\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Objectif BAC}	
\newcommand{\Ch}{R.O.C}	
\newcommand{\Cl}{Terminale S}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex

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\begin{document}

\pagestyle{styleDav}
\lhead{\ch}
\rhead{\Ch}
\hrule
\begin{huge}
\vspace{1cm}
R.O.C : Restitution Organisée des Connaissances\\
\\
\begin{center}\Cl\\
\textit{Extrait d'annales} \end{center}
\vspace{1cm}
\end{huge}
\hrule
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages



\tableofcontents 
\thispagestyle{empty}
\clearpage


\section{Géométrie}
\subsection{Nombres Complexes}

\Propc{\textbf{Prrequis}
\\
Soit $z$ un nombre complexe tel que $z = a + b\text{i}$ où $a$ et $b$ sont deux nombre réels.
 \\
On note $\overline{z}$, le nombre complexe défini par $\overline{z} = a - b\text{i}$.
\\
\textbf{Questions}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tous nombres complexes $z$ et $z',~ \overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$. 
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, et tout nombre complexe $z,~ \overline{z^n} = \left(\overline{z} \right)^n$.
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item $$ \overline{z \times z'} = \overline{(a+ib)(c+id)}=\overline{ac-bd+i(bc+ad)}=ac+bd-i(bc+ad)$$
D'autre part, $$ \overline{z} \times \overline{z'}=(a-ib)(c-id)=ac-bd-i(bc+ad) $$
\item On vient de démontrer que la propriété pour $n=2$\\
Supposons que $ \overline{z^{n-1}} = \left(\overline{z} \right)^{n-1}$, on a alors :
$$\overline{z^n}=\overline{z^{n-1}\times z}=  \overline{z^{n-1}} \times \overline{z}=\left(\overline{z} \right)^{n-1}\times \overline{z}=\left(\overline{z} \right)^n$$
\end{enumerate}}

\Propc{\begin{enumerate}
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\overline{z} =  -z$.
\item Démontrer qu'un nombre complexe $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}= z$.
\item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a l'égalité : $z\overline{z} = |z|^2$.
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item et 2. Notons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux réels. Ainsi : 
$$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\Re e(z) \text{ et }z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\Im m(z)$$
On en déduit immédiatement que :
$$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow \Im m(z)=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$
$$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow \Re e(z)=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$
\item $z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy-i^2y=x^2+y^2=|z|^2$
\end{enumerate}
}


\Propc{Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan d'affixes respectives $a,~b,~c$. \\
On suppose que $A$ et $B$ sont distincts, ainsi que $A$ et $C$.
\\
On rappelle que $\left(\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{\text{AB}}\right) = \text{arg}(b - a)\quad [2\pi]$.
\\Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC}}\right) = \text{arg}\left(\dfrac{c - a}{b - a} \right) \quad [2\pi]$. 
}

\Dem{
\begin{align*}
 \left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right) &= \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{e_1}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right) = -\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{AC}\right)\\
  &= -\text{arg}(b - a)+\text{arg}(c - a) = \text{arg}\left(\frac{c-a}{b-a}\right)\qquad [2\pi]
\end{align*}}

\Propc{\begin{minipage}{1\textwidth}\textbf{Prérequis} : On rappelle les deux résultats suivants :\\
\textbf{i.}  Si $z$ est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :
\[\left\{\begin{array}{lcl}
|z|&=&r\\
\text{arg}~z &=& \theta~[2\pi]\\
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{lcl}z&=&r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta)\\
r & > & 0\\ \end{array}\right.\]
\textbf{ii.} Pour tous nombres rels $a$ et $b$ :
\[\left\{\begin{array}{l cl}
\cos (a + b)&=&\cos a\cos b - \sin a\sin b\\
\sin (a + b)&=&\sin a\cos b + \sin b \cos a\\
\end{array}\right.\]
\end{minipage}
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :
\[\left|zz'\right|  = \left|z\right|\left|z'\right|~\text{et arg}\left(zz'\right) = \text{arg}\left(z) + \text{arg}(z'\right)~[2\pi]\]}

\Dem{$$|zz'|^2=zz'\overline{zz'}=zz'\overline{z}\overline{z'}=z \overline{z} z' \overline{z'}= |z|^2|z'|^2$$
Comme un module est positif on obtient : $|zz'|=|z||z'|$\\
Soit $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$,  alors 
$$zz'=rr'[(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')]$$ 
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition (vu en première), vous en déduisez que 
$$zz'=z=rr'(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta'))$$
Ainsi, nous arrivons au résultat capital : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') [2\pi]$
}

\Propc{Le plan complexe est rapporté à un repre orthonormal direct $(O; \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$.\\
Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si:
\[
\left\{
\begin{array}{rclc}
\Omega M'&=&\Omega M & (1)\\
\left(\overrightarrow{\Omega M}~;~\overrightarrow{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{  }2k\pi\text{ prs }(k\in\Z) &(2)
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$.
\\
Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
\item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item La relation (1) se traduit par 
$|z'-\omega|=|z-\omega|$ ou encore $ \dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=1$
\\
La relation (2) se traduit par : $arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)=\theta[2\pi]$ 
\item Le nombre complexe $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module $1$ et pour argument $\theta$, on 
peut donc écrire, en utilisant la forme exponentielle, que : $$ \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$$
On en déduit alors que : $z'-\omega= e^{i\theta}(z-\omega)\Longleftrightarrow z'=e^{i\theta}(z-\omega)+\omega$
\end{enumerate}}

\Propc{On suppose connus les résultats suivants :
\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$  et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$.
\\
Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right) = \left(\overrightarrow{CA},~\overrightarrow{CB} \right) \quad (2\pi)$.
\item 	Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel :
\\
$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  si et seulement si  $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.
\end{enumerate}
\emph{Démonstration de cours} :  démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que
\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]}

\Dem{On a : $\Omega M=\Omega M'\Longleftrightarrow \dfrac{\Omega M}{\Omega M'}=1\Longleftrightarrow \dfrac{|z'-\omega|}{|z-\omega|}=1$\\
De plus arg$\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}  \right) = \left(\overrightarrow{\Omega M'},~\overrightarrow{\Omega M} \right) \quad (2\pi)$, par conséquent le nombre complexe $\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}$ a pour module $1$ et pour argument $\theta$, on 
peut donc écrire, en utilisant la forme exponentielle, que : $$ \dfrac{z'-\omega}{z-\omega}=e^{i\theta}$$
On en déduit alors que : $z'-\omega= e^{i\theta}(z-\omega)$}

\subsection{Espace (Produit Scalaire et Barycentre)}
\Propc{
\begin{enumerate}
\item Soit $\mathscr S$ la sphère de centre $\Omega(x_0;y_0;z_0)$ et de rayon $r$, démontrer que $\mathscr S$ admet une équation de la forme :
$$ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$$
\item Déterminer l'équation de la sphère $\mathscr S$ de diamètre $[AB]$ avec $A(0;0;1)$ et $B(1;2;3)$. Préciser son centre $\Omega$ et son rayon $r$.
\end{enumerate}}

\Sol{\begin{enumerate}
\item $M(x;y;z)\in \mathscr S\Longleftrightarrow \Omega M^2=r^2\Longleftrightarrow  (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$.
\item Le centre $\Omega $ de cette sphère a pour coordonnées $(0,5;1;2)$. De plus le rayon $$r=\Omega A=\sqrt{0,5^2+1^2+1^2}=\sqrt{2,25}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$$
 D'où :
$$ \mathscr S : (x-0,5)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=\dfrac{9}{4}$$
\end{enumerate}}

\Propc{
Soit $A$ le point de coordonnées $(x_a;y_a;z_a)$ et $\mathscr P$ le plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels qui ne sont pas tous nuls.
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}$ au plan $\mathscr P$.
\item On note $H(x_H;y_H;z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr P$ déterminer de deux manières différentes $ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}$. \footnote{On utilisera la définition dans un premier temps, puis la formule faisant intervenir le cosinus}
\item Montrer finalement que :
$$ d(A;\mathscr P)=\dfrac{\mid ax_A+by_A+cz_A+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\end{enumerate}}

\Sol{\begin{enumerate}
\item $\vec{n}(a;b;c)$ est normal à $\mathscr P$.
\item \begin{multicols}{2}
Notons $H(x_H ; y_H ; z_H)$ le projeté orthogonal de $A$ sur $P$.
\\
Nous savons que le vecteur $\vec{n}(a;b;c)$ est normal à $P$.\\
Donc les vecteurs $\vec{n}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires.\\
Il existe un réel $t$ tel que : $$ \overrightarrow{AH}=t\vec{n}$$
Par conséquent $$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=\pm AH\times \left|\left|\vec{n}\right|\right|$$
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.48,0.54)(5.6,4.12)
\psline[linewidth=2.4pt](1,1)(4,1)
\psline[linewidth=2.4pt](4,1)(5,2)
\psline(1,1)(2,2)
\psline(2,2)(5,2)
\psline{->}(3,3)(3,4)
\rput[tl](2.7,3.78){$\vec n$}
\rput[tl](1.35,1.32){P}
\rput[tl](3.69,1.71){H}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](3.55,3.62)(3.55,1.62)
\rput[tl](3.74,3.05){$d(A,P)= ?$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3.55,3.62)
\rput[bl](3.62,3.66){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
Mais encore, (notons que $H\in P\Longrightarrow ax_H+by_H+cz_H+d=0$)
$$ \overrightarrow{AH}\cdot \vec{n}=a(x_H-x_A)+b(y_H)-y_A)+c(z_H-z_A)=-(ax_A+by_A+cz_A+d)$$
\item Au final : $$ AH\times \left|\left|\vec{n}\right|\right|=\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|\Longleftrightarrow AH=\dfrac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\left|\left|\vec{n}\right|\right|}=\dfrac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
\end{enumerate}}

\Propc{On considère l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$
Montrer l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ et un point $A(x_0;y_0;z_0)$ est de la forme :
$$ ax+by+cz+d=0$$
}

\Dem{\begin{multicols}{2}
On a, pour tout point $M$ du plan $P$, $$ \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$$
Réciproquement, si $M$ est un point de l'espace tel que $ \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$, alors $M\in P$
On a donc le résultat suivant :
$$ M(x;y;z)\in P\Longleftrightarrow \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$$
i.e 
$$ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\Longleftrightarrow ax+by+cz-ax_0-by_0-cz_0=0$$
En posant $d=-ax_0-by_0-cz_0$ on obtient le résultat désiré
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.92,-1.12)(4.58,3.82)
\psline(-0.12,1.88)(-1.18,0.28)
\psline[linewidth=2pt](-1.18,0.28)(3,0.24)
\psline(-0.12,1.88)(4.06,1.84)
\psline[linewidth=2pt](4.06,1.84)(3,0.24)
\psline{->}(0.68,1.3)(0.7,2.88)
\psline(0.7,2.88)(0.7,3.44)
\psline[linestyle=dotted](0.67,0.26)(0.68,1.3)
\psline(0.67,0.26)(0.66,-0.52)
\psline{->}(1.52,1.02)(3.02,1.42)
\rput[tl](-1.56,0.52){$P$}
\rput[tl](0.32,2.8){$\vec{n}$}
\rput[tl](3.12,1.7){$M$}
\rput[tl](1.24,1.26){$A$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}

\section{Analyse}

\subsection{Suites}

\Propc{Démontrer à l'aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que si 
$\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.\\
\textit{\textbf{Définition}} : Deux suites sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est dcroissante et la diffrence des deux converge vers $0$.\\
\textit{\textbf{Propriété}} : Si deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes avec $\left(u_{n}\right)$ croissante et $\left(v_{n}\right)$ décroissante alors pour tout entier naturel $n,~ v_{n} \geqslant u_{n}$.\\
\textit{\textbf{Propriété}} : Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.}

\Dem{On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ adjacentes, avec $(u_n)$ croissante et $(v_n)$ décroissante.\\
Montrons tout d'abord que $u_n\leq v_n$, pour cela notons $w_n=v_n-u_n$, on a : $$ w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)-(u_{n+1}-u_n)\leq 0$$
Par conséquent $(w_n)$ est une suite décroissante, on a donc pour tout $m>n$, $w_m\leq w_n$, et par passage à la limite lorsque $m\longrightarrow +\infty$ on obtient :
$$ 0\leq w_n\Longleftrightarrow u_n\leq v_n$$
Et aussi : $$ u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0$$
Comme $(u_n)$ est une suite croissante majorée, elle converge vers un certain réel $l$.\\
De même comme $(v_n)$ est une suite décroissante minorée, elle converge vers un certain réel $l'$\\
Enfin $\lim\limits_{n \to +\infty} (v_n-u_n)=l'-l=0$\\
Par unicité de la limite on obtient : $l=l'$}

\Propc{Si une suite $(u_n)$ converge alors sa limite $l$ est unique}

\Dem{Raisonnons par l'absurde et supposons que la suite $(u_n)$ admet deux limites $l_1$ et $l_2$ telles que $l_1<l_2$. 
\\Notons $d=l_2-l_1$
Par définition, l'intervalle ouvert $I_1$ de centre $l_1$ et de rayon $ \dfrac{d}{2}$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, de même l'intervalle ouvert $I_2$ de centre $l_2$ et de rayon $ \dfrac{d}{2}$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang, par conséquent $I_1\cap I_2$ est un intervalle contenant tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. \\
Or, $I_1\cap I_2=\emptyset$, ce qui est absurde\\
Par conséquent la suite $(u_n)$ ne peut admettre qu'une limite.}

\Propc{Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_n=q^n$ (avec $q>0$) alors :
\begin{itemize}
\item Si $q \in [0;1[$ la suite $(u_n)$ est convergente vers $0$
\item Si $q=1$ alors la suite $(u_n)$ est constante et donc convergente vers $1$
\item Si $q>1$ alors la suite $(u_n)$ est divergente (vers $+\infty$).
\end{itemize}}


Pour cette démonstration nous allons utiliser le résultat suivant \footnote{un résultat servant une démonstration est usuellement appelé Lemme}

\Lemc[Inégalité de Bernoulli]{Pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$}

\Dem[du lemme]{Notons $\mathscr P(n)$ la propriété $(1+x)^n\geq 1+nx$ est vraie\newline
$\mathscr P(0)$ et $\mathscr P(1)$ sont évidentes\newline
Montrons que $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$.\newline
On suppose donc que $(1+x)^n\geq 1+nx$ et on souhaite montrer que : $(1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x$\newline
On a alors, pour tout $x\geq0$ :
\begin{eqnarray*}
&& (1+x)^n\geq 1+nx \\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq (1+nx)(1+x) \qquad \text{en multipliant membre à membre par }(1+x)>0\\
&\Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+nx+x+nx^2\\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x+nx^2 \\
& \Longleftrightarrow & (1+x)^{n+1}\geq 1+(n+1)x \qquad \text{puisque }nx^2\geq 0\\
\end{eqnarray*}
Résumons : On a donc $\mathscr P(0)$ mais aussi, $\forall n\in \N$, $\mathscr P(n)\Longrightarrow \mathscr P(n+1)$, par conséquent on a : pour tout réel $x$ positif et pour tout entier $n$, on a :$$(1+x)^n\geq 1+nx$$}


\Dem[du théorème]{
\begin{itemize}
\item $q>1$\newline
Posons $x=q-1$, on a alors $x>0$, et d'après l'inégalité de Bernoulli :
$$ q^n=(1+x)^n \geq 1+nx$$
Or, $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+nx=+\infty$, par comparaison on en déduit : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$$
La suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$
\item $q\in [0;1[$\newline
Si $q=0$ le résultat est évident, sinon posons $q'=\dfrac{1}{q}$, dans ce cas $q' \in ]1;+\infty[$\newline
D'après le résultat précédent : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q'^n=+\infty$$
Par passage à l'inverse nous obtenons donc : $$ \lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0$$
La suite $(u_n)$ converge donc vers $0$
\item $q=1$, le résultat est alors évident.
\end{itemize}}

\Propc{\textbf{Prérequis} : définition d'une suite tendant vers plus l'infini.
\\
\og \emph{une suite tend vers $ + \infty $
 si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à $A$} \fg.
 \\
Démontrer le théoréme suivant : une suite croissante non majorée tend vers $ + \infty $.}

\Dem{
Soit $A$ un réel, puisque $(u_n)$ est une suite non majorée alors il existe un certain entier, disons $n_0$ tel que :
$$ u_{n_0}\geq A$$
Puisque $(u_n)$ est croissante, alors pour tout $n\geq n_0$ on a:
$$ u_n\geq u_{n_0}\geq A$$
ainsi pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang $n_0$, supérieurs à $A$
ce qui, par définition, nous permet de conclure que $(u_n)$ tend vers $+\infty$}
\subsection{Exponentielle}
\Propc{\textsc{Pr\'e-requis}\\
Les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y'=-\lambda y$ sont 
les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x}$ o\`u $C$ est une 
constante r\'eelle.
Le but de cette question est de d\'emontrer l'existence et l'unicit\'e de la solution $z$ de 
l'\'equation diff\'erentielle (E'$_{\lambda}$)~:\\
\noindent $z'=-(\lambda z+ 1)$ telle que $z(0) = 1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=-\dfrac{1}{\lambda}$$
est solution de $z'=-(\lambda z+1)$.
\item Montrer que $z$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$ est équivalent à $z-f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$.
\item En déduire l'ensemble des solutions $z$ de l'équation différentielle $z'=-(\lambda z+1)$.
\item En déduire l'existence et l'unicité de la solution de (E'$_{\lambda}$) dont on donnera l'expression $z_0$
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item On pour tout $x\in\R$ 
$$ f'(x)=0\qquad \text{et}\qquad -\left(\lambda \times \dfrac{-1}{\lambda}+1\right)=0$$
Par conséquent $f$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$.
\item On a la série d'équivalence suivante :
\begin{eqnarray*}
& \text{$z$ est solution de $z'=-(\lambda z+1)$} \\
\Longleftrightarrow & z'=-(\lambda z+1) \\
\Longleftrightarrow & z'-f'=-(\lambda z+1)-[-(\lambda f+1)] \qquad \text{en effet on vient de démontrer que} f'=-(\lambda f+1)\\
\Longleftrightarrow & (z-f)'=-\lambda z+\lambda f\\
\Longleftrightarrow &  (z-f)'=-\lambda( z- f)\\
\Longleftrightarrow & \text{$z-f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-\lambda y$}\\
\end{eqnarray*}
\item D'après la première question, il existe au moins une solution à l'équation différentielle $z'=-(\lambda z+1)$, de plus on vient de montrer que pour $z$ solution de cette équation différentielle, la fonction $z-f$ est solution de $y'=-\lambda y$, équation dont on connaît les solutions d'où :
$$ (z-f)(x)=C\mathrm{e}^{-\lambda x}$$
où $C$ est une constante.\\
Ainsi pour tout $x\in\R$ on a :
$$ z(x)=C\mathrm{e}^{-\lambda x}-\dfrac{1}{\lambda}$$
Si on ajoute, de plus, la condition $z(0)=1$ alors :
$$ 1=C-\dfrac{1}{\lambda}\Longleftrightarrow C=1+\dfrac{1}{\lambda}$$
Ainsi (E'$_{\lambda}$) admet une unique solution qui est 
$$ z_0(x)=\left(1+\dfrac{1}{\lambda}\right)\mathrm{e}^{-\lambda x}+\dfrac{1}{\lambda}$$
\end{enumerate}}

\Propc{On suppose connu le résultat suivant :\\
La fonction $x \mapsto  \text{e}^x$ est l'unique fonction $\varphi$ dérivable sur $\R$ telle que $\varphi' = \varphi$, et $\varphi(0) = 1$.
\\
Soit $a$ un réel donné.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.
		\item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. Montrer que $h$ est une fonction constante. (On montrera $h'=0$)
		\item  	En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $y' =  ay$.
	\end{enumerate}}
	
\Dem{
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{ax}$ est solution de l'équation $y' = ay$.\\
		On a $$ f'(x)=ae^{ax}=af(x)$$
		Par conséquent $f$ est solution de l'équation $y'=ay$.
		\item Soit $g$ une solution de l'équation $y'= ay$. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  = g(x)\text{e}^{-ax}$. \\
		On a pour tout $x\in\R$, $$ h'(x)=g'(x)e^{-ax}-ag(x)e^{-ax}=e^{-ax}(g'(x)-ag(x))=e^{-ax}\times 0=0$$
	Par conséquent, pour tout $x\in\R$, $h(x)=K$ avec $K\in\R$.
		\item  	D'après la question précédente si $g$ est une solution de $y'=ay$ alors, pour tout $x\in\R$ $$g(x)e^{-ax}=K\Longleftrightarrow g(x)=Ke^{ax}$$
	\end{enumerate}}
	
	\Propc{L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 
+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On suppose connu le résultat suivant :
$$ \forall x\in\R^{+*}\qquad e^x\geq x$$
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$. (On étudiera la fonction $g$ pour cela).
\item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ on a :
$$ g'(x)=e^x-\dfrac{2x}{2}=e^x-x\geq 0$$
Ainsi la fonction $g$ est strictement croissante et donc pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ :
$$ g(x)\geq g(0)=1\geq 0\Longrightarrow e^x\geq \dfrac{x^2}{2}\Longrightarrow \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{2}$$
\item Comme $ \dfrac{x}{2}$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ on en déduit immédiatement par comparaison que : $$\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$$
\end{enumerate}}


\Propc{\begin{enumerate}
\item Montrer que $e^x>x$, pour cela étudier la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^x-x$.
\item En utilisant l'égalité précédent pour $X=\dfrac{x}{2}$ démontrer que pour tout $x\in\R^{+*}$ on a
$$ \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{4}$$ 
\item En déduire la limite de $ \dfrac{e^x}{x}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
 \end{enumerate}}
 
 
 \Dem{\begin{enumerate}
\item Montrons pour cela que $\forall x\in\R$ on a :
$$ e^x\geq x$$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=e^x-x$$
$f$ est une fonction dérivable sur $\R$ et $f'(x)=e^x-1$\\
$f'(x)=0\Longleftrightarrow e^x=1\Longleftrightarrow e^x=e^0\Longleftrightarrow x=0$
\begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /1,$f’(x)$/1,$f$/2}{$ -\infty$,$0$,$+\infty $}% 
\tkzTabLine{ , - , z , + , }% 
\tkzTabVar{+/ $ $ , -/$1$ , +/$ $ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
Par conséquent $f(x)\geq 1$ pour tout $x\in\R$ i.e :
$$ e^x-x\geq 1>0\Longrightarrow e^x>x$$
\item On a donc, pour tout $x\in\R^{+*}$ :
\begin{eqnarray*}
& e^{\frac{x}{2} }\geq \frac{x}{2} \\
\Longleftrightarrow & \left(e^{\frac{x}{2} }\right)^2\geq \frac{x^2}{4}\\
\Longleftrightarrow & e^{\frac{2x}{2} } \geq\frac{x^2}{4}\\
\Longleftrightarrow & e^{x } \geq\frac{x^2}{4}\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{4}\\
\end{eqnarray*}
\item Par comparaison, comme $\Lim{+\infty} \dfrac{x}{4}=+\infty$ on en déduit que 
:
$$ \Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$$
\end{enumerate}}

\subsection{Logarithme népérien}

\Propc{\textbf{Pr\'erequis :}
On rappelle que pour tout $a>0$ et pour tout $b>0$ on a :
$$ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b).$$
Utiliser le r\'esultat pr\'ec\'edent pour d\'emontrer que
\[
\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b) \qquad \textrm{ et que }\qquad\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)
\]
}


\Dem{
On a donc :
$$ 0=\ln 1=\ln \left(\dfrac{b}{b}\right)=\ln \left(b\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln b+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)\Longleftrightarrow \ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-\ln(b)$$
Puis :
$$ \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln a +\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln a-\ln b$$
}

\Propc{
On suppose connue la propri\'et\'e :\\
 \og  Pour tout couple $(x~;~ y)$ de nombres r\'eels strictement positifs, on a \\$\ln (xy) = \ln (x)+ \ln (y)$. \fg\\
  En d\'eduire que, pour tout nombre r\'eel $m$ strictement positif, on a \\$\ln \left(\sqrt{m}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(m)$.
}

\Dem{ en appliquant la propriété à $\ln m = \ln \left(\sqrt{m} \times \sqrt{m}\right)$, on obtient :
$$\ln m = \ln \sqrt{m} + \ln \sqrt{m} = 2\ln \sqrt{m} \iff \ln \sqrt{m} = \dfrac{1}{2}\ln m\qquad \text{(avec $m > 0$).}$$ }

\Propc{\textbf{Prérequis} : on rappelle que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\begin{center}
\begin{footnotesize}
On pourra effectuer un changement de variable en posant $X=e^x$
\end{footnotesize}
\end{center}
\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x^n} =0$.
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item Commencons par démontrer que $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ en utilisant le fait que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty\Longleftrightarrow \Lim{+\infty}\dfrac{x}{e^x}=0$$
Posons $X=e^x\Longleftrightarrow \ln X=x$ on a alors 
$$ \displaystyle\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$$
\item On en déduit alors pour $n\geq 2$ que $$ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=\Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}\times \dfrac{\ln x}{x}=0$$
car $  \Lim{+\infty} \dfrac{1}{x^{n-1}}=0$ et $ \Lim{+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$.
\end{enumerate}}


 
 \Propc{On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, positive sur  $[1~;~+\infty[$, et vérifie :  
\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln 1 = 0\\
\text{Pour tous réels strictement positifs}~x~\text{et}~y,~~\ln (xy)  = \ln x + \ln y\\
\text{Pour tout réel strictement positif} x, ~\left[\ln (x)\right]' = \dfrac{1}{x}\\
\ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{près}
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \sqrt{x} -  \ln x.\]
	\begin{enumerate}
		\item Etudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 
On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\]
En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$.
\begin{center}
\begin{small}
On posera $X=x^{\frac{1}{n}}$ et on en déduire que $\ln X=\dfrac{\ln x}{n}$
\end{small}
\end{center}
\end{enumerate}}

\Dem{\begin{enumerate}
\item %On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $]0�~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = \sqrt{x} -  \ln x.\]
	\begin{enumerate}
		\item %�tudier les variations de $f$ et en d�duire que $f$ admet un minimum sur $]0~;~+\infty[$.
La fonction est une différence de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$, elle est donc dérivable et 
\\
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2x}$ qui est du signe du numérateur puisque $x > 0$.
\\
$f'(x) = 0 \iff \sqrt{x} = 2 \iff x = 4$ ;
\\
$f'(x) < 0 \iff 0 < x < 4$ ; $f$ est décroissante sur cet intervalle
\\
$f'(x) > 0 \iff x > 4$ ; $f$ est croissante sur cet intervalle.
\\
Il en résulte que $f$ a un minimum pour $x = 4$ et $f(4) = \sqrt{4} - \ln 4 2 - 2\ln 2 \approx 0,62$.
		\item %En d�duire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
Le minimum de $f$ étant supérieur à zéro, $f(x) > 0$ quel que soit 
\\
$x \in ]0~;~+ \infty[$.
\\
Donc $f(x) > 0 \iff \sqrt{x} -  \ln x \iff \sqrt{x} >  \ln x \iff \dfrac{\sqrt{x}}{x} > \dfrac{\ln x}{x} \iff$
\\
$\dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$, car $x > 0$.
		\item %En d�duire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
Comme $\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$, on obtient par application du théorème des \og gendarmes \fg{} que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}
\item %Soit $n$ un entier naturel non nul. 
%On consid�re la fonction $f_{n}$ d�finie sur $]0~;~+\infty[$ par�:
\[ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\]
%En utilisant la question 1., d�terminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$.
On peut \'ecrire $f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{\ln  x^{n \times \frac{1}{n}}}{x^{\frac{1}{n}}} = \dfrac{\ln \left(x^{\frac{1}{n}}\right)^n}{x^{\frac{1}{n}}} = n \dfrac{\ln \left(x^{\frac{1}{n}}\right)}{x^{\frac{1}{n}}}$.
\\
En posant $X = x^{\frac{1}{n}}$, $f_{n}(x) = n\dfrac{\ln X}{X}$.
\\
Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} X = + \infty$ et par composition, $\displaystyle\lim_{X \to + \infty} \dfrac{\ln X}{X} = 0$ 
\\
(\text{d'apr\`es la question pr\'ec\'edente)} $\Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{n}(x) = 0.$  
%On a $n > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{n} \geqslant 1 \iff $ d'o� pour tout $x$ sup�rieur � z�ro, $\dfrac{1}{x^{\frac{1}{n}}} \leqslant \dfrac{1}{x} \iff \dfrac{\ln x }{x^{\frac{1}{n}}} \leqslant \dfrac{\ln x}{x}$.
%
%D'apr�s la question pr�c�dente et par application du th�or�me des \og gendarmes \fg, on obtient $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{n}(x) = 0$.
\end{enumerate}}


\subsection{Intégration}

\Propc{On supposera connus les résultats suivants : 
\\
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ avec $a < b$ et si,\\
 pour tout $x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$.}
 
 
 \Dem{$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ donc $g - f$ est continue sur $[a~;~b]$
Pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ donc $g(x) - f(x) \geqslant 0$ donc $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$ \\
$\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$ 
et $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$
donc  $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0 $ soit $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.}

\Propc{Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$.}

\Dem{On sait que pour tout $t\in [a;b]$ on a :
$$ (uv)'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)$$
En intégrant membre à membre, sur le segment $[a;b]$, on obtient :
$$ \int_a^b (uv)'(t)dt=\int_a^b u'(t)v(t)+u(t)v'(t)dt=\int_a^b u'(t)v(t)dt+\int_a^b u(t)v'(t)dt$$
Ainsi :
$$ [u(t)v(t)]_a^b=\int_a^b u'(t)v(t)dt+\int_a^b u(t)v'(t)dt$$
i.e :
$$\int_a^b u(t)v'(t)dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)dt $$}
\pagebreak
\section{Probabilités}
\subsection{Probabilités discrètes}

\Propc{
\textbf{Prérequis :} On rappelle que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$ si et seulement si : $$p( A \cap  B) = p(A) \times p(B)$$
Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
	\item Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
	\end{enumerate}}
	
	\Dem{\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
		On a $B = (B \cap A) \cup  (B \cap \overline{A})$, et il s'agit d'une réunion disjointe, par conséquent :
		$$ P(B)= P(B\cap A)+P(B\cap \overline{A})$$
	\item %Démontrer que, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les événements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
	Comme $A$ et $B$ sont indépendants alors $$ P(A\cap B)=P(A)P(B)$$
	Par conséquent, en utilisant $1.$ $$P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(B)P(\overline{A})$$
	\end{enumerate}}
\Propc{\emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant  n$ alors} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$.
\\
Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $$\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$$}

\Dem{$\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}=\dfrac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}+\dfrac{(n-1)!}{p!(n-1-p)!}=\dfrac{(n-1)!p+(n-1)!(n-p)}{p!(n-p)!}=\dfrac{(n-1)![p+n-p]}{p!(n-p)!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}=\binom{n}{p} $}

\subsection{Probabilités continues}

\Propc{On rappelle que pour tout $t \geqslant  0, ~P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
 \\
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
\item  Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$.
\end{enumerate}}

\Dem{
\begin{enumerate}
\item On a, $\forall t \in \R$:
$$ R(t)=P(X>t)=1-P(X\leq t)=1- \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x=1-\left[-e^{-\lambda x}\right]_0^t=1+e^{-\lambda t}-1= \text{e}^{- \lambda t}$$
\item Soit $s$ un réel strictement positif on a :
$$ P_{X>t}(X>t+s)=\dfrac{P\left((X>t)\cap (X>t+s)\right)}{P(X>t)}=\dfrac{P(X>t+s)}{P(X>t)}=\dfrac{e^{-\lambda (t+s)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda s}=P(X>s)$$
Ainsi $X$ suit bien  une loi de durée sans vieillissement.
\end{enumerate}}

\end{document}