\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1-6}
\newcommand{\Ch}{Les Nombres Complexes}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	

\newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle
\newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_dwicky_final.tex

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\setcounter{NumLecon}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{1}
\debutAiDav

\Cr{Aide mémoire sur les complexes}
\\
\vspace{2mm}
\noindent On considère deux nombres comlexes $z\neq 0$, $z'\neq 0$ de forme algébriques respectives $x+iy$ et $x'+iy'$, et $n\in\Z$.\\
Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points, distincts deux à deux, du plan complexe, muni d'un repère orthonormé.


\begin{multicols}{2}
 \begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{complexe.5}
\end{center}
\Rq{On note que \boite{z=r\cos\theta+ir\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)} où $r=|z|=OM$}
\end{multicols}

\Ptec{
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
 \item $ z+\overline{z}=2\re(z)$
 \item  $z-\overline{z}=2i\im(z)$
\item $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
\item $ \overline{-z}=-\overline{z}$
\item $ \overline{z\times z'}=\overline{z}\times \overline{z'}$
\item $ \overline{z^n}=\overline{z}^n$
\item $ \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z} }{ \overline{z'} }$ (avec $z'\neq 0$) 
\end{enumerate}
\end{multicols}
}\\


\Ptec{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $|z|=\sqrt{z \overline{z}}$ ou encore $|z|^2=z\overline{z}$
\item $|z|=|-z|=|\overline{z}|=|-\overline{z}|$
\item $|z\times z'|=|z|\times |z'|$
\item $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item $|z+z'| < |z|+|z'|$ car $z\neq 0$ et $z'\neq 0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}\\

\Ptec{
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
 \item $\arg(\overline{z})=-\arg(z) \quad [2\pi]$
\item $\arg(-z)=\arg(z)+\pi  \quad [2\pi]$
\item $\arg(-\overline{z})=\pi-\arg(z)  \quad [2\pi]$
\item $\arg(z\times z')=\arg(z)+\arg(z')  \quad  [2\pi]$
\item $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')  \quad [2\pi]$
\item $\arg(z^n)=n\times \arg(z)  \quad [2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
}\\


\Cadre[Critères pour qu'un nombre complexe soit réel (resp. imaginaire pur)]{
 \begin{itemize}
  \item $z\neq 0$ est réel si et seulement si :
 $$\im(z)=0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad z=\overline{z}
 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad  \arg(z)=0 \quad[\pi]$$
 \item $z\neq 0$ est un imaginaire pur si et seulement si :
 $$\re(z)=0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad  z=-\overline{z}
\qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad  \arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\quad [\pi]$$
 \end{itemize}
}\\


\Ptec{L'équation $x^2=a$ possède deux solutions dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item Si $a\geq 0$ ce sont les réels suivants :  $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$
\item Si $a<0$, ce sont les imaginaires purs conjugués suivants : $x=i \sqrt{-a} \qquad \text{ou} x=-i \sqrt{-a}$
\end{itemize}}\\

\Thc{L'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, $b$ et $c$ réels possède (une ou) deux solutions dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta\geq 0$, ce sont les réels suivants : $$ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$$
\item Si $\Delta<0$, ce sont les complexes conjugués suivants : $$ z_1=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad z_2=\dfrac{-b+i \sqrt{-\Delta} }{2a}$$
\end{itemize}
}\\

\Cadre[Formes algébrique et trigonométrique]{
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=|z|\cos\theta  \\ y=|z|\sin\theta
 \end{array} 
\right. \qquad 
\textrm{ et }
\qquad \left\{ \begin{array}{l}
|z|=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta \textrm{ tel que } \cos\theta = \dfrac{x}{|z|} \textrm{ et } \sin\theta = \dfrac{y}{|z|}
 \end{array} \right.$$
}

\Rq{On pourra trouver la valeur de nouveaux sinus et cosinus, en identifiant les écritures algébrique et trigonométrique
 d'un nombre complexe.
}\\

\Cadre[Calculs avec les affixes]{
Soit $G$ le barycentre de $(A;\alpha), (B;\beta) $ (avec $\alpha + \beta \neq 0$) et $I$ le milieu de $[AB]$. Alors  :
 $$z_{\overrightarrow{AB}} = z_B-z_A \qquad \qquad\qquad\qquad z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}
  \qquad \qquad \qquad\qquad z_G =\dfrac{\alpha z_A + \beta z_B}{\alpha + \beta}$$
$$AB=|z_B-z_A| \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \vec u ; \overrightarrow{AB} \right) = \arg(z_B-z_A) \quad [2\pi]$$
$$ \left|\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right|=\dfrac{CD}{AB} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
 \arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD} \right) \quad [2\pi]
$$
}\\

\Cadre[Alignement et droites parallèles]{
\begin{tabular}{rclcl}
 Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés & $ \Longleftrightarrow $ & 
$\arg\left(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right) = 0 \, [\pi] $ & $\Longleftrightarrow$ &  $\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C} \in \R$ \\\\
$(AB) // (CD) $ & $\Longleftrightarrow$ &
$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = 0 \, [\pi]$ & $\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \in \R$\\\\
$(AB) \perp (CD) $ & $\Longleftrightarrow$ &
$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$ & $\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \in i\R$
 \end{tabular}
}\\


\Thc{
\begin{enumerate}
\item La translation de vecteur $\vec u$ d'affixe $z_{\vec u}$ transforme un point $M(z)$ en un point $M'(z')$ tel que :
$z'=z+z_{\vec u}$
\item L'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k\in\R^*$ transforme un point $M(z)$ en un point $M'(z')$ tel que 
$$z'-\omega=k(z-\omega)$$
\item La rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ transforme un point $M(z)$ en un point $M'(z')$ tel que
$$z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$$
\end{enumerate}
}


\Cadre[Méthode pour reconnaître un transformation]{
Lorsqu’on a une transformation $f$ du plan dont l’écriture complexe est du type $z'=az+b$
$(a \neq 0)$, on commence par rechercher son éventuel point fixe.
\begin{itemize}
 \item Si $a = 1$ et $b = 0$, alors $f$ est l’identité (tous les points du plan sont fixes)
 \item Si $a = 1$ et $b \neq 0$, il n’y a pas de point fixe et $f$ est une translation
 \item Si $a \neq 1$, il y a un unique point fixe d’affixe $\omega$.\\
Dans ce cas, on cherche à exprimer $z'-\omega$ en fonction de $z-\omega$.
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] Si $a\in\R$ alors $f$ est une homothétie de rapport $a$ et de centre $\omega$
 \item[\textbullet] Si $a$ est un complexe de module 1 $\left(a = e^{i\theta}\right)$, alors $f$ est une rotation d’angle $\theta$.
\end{itemize}
\end{itemize}
}
\Cadre[Ensemble des points $M(z)$ tels que :]{
\begin{tabular}{ccccl}
 $|z-z_A|=k$ & $\Longleftrightarrow$ & $AM=k$ (avec $k\in\R$) & : &   
 Si $k>0$ : Cercle $\mathscr C(A,k)$ \\
&&&& Si $k=0$ : Point $A$ \\
&&&& Si $k<0$ : Ensemble vide \\\\\
$|z-z_A|=|z-z_B| $&$ \Longleftrightarrow $&$ MA=MB$ & : & Médiatrice de $[AB]$\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = 0 \quad [\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ & 
$\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [\pi]$ &:&
Droite $(AB)$ \\
&&&& privée de $A$ et $B$ \\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = 0 \quad [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
 $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [2\pi]$ &:&
Droite $(AB)$ \\
&&&& privée du segment $[AB]$\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \pi \quad [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
 $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pi \quad [2\pi]$ &:&
Segment $[AB]$\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
 $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]$ &:&
Cercle de diamètre $[AB]$ \\
&&&& privé des points $A$ et $B$\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
$\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ &:&
Demi-cercle de diamètre $[AB]$ \\
&&&& privé des points $A$ et $B$ tel que \\
&&&&  $MAB$ soit rectangle direct.\\\\
$\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad, [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ &
 $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ &:&
Demi-cercle de diamètre $[AB]$ \\
&&&& privé des points $A$ et $B$ tel que\\
&&&&  $MAB$ soit rectangle indirect. \\\\
 $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$  & $\Longleftrightarrow $ & $x_{\overrightarrow{MA}}x_{\overrightarrow{MB}} + 
y_{\overrightarrow{MA}}y_{\overrightarrow{MB}}=0$  &:&
Cercle de diamètre $[AB]$ 
\end{tabular}
}\\

\Rq{Un angle orienté n'est défini que si les deux vecteurs ne sont pas nuls. C'est pourquoi les points $A$ et $B$ doivent être retirés
 le cas échéant, des ensembles ci-dessus.
}



\end{document}