\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Classe de $T^{\text{ale}}$ S }
\author{D. Zancanaro}
\date{2010-2011}

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Limites et \linebreak[2] continuit\'e }	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2010-2011}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
%\debut
%\debutbis{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}
%\debutcha{banksy.eps}{Flower Chucker }{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}

\setcounter{NumLecon}{3}
\debutdwicky{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Il combine les techniques du graffiti et du pochoir pour faire passer ses messages, qui mêlent souvent politique, humour et poésie comme Ernest Pignon-Ernest ou Blek le rat. Les pochoirs de Banksy sont des images humoristiques, parfois combinés avec des slogans. Le message est généralement antimilitariste, anticapitaliste ou antisystème. Ses personnages sont souvent des rats, des singes, des policiers, des soldats, des enfants ou des personnes âgées.\\
Il s'est forgé une certaine notoriété dans les milieux alternatifs et les médias traditionnels s'intéressent aussi à lui. Il a notamment travaillé sur le film Les Fils de l'homme2 et a réalisé en 2003 la pochette du disque de Blur, Think Tank.\\
Banksy a fondé le projet \og Santa's Ghetto \fg en réalisant des peintures sur le mur de Gaza afin de redonner espoir aux habitants palestiniens et israéliens. Aidé par d'autres artistes, comme Ron English, un Américain, le mur de séparation prend petit à petit les couleurs d'une toile artistique géante, comme avec l'image de la petite Vietnamienne brûlée au napalm qui tient par la main Mickey Mouse et Ronald McDonald.\\
Concernant ce projet, Banksy raconte dans son livre Wall and Piece, qu'un jour, alors qu'il peignait sur le mur de séparation, un habitant est venu lui dire : \og vous embellissez le mur \fg. Banksy, flatté : \og Merci, c'est gentil \fg, fut aussitôt coupé par le vieil homme : \og On ne veut pas que ce mur soit beau, on ne veut pas de ce mur, rentrez chez vous \fg.}{0.4}{0.6}
\TITRE{300px-Limite.eps}{0.5}

\begin{abstract}
Les notions de continuité et de dérivabilité, et par suite d'intégration sont apparus tardivement dans l'histoire des mathématiques ($XVII^\text{ème}$ siècle) et ont permis de résoudre de nombreux problèmes auxquels les méthodes classiques n'offraient pas de solution générale comme le calcul de la vitesse instantanée, la recherche de trajectoire d'un objet en mouvement, le calcul de la longueur de la trajectoire d'une planète, le calcul de l'aire limitée par des courbes, $\dots$. Ce n'est qu'au siècle dernier que les mathématiciens ont travaillé avec rigueur en utilisant ces nouveaux objets, en effet ils se sont longtemps contentés d'utiliser des définitions intuitives.
\end{abstract}
\begin{center}
\textit{Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur $\R$ ou sur une partie de $\R$ et à valeurs dans $\R$. Les intervalles considérées sont non vides et non réduit à un réel.}
\end{center}
\section{Préliminaires : Limites}
\subsection{Définition rigoureuse des limites}
\subsubsection{Limites en $\infty$}
Nous allons donné ici des définitions très proche de celles rencontrés sur la convergence des suites numériques :
\Defc{On dit qu'une fonction $f$ tend vers $\ell\in\R$ en $+\infty$ si et seulement si tout intervalle $I$ ouvert contenant $\ell$ contient toutes les images $f(x)$ à partir d'un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$$}

\begin{multicols}{2}
\Expl{$$ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{x} =0$$
Considérons un intervalle $\dots\dots\dots$ $I$ centré autour de $\dots$ du type $\dots\dots \dots$, montrons que toutes les images $f(x)$ sont dans $I$ à partir d'un certain réel $x_0$.\\
On a d'abord $ \forall x\in\R^*, \qquad \dfrac{1}{x}>\dots >\dots $, de plus
$ \forall x\in\R^*, \qquad \dfrac{1}{x}<\dots \Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{\dots}$\\
Ainsi, en prenant $x_0=\dfrac{1}{\dots}$ on a $$f(x)\in I,\qquad \forall x>x_0$$ }
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-2.1,-2.1)(7.1,5.1)
\def\xmin{-2} \def\xmax{7} \def\ymin{-2} \def\ymax{5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2.1,-2.1)(7.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.01}{7}{\F}
\uput[ur](2,2){$\mathscr C_f:y=\dfrac{1}{x}$ sur $\R^+$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}


\Defc{\begin{itemize}
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si et seulement si tout intervalle $I=\dots \dots \dots $ avec $A\in\R$ contient toutes les images $f(x)$ à partir d'un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$ si et seulement si tout intervalle $I=\dots\dots\dots$ avec $A\in\R$ contient toutes les images $f(x)$ à partir d'un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$$
\end{itemize}}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-1.1)(5.1,6.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{5} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-1.1)(5.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{x 2 exp}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-4}{4}{\F}
\uput[ur](2,2){$\lim\limits_{x \to +\infty}x^2=+\infty$}
\uput[ur](-2.5,5){$\lim\limits_{x \to -\infty}x^2=+\infty$}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Defc[en $-\infty$]{\begin{itemize}
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $\ell\in\R$ en $-\infty$ si et seulement si tout intervalle $I$ ouvert contenant $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ $f(x)$ pour des réels inférieurs à un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\ell$$
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $+\infty$ en $-\infty$ si et seulement si tout intervalle $I=\dots\dots \dots$ avec $A\in\R$ $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ $f(x)$ pour des réels $\dots \dots$ à un certain réel $x_0$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$$
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ si et seulement si $$\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$$$$\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$$ 
$$ \lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$$
\end{itemize}}

\newpage
\subsubsection{Limite en $a$, avec $a\in\R$}

\Defc{ On dit qu'une fonction $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si et seulement si pour tout intervalle $I=]M;+\infty[$, avec $M\in\R$ il existe un intervalle ouvert $O$ contenant $a$ tel que $f(x)\in I$ pour tout $x\in O$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=+\infty$$
Dans ce cas on dit aussi que $f$ admet une \textit{$\dots \dots \dots \dots$} d'équation $\dots$.}

\textit{\textbf{Illustration}} :\\
\begin{center}
\includegraphics{nivaud.1}
\end{center}

De manière équivalente on définit enfin les deux dernières limites :
\Defc{\begin{itemize}
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $-\infty$ en $a$ si et seulement si pour tout intervalle $I=]-\infty;M[$, avec $M\in\R$ il existe un intervalle ouvert $O$ contenant $a$ tel que $f(x)\in I$ pour tout $x\in O$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=-\infty$$
\item On dit qu'une fonction $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si et seulement si pour tout intervalle ouvert $I$ contenant $\ell$ il existe un intervalle ouvert $O$ contenant $a$ tels que $f(x)\in I$ pour tout $x\in O$ et on note :
$$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell$$
Dans ce cas on dit aussi que $f$ admet une \textit{$\dots\dots\dots\dots$} d'équation $\dots$.
\end{itemize}}

\Expl{
\begin{multicols}{2}
$\lim\limits_{x \to 2^{+}} \left(\dfrac{1}{x-2}\right) =+\infty$ (et $\lim\limits_{x \to 2^{-}} \left(\dfrac{1}{x-2}\right) =-\infty$), donc la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ admet une asymptote verticale d'\'equation $x=2$
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\xmin{-7} \def\xmax{7} \def\ymin{-4} \def\ymax{4}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-7.1,-4.1)(7.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x 2 sub div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-7}{7}{\F}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=10,Dy=10,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}}
\subsubsection{Asymptotes obliques}
\Defc{La droite d'\'equation $y=ax+b$ est une asymptote \`a la repr\'esentation graphique $\mathscr C_f$  de $f$ en $\pm\infty$ si et seulement si 
$$\lim\limits_{x \to \pm\infty} [\dots \dots \dots ] =0$$
}


\begin{multicols}{2}
\Exo{On note $f(x)=\dfrac{2x^2+9x+8}{x+3}$
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $f(x)=2x+3-\dfrac{1}{x+3}$
\item Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x)-(2x+3)] $
\item Calculer $\lim\limits_{x \to -\infty} [f(x)-(2x+3)] $
\item En d\'eduire que la droite $\Delta$ d'\'equation $y=2x+3$ est une asymptote oblique \`a $\mathscr C_f$ en $\pm\infty$
\end{enumerate}
}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-10.1,-8.1)(10.1,6.1)
\def\xmin{-10} \def\xmax{10} \def\ymin{-8} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-10.1,-8.1)(10.1,6.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{2 x 2 exp mul 9 x mul add 8 add x 3 add div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-20}{-3.00001}{\F}
\def\G{2 x 2 exp mul 9 x mul add 8 add x 3 add div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2.9999}{20}{\G}
\def\H{2 x mul 3 add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-20}{20}{\H}
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=50,Dy=50,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\pagebreak


\subsection{Limites usuelles}
\Thc[Les limites à connaître]{
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{1}{x}=\dots$
\item $\lim\limits_{x \to 0^-}\dfrac{1}{x}=\dots$
\item $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{1}{x}=\dots$
\item $\lim\limits_{x \to \pm\infty}x^2=\dots$
\item $\lim\limits_{x \to -\infty}x^3=\dots$
\item $\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=\dots$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\vspace{1mm}}
\subsection{Limites et opérations}
\subsubsection{Somme, produit, quotient}
Les principaux résultats sur les calculs de limites ont été vus en classe de première, on se contentera ici d'énumérer les cas d'indétermination :
  \Cadre{\begin{center}LES 4 FORMES IND\'ETERMIN\'EES \`A CONNA\^ITRE\end{center}
  $$  \text{\og }0\times \infty \text{\fg }\qquad \text{\og }\dfrac{0}{0} \text{\fg }\qquad  \text{\og }\dfrac{\infty}{\infty}\text{\fg } \qquad \text{\og } \infty -\infty \text{\fg }$$
 \begin{center} \begin{scriptsize}Attention, on ne dira pas \og z\'ero sur z\'ero est une forme ind\'etermin\'ee \fg mais plut\^ot \og le quotient de deux fonctions tendant vers $0$ est une forme ind\'etermin\'ee \fg \end{scriptsize}\end{center}
}

\Exop{Déterminer les limites des fonctions suivantes :
\begin{enumerate}
\item $g:x\longmapsto \dfrac{1+x}{2-x}$ en $2$
\item $h:x\longmapsto \dfrac{\sqrt{x}-1 }{x+1}$ en $+\infty$
\item $k:x\longmapsto x-\sqrt{x^2+1}$ en $+\infty$
\end{enumerate}}
\pagebreak
\subsection{Composée de deux fonctions}
\Thc{Soit $f=g\circ u$, une fonction composée de deux fonctions $u$ et $g$.\\
$a$, $b$ et $\ell$ désignent des réels, ou $+\infty$, ou $-\infty$.\\
Si on a $\lim\limits_{x \to a}u(x)=b$ et $ \lim\limits_{x \to b} g(x)=\ell$, alors : $$ \lim\limits_{x \to a}f(x)=\ell$$}


\Dem[Non Bac]{Raisonnons dans le cas où $a=+\infty$, $b=-\infty$ et $\ell \in\R$
Soit $J$ un intervalle ouvert qui contient $\dots$.\\
Comme $ \lim\limits_{x \to -\infty} g(x)=\ell$, $J$ contient tous les réels $g(x)$ pour $x$ $ \dots\dots \dots \dots$ à un certain $x_0$.\\
De plus, comme $\lim\limits_{x \to +\infty}u(x)=-\infty$, l'intervalle ouvert $]-\infty;x_0[$ contient tous les réels $u(x)$ pour $x$ $\dots\dots \dots$ à un certain réel $x_1$.\\
Si $x>x_1$, on a alors $u(x)<\dots $, et donc $g(u(x)) \in \dots$ i.e $f(x)\in \dots$\\
Ainsi tout intervalle ouvert $J$ qui contient $\ell$ contient aussi tous les réels $f(x)$ pour $x>\dots $  ; ce qui signifie que $$ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\ell$$}

\Rq{Ce théorème reste identique si $v_n=f(u_n)$.}

\Exop{Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par : $$ f(x)=\sqrt{\dfrac{4x+1}{x+1} }$$
 et $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=\sqrt{\dfrac{2^{n+2}+1}{2^n+1} }$\\
 Déterminer la limite éventuelle de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente, préciser sa limite. }
 
 \Sol{Pour $x$ positif, $f(x)=\sqrt{t}$ avec $t=\dfrac{4x+1}{x+1}$.\\
 On a $ \lim\limits_{x \to \dots \dots}\dfrac{4x+1}{x+1}=\lim\limits_{x \to \dots \dots}\dfrac{\dots\dots}{\dots\dots}\}=\dots$ (\textit{fonction rationnelle en $+\infty$})\\
 et $ \lim\limits_{t \to \dots}\sqrt{t}=\dots $ donc :
 $$  \lim\limits_{x \to \dots\dots} f(x)=\dots$$ 
 De plus on a $v_n=f(u_n)$ avec $u_n=\dots$.\\
 Or, $ \lim\limits_{n \to +\infty}2^n=\dots$ et $ \lim\limits_{x \to \dots} f(x)=\dots$, donc  \boite{ \lim\limits_{n \to \dots \dots}v_n=\dots }}
 \pagebreak
\subsection{Théorème de comparaison et des gendarmes}

\Thc{
Soient $f$, $u$ et $v$ des fonctions d\'efinies sur un intervalle du type $[a;+\infty[$ :
\begin{itemize}
\item Si, pour $x$ assez grand, on a $f(x)\geq u(x)$ et si $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =\dots \dots$, alors $\lim\limits_{x \to \dots \dots} f(x) =\dots\dots$
\item Si, pour $x$ assez grand, on a $f(x) \leq v(x)$ et si $\lim\limits_{x \to \dots\dots} v(x) =\dots\dots$, alors $\lim\limits_{x \to \dots\dots} f(x) =\dots\dots$
\end{itemize}}

\Dem[Non Bac]{\begin{itemize}
\item Soit $J=]A;+\infty[$ un intervalle. \\
Comme $ \lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =+\infty$ il existe un réel $x_0$ tel que $u(x)\in J$ à partir de $x_0$.\\
De même il existe un réel $x_1$ tel que $f(x)\geq u(x)$ pour $x>x_1$\\
Par conséquent pour $x>max(x_0;x_1)$ $f(x) \in J$ ce qui prouve que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =+\infty$
\item Soit $J=]-\infty;A[$ un intervalle. \\
Comme $ \lim\limits_{x \to +\infty} v(x) =-\infty$ il existe un réel $x_0$ tel que $u(x)\in J$ à partir de $x_0$.\\
De même il existe un réel $x_1$ tel que $f(x)\geq u(x)$ pour $x>x_1$\\
Par conséquent pour $x>max(x_0;x_1)$ $f(x) \in J$ ce qui prouve que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =-\infty$
\end{itemize}}
\Rq{Il existe des th\'eor\`emes analogues pour des limites en $-\infty$ et en $a\in \R$}

\Exop{
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=-x+\sin x$. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ (Poser $v(x)=-x+1$)
\item Soit $g(x)=\dfrac{ \sqrt{1+x^2} }{x^2}$. Calculer $\lim\limits_{x \to 0} g(x)$ (Poser $u(x)=\dfrac{1}{x^2}$)
\end{enumerate}}

\pagebreak
\Thc[Théorème des gendarmes]{
Soient $f$, $u$ et $v$ des fonctions d\'efinies sur un intervalle du type $[a;+\infty[$.
\newline
Si pour $x$ assez grand, on a $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$ et si $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =\lim\limits_{x \to +\infty} v(x) =\ell$, alors : 
$$ \lim\limits_{x \to \dots\dots} f(x) =\dots\dots$$}

\Dem[Non Bac]{Soit $J$ un intervalle ouvert contenant $\ell$. Il s'agit de démontrer que $J$ contient tous les réels $f(x)$ à partir d'un certain réel.\\
Or,  $\lim\limits_{x \to +\infty} u(x) =\lim\limits_{x \to +\infty} v(x) =\ell$, i.e qu'il existe $x_0$ tel que $u(x)\in J$ à partir de $x_0$ et il existe un réel $x_1$ tel que $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$.\\
Soit $x_2=max(x_0;x_1)$. Si $x>x_2$, l'intervalle $J$ contient donc $\dots\dots$ et $\dots\dots$, donc il contient aussi tous les réels compris entre $\dots\dots$ et $\dots\dots$, en particulier il contient $\dots\dots$, ainsi :
$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =\ell$$}

\Rq{Il existe des th\'eor\`emes analogues pour des limites en $-\infty$ et en $a\in \R$}

\Exop{
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R^{+}$ par : $f(x)=\dfrac{2+3\sin x}{x}$. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
}




\end{document}