \lambda t}$$ \item Soit $s$ un réel strictement positif on a : $$ P_{X>t}(X>t+s)=\dfrac{P\left((X>t)\cap (X>t+s)\right)}{P(X>t)}=\dfrac{P(X>t+s)}{P(X>t)}=\dfrac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda s}=P(X>s)$$ Ainsi $X$ suit bien une loi de durée sans vieillissement. \end{enumerate}} \end{document}