\documentclass[a4paper,10pt,french]{article} \linespread{1} \newcommand{\ch}{Chapitre 1-6} \newcommand{\Ch}{Les Nombres Complexes} \newcommand{\Cl}{TS} \newcommand{\Annee}{2010-2011} \newcommand{\re}{\Re\mathrm{e}} % partie réelle \newcommand{\im}{\Im\mathrm{m}} % partie imaginaire %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Package %\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e} \input macro_dwicky_final.tex \geometry{hmargin=2cm,vmargin=2cm} \setcounter{NumLecon}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Premiere page \begin{document} \setcounter{NumLecon}{1} \debutAiDav \Cr{Aide mémoire sur les complexes} \\ \vspace{2mm} \noindent On considère deux nombres comlexes $z\neq 0$, $z'\neq 0$ de forme algébriques respectives $x+iy$ et $x'+iy'$, et $n\in\Z$.\\ Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $D(z_D)$ quatre points, distincts deux à deux, du plan complexe, muni d'un repère orthonormé. \begin{multicols}{2} \begin{center} \includegraphics[width=6cm]{complexe.5} \end{center} \Rq{On note que \boite{z=r\cos\theta+ir\sin\theta=r(\cos\theta+i\sin\theta)} où $r=|z|=OM$} \end{multicols} \Ptec{ \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $ z+\overline{z}=2\re(z)$ \item $z-\overline{z}=2i\im(z)$ \item $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ \item $ \overline{-z}=-\overline{z}$ \item $ \overline{z\times z'}=\overline{z}\times \overline{z'}$ \item $ \overline{z^n}=\overline{z}^n$ \item $ \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z} }{ \overline{z'} }$ (avec $z'\neq 0$) \end{enumerate} \end{multicols} }\\ \Ptec{ \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $|z|=\sqrt{z \overline{z}}$ ou encore $|z|^2=z\overline{z}$ \item $|z|=|-z|=|\overline{z}|=|-\overline{z}|$ \item $|z\times z'|=|z|\times |z'|$ \item $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$ \item $|z+z'| < |z|+|z'|$ car $z\neq 0$ et $z'\neq 0$ \end{enumerate} \end{multicols} }\\ \Ptec{ \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\arg(\overline{z})=-\arg(z) \quad [2\pi]$ \item $\arg(-z)=\arg(z)+\pi \quad [2\pi]$ \item $\arg(-\overline{z})=\pi-\arg(z) \quad [2\pi]$ \item $\arg(z\times z')=\arg(z)+\arg(z') \quad [2\pi]$ \item $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z') \quad [2\pi]$ \item $\arg(z^n)=n\times \arg(z) \quad [2\pi]$ \end{enumerate} \end{multicols} }\\ \Cadre[Critères pour qu'un nombre complexe soit réel (resp. imaginaire pur)]{ \begin{itemize} \item $z\neq 0$ est réel si et seulement si : $$\im(z)=0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad z=\overline{z} \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \arg(z)=0 \quad[\pi]$$ \item $z\neq 0$ est un imaginaire pur si et seulement si : $$\re(z)=0 \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad z=-\overline{z} \qquad \qquad \Longleftrightarrow \qquad \qquad \arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\quad [\pi]$$ \end{itemize} }\\ \Ptec{L'équation $x^2=a$ possède deux solutions dans $\C$ : \begin{itemize} \item Si $a\geq 0$ ce sont les réels suivants : $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$ \item Si $a<0$, ce sont les imaginaires purs conjugués suivants : $x=i \sqrt{-a} \qquad \text{ou} x=-i \sqrt{-a}$ \end{itemize}}\\ \Thc{L'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, $b$ et $c$ réels possède (une ou) deux solutions dans $\C$ : \begin{itemize} \item Si $\Delta\geq 0$, ce sont les réels suivants : $$ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$$ \item Si $\Delta<0$, ce sont les complexes conjugués suivants : $$ z_1=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad z_2=\dfrac{-b+i \sqrt{-\Delta} }{2a}$$ \end{itemize} }\\ \Cadre[Formes algébrique et trigonométrique]{ $$\left\{ \begin{array}{l} x=|z|\cos\theta \\ y=|z|\sin\theta \end{array} \right. \qquad \textrm{ et } \qquad \left\{ \begin{array}{l} |z|=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta \textrm{ tel que } \cos\theta = \dfrac{x}{|z|} \textrm{ et } \sin\theta = \dfrac{y}{|z|} \end{array} \right.$$ } \Rq{On pourra trouver la valeur de nouveaux sinus et cosinus, en identifiant les écritures algébrique et trigonométrique d'un nombre complexe. }\\ \Cadre[Calculs avec les affixes]{ Soit $G$ le barycentre de $(A;\alpha), (B;\beta) $ (avec $\alpha + \beta \neq 0$) et $I$ le milieu de $[AB]$. Alors : $$z_{\overrightarrow{AB}} = z_B-z_A \qquad \qquad\qquad\qquad z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2} \qquad \qquad \qquad\qquad z_G =\dfrac{\alpha z_A + \beta z_B}{\alpha + \beta}$$ $$AB=|z_B-z_A| \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left( \vec u ; \overrightarrow{AB} \right) = \arg(z_B-z_A) \quad [2\pi]$$ $$ \left|\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right|=\dfrac{CD}{AB} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD} \right) \quad [2\pi] $$ }\\ \Cadre[Alignement et droites parallèles]{ \begin{tabular}{rclcl} Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés & $ \Longleftrightarrow $ & $\arg\left(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right) = 0 \, [\pi] $ & $\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C} \in \R$ \\\\ $(AB) // (CD) $ & $\Longleftrightarrow$ & $\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = 0 \, [\pi]$ & $\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \in \R$\\\\ $(AB) \perp (CD) $ & $\Longleftrightarrow$ & $\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$ & $\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \in i\R$ \end{tabular} }\\ \Thc{ \begin{enumerate} \item La translation de vecteur $\vec u$ d'affixe $z_{\vec u}$ transforme un point $M(z)$ en un point $M'(z')$ tel que : $z'=z+z_{\vec u}$ \item L'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k\in\R^*$ transforme un point $M(z)$ en un point $M'(z')$ tel que $$z'-\omega=k(z-\omega)$$ \item La rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ transforme un point $M(z)$ en un point $M'(z')$ tel que $$z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$$ \end{enumerate} } \Cadre[Méthode pour reconnaître un transformation]{ Lorsqu’on a une transformation $f$ du plan dont l’écriture complexe est du type $z'=az+b$ $(a \neq 0)$, on commence par rechercher son éventuel point fixe. \begin{itemize} \item Si $a = 1$ et $b = 0$, alors $f$ est l’identité (tous les points du plan sont fixes) \item Si $a = 1$ et $b \neq 0$, il n’y a pas de point fixe et $f$ est une translation \item Si $a \neq 1$, il y a un unique point fixe d’affixe $\omega$.\\ Dans ce cas, on cherche à exprimer $z'-\omega$ en fonction de $z-\omega$. \begin{itemize} \item[\textbullet] Si $a\in\R$ alors $f$ est une homothétie de rapport $a$ et de centre $\omega$ \item[\textbullet] Si $a$ est un complexe de module 1 $\left(a = e^{i\theta}\right)$, alors $f$ est une rotation d’angle $\theta$. \end{itemize} \end{itemize} } \Cadre[Ensemble des points $M(z)$ tels que :]{ \begin{tabular}{ccccl} $|z-z_A|=k$ & $\Longleftrightarrow$ & $AM=k$ (avec $k\in\R$) & : & Si $k>0$ : Cercle $\mathscr C(A,k)$ \\ &&&& Si $k=0$ : Point $A$ \\ &&&& Si $k<0$ : Ensemble vide \\\\\ $|z-z_A|=|z-z_B| $&$ \Longleftrightarrow $&$ MA=MB$ & : & Médiatrice de $[AB]$\\\\ $\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = 0 \quad [\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ & $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [\pi]$ &:& Droite $(AB)$ \\ &&&& privée de $A$ et $B$ \\\\ $\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = 0 \quad [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ & $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [2\pi]$ &:& Droite $(AB)$ \\ &&&& privée du segment $[AB]$\\\\ $\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \pi \quad [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ & $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pi \quad [2\pi]$ &:& Segment $[AB]$\\\\ $\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ & $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]$ &:& Cercle de diamètre $[AB]$ \\ &&&& privé des points $A$ et $B$\\\\ $\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ & $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ &:& Demi-cercle de diamètre $[AB]$ \\ &&&& privé des points $A$ et $B$ tel que \\ &&&& $MAB$ soit rectangle direct.\\\\ $\arg\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad, [2\pi]$ & $\Longleftrightarrow $ & $\left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ &:& Demi-cercle de diamètre $[AB]$ \\ &&&& privé des points $A$ et $B$ tel que\\ &&&& $MAB$ soit rectangle indirect. \\\\ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$ & $\Longleftrightarrow $ & $x_{\overrightarrow{MA}}x_{\overrightarrow{MB}} + y_{\overrightarrow{MA}}y_{\overrightarrow{MB}}=0$ &:& Cercle de diamètre $[AB]$ \end{tabular} }\\ \Rq{Un angle orienté n'est défini que si les deux vecteurs ne sont pas nuls. C'est pourquoi les points $A$ et $B$ doivent être retirés le cas échéant, des ensembles ci-dessus. } \end{document}